Elemente de combinatorică. Permutări. Aranjamente. Combinări. Proprietăți

Aranjamente

Numarul submultimilor ordonate cu k elemente dintr-o multime cu n elemente este \(A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)\) (aranjamente de n luate cate k ).

Combinari

 Numarul submultimilor cu k elemente dintr-o multime cu n elemente este \(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot ...(n-k+1)}{k!}\) (combinari de n luate cate k )

Proprietati:

1. Formula combinarilor complementare: \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\)
2. Formula de recurenta pentru combinari : \(C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1};\)
3. \(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}.\)
4. \(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...={{2}^{n-1}}\)
5. Daca \(n\le m,\)numarul functiilor injective f: A\(\to \)B este egal cu \(A_{m}^{n}\)
6. Daca m=n , numarul functiilor bijective f: A\(\to \)B este egal cu \({{P}_{n}}=n!\)
7. Daca A,B\(\subset \mathbb{R}\)si \(n\le m\), numarul functiilor strict crescatoare/ descrescatoare f: A\(\to B\) este egal cu \(C_{m}^{n}.\)