Matematica

 Forum Matematica - probleme rezolvate :: Propune probleme de matematica pentru gimnaziu
Welcome Guest   [Register]  [Login]
 Subject :2 probleme interesante!.. 29-04-2012 21:26:43 
radauti
Joined: 29-04-2012 21:20:36
Posts: 15
Location
1. Taiem prima cifra din numarul 2011^4 si o adunam la
numarul ramas. Repetam procedeul pina în momentul in care obtinem un
numar de 10 cifre. Sa se demonstreze ca acest numar are cel putin doua cifre
egale.
Rezultatul de mai sus ramine valabil daca numarul initial este 2011^2011?

2. Fie a1 =2012!+4 si b1 =2012!-5. Adunam toate cifrele numarului a1
si obtinem numarul a2, apoi adunam cifrele numarului a2 si obtinem numarul
a3 si asa mai departe. Procedam în acelasi fel pentru numarul b1, din care
obtinem b2, apoi b3 si asa mai departe. Demonstrati ca exista numerele
naturale m si n astfel încit am = bn (a indice m si b indice n).

Problemele ar avea un termen de rezolvare: 30 aprilie. Multumesc
IP Logged
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 29-04-2012 22:06:00 
gordianknot
Joined: 11-11-2009 15:42:19
Posts: 2,013
Location: Balan, Romania
Intrebare: pentru ce nivel (clasa) au fost propuse problemele si pentru ce? (care e miza - nota in catalog, pariu, etc...). Maine ma uit (adica azi, mai tarziu), daca o sa am timp - acum in niciun caz (trecut de 1 noaptea).
IP Logged
Oláh Csaba
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 30-04-2012 05:05:57 
radauti
Joined: 29-04-2012 21:20:36
Posts: 15
Location

Miza e etapa a 5a, clasa a 5a(!) de la viitoriOlimpici.ro , care se incheie azi. Cu toata modestia m-am intors cu aur de la nationala de mate de anul asta dar nici eu, nici alti 4 profesori nu stiu nici macar cum sa incepem problemele iar ceilalti concurenti (destul de multi) au luat deja 9 si 10 !!!

 

IP Logged
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 30-04-2012 08:19:56 
gordianknot
Joined: 11-11-2009 15:42:19
Posts: 2,013
Location: Balan, Romania

Felicitari pentru aur! 

Recunosc, momentan nu-mi vine nici mie nimic in minte, doar niste "idei" :) 

1. presupun ca in cazul  20114 ai rezolvat problema, ca se poate socoti direct (pe pozitiile 5 si 6 se afla cifra 6)- problema ar fi la 20112011 :) 

2. 2012! +4 are forma: a1a2...an000...04 - n cifre in fata, si m zerouri,

iar 2012! - 5 are forma: a1a2..akbk+1...bn99...95 , si m cifre de 9 :), dar departe nu am ajuns.

Daca imi vine vreo idee, scriu. 

Bafta la rezolvare, si atat, deocamdata - imi pare rau. (pacat, ca limita e 30.aprilie)

 

IP Logged
Oláh Csaba
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 30-04-2012 13:54:39 
George_Gaumont
Joined: 01-03-2011 17:57:39
Posts: 446
Location

In fuga...

Evident, felicitari pentru aur si pentru interesul manifestat pentru matematica.

Iti trimit, cu o oarecare rezerva, rezolvarea de la problema 3.

De ce sunt rezervele? La acest concurs de pe viitoriolimpici, foarte multi elevi apeleaza la o rezolvare externa a unor exerciti propuse. Acest lucru are doua parti: una buna-elevul, daca intelege rezolvarea, poate progresa

si una mai putin buna, clasamentul final este oarecum denaturat.

Acelasi lucru s-a intamplat si la olimpiada de matematica, faza judeteana, unde foarte multe dintre problemele propuse in gazeta matematica in ultimele sase numere si din care era un subiect la olimpiada, si-au gasit rezolvarea pe diverse forumuri de matematica, fapt care atras nemultumirea organizatorilor.

Nu este un repros adresat tie. Vreau sa vad partea buna a lucrurilor si ma bucura faptul ca matematica a castigat inca un elev. Te asteptam pe forum cu orice alta problema, preferabil in afara concursului mentionat, si, in masura timpului, vom incerca sa te ajutam. Oricum, ma bucur de o noua intrare in randul forumistilor si iti urez succes.

 

P.S. Pe alte forumuri, in cazul postarii unor probleme din concursul Viitoriolimpici, a caror data de

trimitere a rezolvarii nu era depasita, administratorul forumului a inchis topicul.



