Colectie  de probleme rezolvate cu mai multe solutii

www.MateInfo.ro

(Format .HTML)

Problema Saptamanii 2.08.2010 - 8.08.2010

 

 

1.  Exista o constanta m ∈ MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacceqcLbyaqaaaaaaaaaWdbiab=HGiodaa@388B@  (0, ) astfel incat inegalitatile  R  m  (1 + ) r sa fie adevarate in orice triunghi dreptunghic ? (Notatiile sunt cele uzuale).

 

                                                                  Prof. Manescu Avram Corneliu

 

Solutie autor :

 

 Fie a lungimea ipotenuzei si b, c lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic arbitrar. Avem

                                                  =    =    1,

                    =    =        1

 

(am folosit inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica, respectiv patratica).

 

Rezulta ca pentru m = 1 inegalitatile din enunt sunt adevarate.

 

   Cazul triunghiului dreptunghic isoscel, cu b = c = 1, a =   , arata ca m = 1 este singura valoare admisibila. Intr-adevar, atunci R =  ,  S =    si r =    , de unde     , asadar m = 1.

Comentariu.  Acest rezultat este o rafinare a inegalitatii lui Euler pentru triunghiurile dreptunghice.

 

 

 

 

Alte solutii:

 

 

1)      Prof. Viorica Ciocanaru,   Grupul Scolar Industrial Energetic, Craiova

 

 

	M3

 

  

S = R²   daca   ABM_i este isoscel,  p = (2 R + 2 R)/ 2 = R (+ 1)  de unde rezulta   + 1 = p/ R      [1]

In inegalitatile  r (+ 1)  m   R  inlocuind   [1]   rezulta   r p/ R  m  R aceasta relatie, prin impartirea la   > 0 , devine       m                  m   . Prin amplificarea fractiei  din ultima relatie cu R,  se obtine relatia:    m       [2].

 Cele doua fractii din  [2] au aceeiasi numitori si pentru a exista m > 0 astfel incat inegalitatile din problema sa fie indeplinite in orice triunghi dreptunghic, trebuie verificata relatia  S R²     [3].

Cu formula pentru aria triunghiului folosind lungimile a doua laturi si unghiul format de acestea se obtine   S = 2 R² sin ( M_i AB) cos ( M_i AB), cu  i{1, 2, ... n}   [4].

In relatia [4] se foloseste formula  sin 2 = 2 sin  cos    si  [4]  devine:

S = R² sin 2( M_i AB)    [5].

 Din [3] si [5]  dupa impartirea prin R² > 0  se obtine relatia evidenta

sin 2( M_i AB) 1,  i{1, 2, ... n}.

  Deci exista  m  [,  ] astfel incat inegalitatile din problema sa fie

indeplinite in orice triunghi dreptunghic.

    Observatie:

 Avand la dispozitie calculatorul, se pot obtine capetele intervalului in care m ia valori; cateva dintre ele se gasesc in tabelul urmator:

 

m( Mi AB)	Intervalul in care m ia valori		Lungimea intervalului	r = S/ p
	capatul din stanga	capatul din dreapta
10	0,223572	5,352877	5,129305019	0,017300
50	0,484013	2,399731	1,915718518	0,083545
100	0,654120	1,709914	1,055793918	0,158456
150	0,767325	1,414214	0,646888343	0,224744
180	0,819100	1,304112	0,485012573	0,260163
250	0,907288	1,142548	0,235259934	0,328924
300	0,949559	1,074567	0,125008185	0,366027
350	0,978080	1,031591	0,053511555	0,392727
400	0,994594	1,007683	0,013088810	0,408918
450	0,999997	1,000000	2,66655E-06	0,414212

 

Pe masura ce valorile unghiurilor M_i AB  cresc astfel incat triunghiul dreptunghic sa devina isoscel, intervalul in care se afla m > 0 isi scurteaza lungimea ajungand la valoarea 1 daca triunghiul este isoscel.

 

 

 

2)      Prof. Bercaru Geta, Colegiul  “V. Madgearu” Bucuresti

Luam  inegalitalile pe  rand

          

     

Notam       relatia  devine 

 Deoarece  relatia  trebuie sa fie adevarata in orice triunghi dreptunghic rezulta

 

Consider  functia   ,derivand  obtinem   

Din  monotonia  functiei  rezulta  valoarea  minima  a  functiei  este  in  punctul  x=1

Deci    oricare  ar  fi 

Deci  trebuie      cum  m  e  pozitiv  rezulta 

Cea  de-a  doua  inegalitate

     

 

Notam       relatia  devine 

Consider  functia   ,

derivand  obtinem 

Din  monotonia  functiei  rezulta  valoarea  maxima  a  functiei  este  in  punctul  x=1

Deci    oricare  ar  fi 

    deci    adica  

Din  ambele  inegalitati  rezulta  m=1.

 

 

3)  Prof.Olah Csaba, Grup Scolar “Liviu Rebreanu”, Balan, Jud. Harghita

 

Prima data luam partea stanga  , fiind vorba de numere pozitive. Daca in triunghiul nostru , atunci  si . Atunci  (*) . Se stie ca , de unde rezulta ca , deci  . Atunci din (*) rezulta ca .

Sa verificam daca aceasta valoare  merge si pentru partea cealalta al sirului de inegalitati. Avem de verificat inegalitatea .(**)

. Se stie ca  si , deci avem de demonstrat .

Fie functia , . Daca demonstram ca minimul functiei este  atunci constanta pozitiva cautata este .

. Observam ca ,  este descrescatoare pe intervalul  si este crescatoare pe , deci  este punct de minim. .

Constanta cautata este  si putem scrie . 

Obs.: Egalitate este cand triunghiul este isoscel (, adica)

 

4) Profesor Biro Istvan, Scoala cu cls. I-VIII nr.1 Sannicolau Mare

 

Daca inegalitatile  sunt adevarate in orice triunghi dreptunghic, atunci putem considera cazul particular cand triunghiul dreptunghic este isoscel. In acest caz, notand cu x lungimea catetei, avem  , iar inegalitatile din enunt devin , adica

 

5) Prof. Florin Paraschiv, Grupul Scolar Valea Calugareasca

 

Impartim inegalitatea initiala prin si obtinem

Pentru ca inegalitatea de mai sus sa fie adevarata trebuie ca

Intr-un triunghi dreptunghic avem

Trebuie sa aratam ca

Am aratat ca ,oricare ar fi a,b,c

Deci exista un astfel incat

 

 

 

6) Profesor Laura Radu, Liceul cu Program Sportiv, Galati

 

 

      (1)         ≥ m ≥

Calculam diferenta :

 d  = − = [R−(1+)r]=

     =

 

        1+sinB +sinC = 1+ 2sin = 1+2sin 45°cos = 1+ 2·=

                               =1+=

                               =

 

d =  =

Demonstram ca  d0 .

       

            

 

  

 

    / ·2   

 

  relatie adevarata deoarece .     

Deci  si deoarece cele doua fractii sunt pozitive

, >0, care verifica relatia (1) oricare ar fi triunghiul dreptunghic.

 

7) Prof. Iuliana Trasca,  Scornicesti-Olt

 

Fie a si b lungimile catetelor,  lungimea ipotenuzei.

,

 

(1)

Avem

Deci

Dar  si m>0       (*)

 

 

 

 

Dar >0

insa 

Deci

adica

Din (*) si (**) avem m=1