Logaritmi. Funcția exponențială și logaritmică – teorie, formule și exemple rezolvate

Condiții de existență pentru \(\log_{b(x)}E(x)\):

\[\begin{cases}E(x)\gt0 & \text{(argumentul strict pozitiv)}\\ b(x)\gt0 & \text{(baza strict pozitivă)}\\ b(x)\ne1 & \text{(baza diferită de 1)}\end{cases}\]

Notații speciale: \(\lg x=\log_{10}x\) (logaritm zecimal)\(\ln x=\log_e x\) (logaritm natural, \(e\approx2{,}718\)).

Pentru \(a\gt0,\ a\ne1,\ x,y\gt0,\ n\in\mathbb{R}\):

1. \(\log_a 1=0\)2. \(\log_a a=1\)3. \(a^{\log_a x}=x\)

4. \(\log_a a^n=n\)5. \(\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y\)6. \(\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y\)

7. \(\log_a x^n=n\log_a x\)8. \(\log_{a^n}x=\dfrac{1}{n}\log_a x\ \ (n\ne0)\)9. \(\log_a\dfrac{1}{x}=-\log_a x\)

Schimbarea bazei:

10. \(\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}\)11. \(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\)12. \(\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c\)13. \(a^{\log_b c}=c^{\log_b a}\)

Monotonia funcției exponențiale:

I. Dacă \(a\gt1:\quad a^{x_1}\lt a^{x_2}\iff x_1\lt x_2\) (strict crescătoare)

II. Dacă \(a\in(0,1):\quad a^{x_1}\lt a^{x_2}\iff x_1\gt x_2\) (strict descrescătoare)

Graficul trece prin punctul \((0,1)\), are asimptotă orizontală \(y=0\) și \(\operatorname{Im}f=(0,\infty)\).

Monotonia funcției logaritmice:

I. Dacă \(a\gt1:\quad \log_a x_1\lt\log_a x_2\iff x_1\lt x_2\) (strict crescătoare)

II. Dacă \(a\in(0,1):\quad \log_a x_1\lt\log_a x_2\iff x_1\gt x_2\) (strict descrescătoare)

Graficul trece prin \((1,0)\), are asimptotă verticală \(x=0\) și \(\operatorname{Im}f=\mathbb{R}\).