Matematica

 Forum Matematica - probleme rezolvate :: Propune probleme de matematica pentru liceu
Welcome Guest   [Register]  [Login]
 Subject :Clasa aIX-a,Şiruri + progresie aritmetică.. 27-12-2012 07:00:51 
Bogdan96
Joined: 08-04-2012 09:47:13
Posts: 10
Location

1) Şirul (an)n≥1 este dat de a1=2 ,an=an-1 +n2+n ,n≥2.Să se arate că an=n(n+1)(n-2) /3 ,oricare ar fi n € N*

 

2)Să se arate că dacă şirul (xn)n≥1 verifică x1+2x2+3x3+...+ nxn=(n+1)!-1 pentru orice n€N*,atunci toţi termenii sunt numere naturale.

 

3) Se consideră şirul (an) n≥1 .Ştiind că pentru orice n€N* are loc egalitatea a1+a2+...+an=n2+n,să se demonstreze că (an)n≥1 este progresie aritmetică.

IP Logged
 Subject :Re:Clasa aIX-a,Şiruri + progresie aritmetică.. 27-12-2012 09:15:11 
gordianknot
Joined: 11-11-2009 15:42:19
Posts: 1,894
Location: Balan, Romania
Buna ziua,

Niste idei/schite de rezolvare, in graba:

1

a2 = a1 + 22 + 2

a3 = a2 + 32 + 3

....

an = an-1 = n2 + n , adunand egalitatiile de mai sus, in afara de primul si ultimul termen se reduc toate :

an = a1 + 22+2 + 32+3 + ... + n2+n = (12+22+...+n2) + (1+2+...+n) = ....  exista formule pentru sumele din paranteze, sa le socotesti tu.

 

2. Scriem asa:

x1 + 2x2 + 3x3 + ... + nxn = (n+1)! - 1

x1 + 2x2 + 3x3 + ... + nxn + (n+1)xn+1 = (n+2)! - 1  scadem prima egalitate din a doua si avem

(n+1)xn+1 = [(n+2)! - 1] - [(n+1)! - 1] = (n+2)!-(n+1)! = n!(n+1)(n+2) - n!(n+1) ,deci

(n+1)xn+1  = n!(n+1)(n+2) - n!(n+1) |:(n+1) , impartim egalitatea la (n+1)  :

xn+1 = n!(n+2) - n! = n!(n+2-1) = n!(n+1) = (n+1)!, 

xn+1 = (n+1)! este numar natural, deci...

 

3. Scriem asa:

a1 + a2 + ... + an = n2 + n

a1 + a2 + ... + an + an+1 = (n+1)2 + (n+1),  scadem prima egalitate din a doua si avem:

an+1 = [(n+1)2 + (n+1)] - [n2+ n] = 2n+2 = 2(n+1)

Atunci an = 2n si an+1 - an = 2n+2 - 2n = 2, un numar constant (ratia progresiei), deci

(an)n>2  este o progresie aritmetica

Sa mai verifici socotelile..

 

IP Logged
Last Edited On: 27-12-2012 09:16:57 By gordianknot for the Reason
Oláh Csaba
Pagina # 


Powered by ccBoard


Vizitatori online

Avem 413 vizitatori online
 Forum - ultimele postari
Re:Elemente simetrizabile 30-09-2014 15:14:55 Bed of roses
Re:Exercitiu cu puteri cls a6a 30-09-2014 12:20:58 gordianknot
Divizori cls a6a 30-09-2014 08:44:11 nico
Re:monotonia sirurilor 30-09-2014 03:48:37 George_Gaumont
Re:algebra 30-09-2014 03:44:06 George_Gaumont
Re:algebra 29-09-2014 18:24:34 carcarel
Matrice (2) 29-09-2014 17:55:00 JohnnyPrototype
Re:Aratati ca valoarea expresiei 29-09-2014 16:35:05 carcarel
Inegalitati 28-09-2014 15:16:06 Cristina Geo
Re:Combinatii 28-09-2014 10:38:57 atrei
Re:ex cls a6a 27-09-2014 19:07:35 George_Gaumont
Re:Problema algebra, numere reale. 27-09-2014 08:43:13 gordianknot
Re:Se considera sumele 27-09-2014 08:35:41 gordianknot
Re:ex algebra clasa a viii-a 27-09-2014 07:07:43 George_Gaumont
Re:Functii 26-09-2014 17:01:19 Madette
Re:Fie a un numar real astfel 26-09-2014 05:07:22 learningmath
Re:Re:Determinati numerele rationale 25-09-2014 21:34:22 learningmath
Re:algebra 25-09-2014 18:33:46 ibiro
Re:Aratati ca numerele 25-09-2014 17:50:40 gordianknot
Re:Se considera expresia 25-09-2014 17:47:54 gordianknot
Re:REALE 25-09-2014 15:26:31 learningmath
Re:Parte intreaga 25-09-2014 15:26:13 learningmath
Re:Ex cls a6a 24-09-2014 19:55:38 gordianknot
Re:Integrale. 23-09-2014 17:34:39 gordianknot
Re:Matrice 23-09-2014 17:03:47 Bed of roses
English Arabic Bulgarian Chinese (Traditional) Croatian Czech Danish Dutch Finnish French German Greek Hindi Italian Japanese Korean Portuguese Romanian Russian Spanish Swedish Latvian Serbian Slovenian Ukrainian Hungarian Turkish

