Întrebare Geometrie cl.a 9-a Teorema bisectoarei

In triunghiul ABC dreptunghic in A bisectoarea unghiului ABC intersecteaza inaltimea AD in F si mediana AM in E. Sa se demonstreze ca AE*AF=2*EM*DF.

Buna seara,

Aveti atasat un desen.

\(AE\cdot AF=2EM\cdot DF\Leftrightarrow \frac{AE}{EM}=2\cdot \frac{DF}{AF}\).

Scriem Teorema bisectoarei in triunghiul \(ABM\):

\(\frac{AE}{EM}=\frac{BA}{BM}=\frac{BA}{\frac{BC}{2}}=2\cdot \frac{AB}{BC} \: (1) \).

Teorema bisectoarei in triunghiul \(ABD\):

\(\frac{DF}{AF}=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{AB^{2}}{BC}}{AB}=\frac{AB}{BC} \: (2)\).

\((1)\wedge (2)\Leftrightarrow \frac{AE}{EM}=2\cdot \frac{DF}{AF}\Leftrightarrow AE\cdot AF=2EM\cdot DF\).

Observatie: Cum triunghiul \(ABC\) este dreptunghic in \(A\) si \(AD\) este inaltime, \(AB^{2}=BD\cdot BC\Leftrightarrow BD=\frac{AB^{2}}{BC}\) (Teorema catetei pentru cateta \(AB\)).

Va multumesc!