IP Logged
Last Edited On: 30-04-2012 15:24:09 By George_Gaumont for the Reason
Prof. Gheorghe ROTARIU
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 30-04-2012 14:01:39 
radauti
Joined: 29-04-2012 21:20:36
Posts: 15
Location

Rezolvari:

=========================

Se stie ca un numar se divide cu 9 daca si numai daca suma cifrelor lui se divide cu 9.
Demonstram la general ca daca un numar are restul k la impartirea la 9 atunci si numarul obtinut prin taierea primei cifre a numarului si adunarea ei la unitati ne genereaza un numar cu restul k la impartirea la 9. (Criteriul de div. cu 9 e atunci un za particular, pt k=0).

Nn =cncn-1......c2c1

Nn-1=dn-1dn-2.....d2d1= Nn - cn10n-1+cn = Nn - cn*99999...9 => Nn-1 si Nn au acelasi rest la impartirea la 9.

 

Exact lafel procedam pina raminem cu un numar de 10 cifre.

acum, daca numarul de 10 cifre ramas la sfirsitul tuturor operatiunilor are cifre distincte .. atunci acestea sunt 0, 1, 2 ...9 in suma de 45, multiplu de 9. Adica, conform a ceea ce am demonstrat mai sus, pas cu pas in operatiunile facute  ... si numarul initial se divid cu 9. Adica 20112011 s-ar divide cu 9. Fals evident pt 2011 e prim. Deci rezultatul operatiunilor asupra lui 20112011 e un numar de 10 cifre intre care unele se repeta.

 ===================

 a1 = 2012! + 4 =M9   + 4

b1 = 2012! - 5  = M9    +4

 

Adunind cifrele unui numar obtinem acelasi rest la impartirea cu 4 ca si numarul insusi (usor de demonstrat prin  desfacerea numarului in puteri ale lui 10 siprin adunarea si scaderea tuturor cifrelor numarului si apoi gruparea convenabila cu scoatea factorilor comuni si aparitia numerelor 999..999).

Deci a2 va avea acelasi rest (4) la impartirea la 9 ca si a1 .. si asa mai departe .. la final va ramine un 4.

Analog  finalul pentru b va fi 4.

 Daca undeva la niste pasi de pe parcurs nu apare egalitatea numerelor .. atunci la finalui calculelor sigur va si a...=b...=4

 

Frumoase...

IP Logged
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 30-04-2012 14:04:21 
radauti
Joined: 29-04-2012 21:20:36
Posts: 15
Location

Inteleg apelarea la sfaturi externe .. dar si acestea fac parte din invatare. Nu inseamna ca asa fac de fiecare data .. acum (zau!) e prima data. Dar na innebuneau notele celorlalti (adica problemele se puteau face!!) si azi era limita ..

 Pina la urma le-am facut si eu. Multumesc oricum.

(acum ma uit daca rezolvarile sunt asemanatoare:) )

IP Logged
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 30-04-2012 14:59:52 
gordianknot
Joined: 11-11-2009 15:42:19
Posts: 2,013
Location: Balan, Romania
Felicitari pentru rezolvare - recunosc, eu nu am mai stat azi la problema, acum nu demult am intrat in casa (am "sarbatorit" Ziua Muncii cu munca, afara :) ). Intre timp m-am mai gandit la rezolvari, dar nu acesta era drumul pe care am pornit, si oricum - rezolvarile date de Dl. profesor si de Tine sunt foarte elegante. (nu sunt probleme usoare:) ) Bravo, inca o data!
IP Logged
Oláh Csaba
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 01-05-2012 20:54:51 
ibiro
Joined: 25-01-2010 12:29:40
Posts: 210
Location
La problema 2 se poate observa ca a(1)=b(1)+9 si conform definitiei rezulta ca a(k)=b(k)+9 pentru orice k. In plus,sirul b fiind descrescator va exista n astfel ca b(n)=c, va fi un numar de o cifra ( si evident b(n+1)=b(n+2)=...=c); in acest moment a(n)=c+9, dar a(n+1)=c=b(n) pentru orice cifra c ! Concluzia problemei ramane valabila pentru orice b(1).
IP Logged
 Subject :Re:2 probleme interesante!.. 11-05-2012 21:33:34 
radauti
Joined: 29-04-2012 21:20:36
Posts: 15
Location
Super rezolvare! Mai simpla si mai concentrata! Multumesc.
IP Logged
Pagina # 


Powered by ccBoard



Bac Matematica | Descopera |