MODEL 2 – BAC MATEMATICĂ MATE-INFO

www.mateinfo.ro

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică.

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨        Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL  I (30 de puncte)

 (5p)     1. Calculaţi \(\sqrt[3]{64}+{{\log }_{2}}\sqrt[3]{64}\).

(5p)     2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{2}^{x-1}}\). Să se calculeze \(f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+\cdots +f\left( 10 \right)\)

(5p)     3. Să se rezolve în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \(\sqrt{{{x}^{2}}-6x}=3x\).

(5p)     4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea \(A=\left\{ 8,9,10,\cdots 40 \right\}\) acesta să fie divizibil cu 4.

(5p)     5. Se consideră vectorii \(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}\)şi \(\overrightarrow{v}=-4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}\). Determinaţi coordonatele vectorului \(\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v}\).

(5p)     6. Într-un triunghi \(ABC\)se cunosc \(AB=12,\text{ }BC=8,\text{ }AC=6\). Să se calculeze \(\cos B\).

SUBIECTUL  al II-lea  (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul              

            \[\begin{cases} x+2y+3z & =0\\ 5x+3y+z & =0\\ x+3y+5z & =0 \end{cases}\]

 Se notează cu A matricea sistemului.

(5p)      a) Să se calculeze determinantul şi rangul matricei A.

(5p)      b) Să se rezolve sistemul.

(5p)      c) Să se găsească o matrice \(B\in {{M}_{3}}(\mathbb{R}),B\ne {{O}_{3}}\)astfel încât \(A\cdot B={{O}_{3}}\)

             2. Se considerã \(a\,\in \,\,R\)şi ecuaţia \({{x}^{4}}+\left( a-2 \right)\,{{x}^{3}}+\left( {{a}^{2}}-2a+4 \right)\,{{x}^{2}}-x+1=0.\)

(5p)      a) Sã se calculeze \(\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{3}}}+\frac{1}{{{x}_{4}}}\) .

(5p)      b) Sã se arate cã ecuaţia datã nu are toate rãdãcinile reale.

(5p)      c) Sã se demonstreze cã ecuaţia datã nu admite pe -2 drept rãdãcinã triplã.

SUBIECTUL  al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia f: R\ {\(\pm \) 1} \(\to \)R, f(x) = \(\frac{{{x}^{3}}-6x+5}{{{x}^{2}}-1}\).

(5p)      a) Determinaţi rǎdǎcinile ecuaţiei f(x) = 0.

(5p)      b) Determinaţi ecuaţiile asimptotelor la G_f.

(5p)      c) Calculați \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{f(x)}{x} \right)}^{\frac{{{x}^{3}}+1}{2x}}}\) 

2. Se consideră funcţia f: R\ {-5, 0}\(\to \)R, f(x) = \(\frac{1}{x(x+5)}\).

(5p)     a) Să se calculeze \(\int\limits_{1}^{n}{f(x)}\)dx, n\(\ge \) 2, n \(\in \) N.

(5p)     b) Dacă se notează integrala de la a) cu I_n, să se determine \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\) I_n.

(5p)     c) Fără a calcula efectiv integrala, să se arate că \(\frac{1}{3}\le \int\limits_{4}^{7}{x(x-3)f(x)dx\le 1}\).

   Model 2 - BAC Matematică Mate-Info.pdf 

    BAREM Model 2 - BAC Matematică Mate-Info.pdf