Pentru a asigura formatarea corectă și alinierea textului când copiați pe site, puteți folosi următorul format fără linii de separare și cu un spațiu înaintea fiecarei linii pentru a păstra indentarea: ``` ### Examenul de Bacalaureat 2011 ### Proba E. c) - Matematică ### Varianta 7 #### Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. #### Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. **Instrucțiuni:** - Toate subiectele sunt obligatorii. - Se acordă 10 puncte din oficiu. - Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. - La toate subiectele se cer rezolvări complete. ### SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. Comparați numerele \( a = \log_2 4 \) și \( b = \log_3 27 \). 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația \( 3x^2 - 11x + 6 \leq 0 \). 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 5 \). 4. Determinați \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \), pentru care \( C_n^1 + C_n^2 = 15 \). 5. Determinați numerele reale \( m \), pentru care punctul \( A(m^2 - 1, 2m - m^2) \) se află pe dreapta \( d: x - y + 1 = 0 \). 6. Calculați \( \cos x \), știind că \( 0^\circ < x < 90^\circ \) și \( \sin x = \frac{12}{13} \). ### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. Se consideră mulțimea \( G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{N} \right\} \). a. Determinați numerele naturale \( m \) și \( n \) pentru care matricea \( \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} \in G \). b. Arătați că dacă \( U, V \in G \), atunci \( U \cdot V \in G \). c. Calculați suma elementelor matricei \( U \in G \), știind că suma elementelor matricei \( 2U \) este egală cu 8. 2. Se consideră polinomul \( f(X) = X^4 - 4X^3 + 2X^2 - 4X + 4 \). a. Arătați că restul împărțirii polinomului \( f \) prin polinomul \( g(X) = X^2 - 2 \) este egal cu 0. b. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( f(x) = 0 \). c. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( 16x^4 - 8x^2 + 4 = 4x^2 - 2x^2 + 4 \). ### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), definită prin: \[ f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \in (0, 1] \\ \frac{1}{x} + 1, & x \in (1, +\infty) \end{cases} \] a. Demonstrați că funcția \( f \) este continuă în punctul \( x_0 = 1 \). b. Arătați că funcția \( f \) este convexă pe intervalul \( (1, +\infty) \). c. Demonstrați că \( f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \leq 4 \), pentru orice \( x \in (0, +\infty) \). 2. Se consideră funcțiile \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), \( f(x) = e^x \ln x \) și \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), \( g(x) = \frac{e^x}{x} \). a. Calculați \( \int_1^2 x g(x) \, dx \). b. Calculați \( \int_e^{2e} \frac{f(x)}{x} \, dx \). c. Demonstrați că \( \int_e^{e^2} f(x) g(x) \, dx = e \). --- Vă rugăm să rezolvați fiecare subiect complet și să justificați fiecare pas al soluției. Succes! ``` Folosiți codul de mai sus, selectați-l și copiați-l direct în editorul site-ului dvs. ar trebui să păstreze formatarea corectă.