Întrebare numar complex

Se cosidera numarul complex\[z_{\lambda }=\frac{1+\lambda i}{1-\lambda i},\lambda \in R\]
Sa se demonstreze ca pentru orice \[z_{\lambda _{1}},z_{\lambda _{2}}\in R\]cu
\[\frac{\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1+\lambda _{1}\lambda _{2}}=k\]
distanta dintre \[z_{\lambda _{1}}, z_{\lambda _{2}}\]este constanta.

Pentru orice \(\lambda\in\mathbb{R}\) există \(\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) astfel încât \(\tan\alpha=\lambda\)
Atunci \(z_{\lambda}\), pe care acum îl putem nota \(z_{\alpha}\) se scrie
\[z_{\alpha}=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha\]
Atunci
\[\displaystyle z_{{\alpha}_1}-z_{{\alpha}_2}=\cos 2\alpha_1-\cos 2\alpha_2+i\left(\sin 2\alpha_1-\sin 2\alpha_2\right)=\\=-2\sin\left(\alpha_1-\alpha_2\right)\sin\left(\alpha_1+\alpha_2\right)+2\sin\left(\alpha_1-\alpha_2\right)\cos\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\]
Distanța este \(|z_{{\alpha}_1}-z_{{\alpha}_2}|=2|\sin\left(\alpha_1-\alpha_2\right)|\)
Dar din \(\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2}=k\) rezultă \(\tan\left(\alpha_1-\alpha_2\right)=k\)
și avem
\[\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}\]
Rezultă că distanța este \[\frac{2|k|}{\sqrt{1+k^2}}\]

Multumesc!

Frumoasa rezolvare .

Eu am incercat "direct":

\(z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}}=\frac{1+\lambda _{1}i}{1-\lambda _{1}i}-\frac{1+\lambda _{2}i}{1-\lambda _{2}i}=\frac{2\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )i}{1-\lambda _{1}\lambda _{2}-\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )i}\).

\(|z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}}|^{2}=\left ( z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}} \right )\cdot \overline{\left ( z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}} \right )}=\frac{2\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )i}{1-\lambda _{1}\lambda _{2}-\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )i}\cdot \frac{-2\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )i}{1-\lambda _{1}\lambda _{2}+\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )i}=\)

\(=\frac{4\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )^{2}}{\left ( 1-\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}+\left ( \lambda _{1}+\lambda _{2} \right )^{2}}=\frac{4\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )^{2}}{\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}+\left ( \lambda _{1}-\lambda _{2} \right )^{2}}=\frac{4k^{2}\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}}{\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}+k^{2}\left ( 1+\lambda _{1}\lambda _{2} \right )^{2}}=\frac{4k^{2}}{1+k^{2}}\).

Atunci distanta dintre \(z_{\lambda _{1}}\) si \( z_{\lambda _{2}}\) este \(|z_{\lambda _{1}}-z_{\lambda _{2}}|=\frac{2|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}\), constanta.