Login Form



Dupa ce creati un cont trebuie activat din e-mailul dvs.

Parteneri

Banner

INFOrmatii mateinfo.ro

Subiecte si Bareme Evaluarea Nationala la Matematica OLIMIPCI 2014
Joi, 12 Iunie 2014
Subiecte si Bareme Evaluarea Nationala la Matematica OLIMIPCI 2014 
Subiecte si bareme BAC Romana - 1.07.2013
Luni, 01 Iulie 2013
Subiecte si bareme BAC Limba si Literatura Romana - 1.07.2013 Subiecte si bareme BAC Limba si Literatura Romana - 1.07.2013 - uman pag1 si pag 2  Subiecte si bareme BAC Limba si Literatura Romana - 1.07.2013 - real pag1 si pag2 
Simulari BAC matematica - aprilie 2013
Joi, 25 Aprilie 2013
Simulari BAC matematica - aprilie 2013Simularile la matematica date in aprilie in PRAHOVA si BUCURESTI, cu bareme de rezolvare le puteti vedea aici    
Imagine
O noua descoperire - inegalitatea Ionescu-Weitzenbock
Joi, 24 Ianuarie 2013
 O noua descoperire in matematica - inegalitatea Ionescu-Weitzenbock   O noua descoperire realizata de colaboratorii fideli ai site-ului www.mateinfo.ro  - D. M. BATINETU-GIURGIU si NECULAI STANCIU  Scopul acestui articol este de a demonstra ca vestita inegalitate Weitzenbock trebuie sa se numeasca inegalitatea Ionescu-Weitzenböck. Articolul original a aparut in urma cu cateva zile pe site-ul oficial al Societatii de Stiinte Matematica... Citeşte mai mult...
Subiect BAC Limba si Literatura Romana - luni 27 august 2012
Duminică, 26 August 2012
Subiect BAC Limba si Literatura Romana - luni 27 august 2012 Imediat dupa proba ...  
Subiect - Titularizare Matematica 2012
Vineri, 27 Iulie 2012
 Subiect si Barem - Titularizare Matematica 2012 (2 august )  Subiect - Titularizare Matematica 2012 (Varianta oficiala 2 august) Barem Subiect - Titularizare Matematica 2012 (barem oficial 2 august) Subiect - Titularizare Matematica 2012 (model oficial) Barem Subiect - Titularizare Matematioca 2012 (model oficial) Subiect - Titularizare Matematica 2011 Barem Subiect - Titularizare Matematica 2011 
Subiect si Barem - BAC Matematica M1 si M2 4.07.2012
Miercuri, 04 Iulie 2012
Subiect si Barem - BAC Matematica M1 si M2 4.07.2012   Subiect BAC Matematica M2 2012 Barem BAC Matematica M2 2012   Subiect BAC Matematica M1 2012 Barem BAC Matematica M1 2012 
21 martie: testarea OECD-PISA 2012 la matematica
Miercuri, 21 Martie 2012
21 martie: testarea OECD-PISA 2012 la matematica Centrul National pentru Examinare si Evaluare (CNEE) organizeaza miercuri, 21 martie 2012, testarea elevilor de 15 ani in cadrul proiectului OECD-PISA 2012. Testarea se va desfasura in 178 de scoli si va cuprinde aproximativ 5.200 de elevi de gimnaziu si liceu cu varsta de 15 ani.In ciclul de testare 2012, domeniul principal al evaluarii este matematica. Elevii vor primi o brosura de test cu... Citeşte mai mult...

Bac Matematica | Descopera |