Matematica

 Forum Matematica - probleme rezolvate :: Propune probleme de matematica pentru liceu
Welcome Guest   [Register]  [Login]
 Subject :Clasa aIX-a,Şiruri + progresie aritmetică.. 27-12-2012 07:00:51 
Bogdan96
Joined: 08-04-2012 09:47:13
Posts: 10
Location

1) Şirul (an)n≥1 este dat de a1=2 ,an=an-1 +n2+n ,n≥2.Să se arate că an=n(n+1)(n-2) /3 ,oricare ar fi n € N*

 

2)Să se arate că dacă şirul (xn)n≥1 verifică x1+2x2+3x3+...+ nxn=(n+1)!-1 pentru orice n€N*,atunci toţi termenii sunt numere naturale.

 

3) Se consideră şirul (an) n≥1 .Ştiind că pentru orice n€N* are loc egalitatea a1+a2+...+an=n2+n,să se demonstreze că (an)n≥1 este progresie aritmetică.

IP Logged
 Subject :Re:Clasa aIX-a,Şiruri + progresie aritmetică.. 27-12-2012 09:15:11 
gordianknot
Joined: 11-11-2009 15:42:19
Posts: 2,000
Location: Balan, Romania
Buna ziua,

Niste idei/schite de rezolvare, in graba:

1

a2 = a1 + 22 + 2

a3 = a2 + 32 + 3

....

an = an-1 = n2 + n , adunand egalitatiile de mai sus, in afara de primul si ultimul termen se reduc toate :

an = a1 + 22+2 + 32+3 + ... + n2+n = (12+22+...+n2) + (1+2+...+n) = ....  exista formule pentru sumele din paranteze, sa le socotesti tu.

 

2. Scriem asa:

x1 + 2x2 + 3x3 + ... + nxn = (n+1)! - 1

x1 + 2x2 + 3x3 + ... + nxn + (n+1)xn+1 = (n+2)! - 1  scadem prima egalitate din a doua si avem

(n+1)xn+1 = [(n+2)! - 1] - [(n+1)! - 1] = (n+2)!-(n+1)! = n!(n+1)(n+2) - n!(n+1) ,deci

(n+1)xn+1  = n!(n+1)(n+2) - n!(n+1) |:(n+1) , impartim egalitatea la (n+1)  :

xn+1 = n!(n+2) - n! = n!(n+2-1) = n!(n+1) = (n+1)!, 

xn+1 = (n+1)! este numar natural, deci...

 

3. Scriem asa:

a1 + a2 + ... + an = n2 + n

a1 + a2 + ... + an + an+1 = (n+1)2 + (n+1),  scadem prima egalitate din a doua si avem:

an+1 = [(n+1)2 + (n+1)] - [n2+ n] = 2n+2 = 2(n+1)

Atunci an = 2n si an+1 - an = 2n+2 - 2n = 2, un numar constant (ratia progresiei), deci

(an)n>2  este o progresie aritmetica

Sa mai verifici socotelile..

 

IP Logged
Last Edited On: 27-12-2012 09:16:57 By gordianknot for the Reason
Oláh Csaba
Pagina # 


Powered by ccBoard



Bac Matematica | Descopera |