Puteri și radicali – teorie, formule și exemple rezolvate

Subiectul I – Algebră. Mulțimile de numere, puterile cu exponent întreg și rațional, radicalii (condiții de existență, proprietăți, raționalizare) și inegalitatea mediilor, cu exemple rezolvate.

2.1Mulțimi de numere – recapitulare

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\) – numere naturale

\(\mathbb{Z}=\{\dots,-1,0,1,\dots\}\) – numere întregi

\(\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^*\right\}\) – numere raționale (fracții, zecimale finite sau periodice)

\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) – numere iraționale (\(\sqrt{2},\ \sqrt[3]{5},\ \pi,\ e,\ \lg 3\))

↑ Cuprins

2.2Puteri cu exponent natural și întreg

Definiție

Pentru \(a\in\mathbb{R}\) și \(n\in\mathbb{N}^*\):

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ factori}},\qquad a^1=a,\qquad a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a\ne0).\]

Expresia \(0^0\) nu are sens.

Proprietățile puterilor (\(a,b\gt0\) sau exponenți întregi cu baze nenule):

1. \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)2. \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)3. \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

4. \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)6. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)

7. \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)8. \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}\)9. \((-a)^{2k}=a^{2k},\ (-a)^{2k+1}=-a^{2k+1}\)

Exemplul 2.1

Calculați \(\dfrac{2^{10}\cdot2^{-3}}{4^2}\).

Rezolvare

\(\dfrac{2^{10-3}}{(2^2)^2}=\dfrac{2^7}{2^4}=2^3=8\).

Exemplul 2.2

Arătați că \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\dfrac{25}{9}\).

Rezolvare

\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{25}{9}\).

↑ Cuprins

2.3Radicali

Condiții de existență

Radical de ordin par \(\sqrt[2k]{E(x)}\)

există numai dacă \(E(x)\ge0\);

rezultatul este \(\ge0\).

Radical de ordin impar \(\sqrt[2k+1]{E(x)}\)

există pentru orice \(E(x)\in\mathbb{R}\);

rezultatul are semnul lui \(E(x)\).

\[\sqrt{a^2}=|a|,\qquad \sqrt[3]{a^3}=a,\qquad \sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|,\qquad \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a\]

Proprietățile radicalilor (\(a,b\ge0\), respectiv \(b\gt0\) la împărțire):

1. \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)2. \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)3. \((\sqrt{a})^2=a\)

4. \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)5. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)6. \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\)

7. \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[nk]{a^{mk}}\)8. \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\ (a\ge0)\)9. \(\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}\)

Raționalizarea numitorului

\[\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a},\qquad \dfrac{c}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}=\dfrac{c(\sqrt{a}\mp\sqrt{b})}{a-b},\qquad \dfrac{c}{\sqrt[3]{a}}=\dfrac{c\sqrt[3]{a^2}}{a}\]

Expresiile \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) și \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) se numesc conjugate.

Exemplul 2.3

Calculați \(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}\).

Rezolvare

\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), deci suma este \((5-3+2)\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).

Exemplul 2.4

Raționalizați \(\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\).

Rezolvare

\[\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=2(\sqrt{5}+\sqrt{2}).\]

Exemplul 2.5

Arătați că numărul \(a=\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{3}\) este natural.

Rezolvare

\(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\), deoarece \(\sqrt{3}\lt2\). Atunci

\[a=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\in\mathbb{N}.\]

Greșeala nr. 1 la examen

\(\sqrt{a^2}\ne a\), ci \(\sqrt{a^2}=|a|\). La fel, \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\) și \((a+b)^2\ne a^2+b^2\).

↑ Cuprins

2.4Media aritmetică, geometrică, armonică

Pentru \(a,b\gt0\):

\(m_a=\dfrac{a+b}{2}\)\(m_g=\sqrt{ab}\)\(m_h=\dfrac{2ab}{a+b}\)\(\boxed{m_h\le m_g\le m_a}\)

cu egalitate dacă și numai dacă \(a=b\). În particular \(a+\dfrac{1}{a}\ge2,\ \forall\, a\gt0\).

Exemplul 2.6

Comparați \(m_a\) și \(m_g\) pentru \(a=2,\ b=8\).

Rezolvare

\(m_a=\dfrac{2+8}{2}=5\), \(m_g=\sqrt{16}=4\); într-adevăr \(4\lt5\).

↑ Cuprins

Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).