Teorie analiză matematică liceu – formule și exemple rezolvate
Teoria de analiză matematică din clasele a XI-a și a XII-a: limite, continuitate, derivate, studiul funcțiilor, primitive și integrale – fiecare cu un exemplu rezolvat.
1Șiruri. Limite de șiruri
- Un șir este crescător dacă \(a_{n+1}\ge a_n\) pentru orice \(n\) și mărginit dacă există \(m,M\) cu \(m\le a_n\le M\).
- Teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent.
- Pentru un raport de polinoame în \(n\) contează gradele: grade egale → raportul coeficienților dominanți; numărător de grad mai mic → 0; mai mare → \(\pm\infty\).
\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0\)\( \lim\limits_{n\to\infty}q^n=0\ (|q|\lt1),\quad \lim\limits_{n\to\infty}q^n=\infty\ (q>1)\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=e\approx2{,}718\)
Exemplu
Calculați: a) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3}{n^2-n+1}\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3^n+2^n}{3^{n+1}}\).
Rezolvare
a) Gradele sunt egale, deci limita este \(\dfrac21=2\).
b) Împărțim cu \(3^n\): \(\dfrac{1+\left(\frac23\right)^n}{3}\to\dfrac{1+0}{3}=\dfrac13\), pentru că \(\left(\frac23\right)^n\to0\).
b) Împărțim cu \(3^n\): \(\dfrac{1+\left(\frac23\right)^n}{3}\to\dfrac{1+0}{3}=\dfrac13\), pentru că \(\left(\frac23\right)^n\to0\).
2Limite de funcții. Cazuri exceptate
- Cazuri exceptate: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0\). Le eliminăm prin descompunere, amplificare cu conjugata, scoaterea factorului dominant sau limite remarcabile.
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)\( \lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e\)\( \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)\( \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)
Exemplu
Calculați: a) \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\); b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}\); c) \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\).
Rezolvare
a) Caz \(\frac00\): \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to4\).
b) \(\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}\to3\cdot1=3\).
c) Caz \(\infty-\infty\); amplificăm cu conjugata: \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12\).
b) \(\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}\to3\cdot1=3\).
c) Caz \(\infty-\infty\); amplificăm cu conjugata: \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12\).
3Asimptote
- Orizontală spre \(+\infty\): dreapta \(y=\ell\), dacă \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}\).
- Verticală: dreapta \(x=a\), dacă cel puțin o limită laterală a lui \(f\) în \(a\) este infinită.
- Oblică spre \(+\infty\): \(y=mx+n\), unde \(m=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\in\mathbb{R}^*\) și \(n=\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-mx\big)\in\mathbb{R}\).
Exemplu
Determinați asimptotele funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).
Rezolvare
Verticală: \(\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\dfrac{2}{0_+}=+\infty\), deci \(x=1\) este asimptotă verticală.
Oblică: \(m=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2-x}=1\); \(n=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1\).
Deci \(y=x+1\) este asimptotă oblică spre \(\pm\infty\) (și nu există asimptotă orizontală).
Oblică: \(m=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2-x}=1\); \(n=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1\).
Deci \(y=x+1\) este asimptotă oblică spre \(\pm\infty\) (și nu există asimptotă orizontală).
4Continuitate. Proprietatea lui Darboux
- \(f\) este continuă în \(a\) dacă \(\lim\limits_{x\nearrow a}f(x)=\lim\limits_{x\searrow a}f(x)=f(a)\). Funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor.
- Orice funcție continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux (nu „sare” valori).
- Consecință: dacă \(f\) e continuă pe \([a,b]\) și \(f(a)\cdot f(b)\lt0\), ecuația \(f(x)=0\) are cel puțin o soluție în \((a,b)\).
Exemplu
a) Aflați \(a\in\mathbb{R}\) astfel încât \(f(x)=\begin{cases}x^2+a, & x\le1\\2x+3, & x>1\end{cases}\) să fie continuă. b) Arătați că \(x^3+x-1=0\) are o soluție în \((0,1)\).
Rezolvare
a) \(\ell_s=f(1)=1+a\), \(\ell_d=2+3=5\). Continuitate în 1: \(1+a=5\Rightarrow a=4\).
b) \(g(x)=x^3+x-1\) este continuă, \(g(0)=-1\lt0\), \(g(1)=1>0\); din proprietatea lui Darboux există \(c\in(0,1)\) cu \(g(c)=0\).
b) \(g(x)=x^3+x-1\) este continuă, \(g(0)=-1\lt0\), \(g(1)=1>0\); din proprietatea lui Darboux există \(c\in(0,1)\) cu \(g(c)=0\).
5Derivate. Reguli de derivare
\(f^{\prime}(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\); tangenta în \(a\): \(y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\)
| \(f(x)\) | \(c\) | \(x^n\) | \(\sqrt x\) | \(e^x\) | \(a^x\) | \(\ln x\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\operatorname{tg}x\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | \(0\) | \(nx^{n-1}\) | \(\frac{1}{2\sqrt x}\) | \(e^x\) | \(a^x\ln a\) | \(\frac1x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\frac{1}{\cos^2x}\) |
\((f\pm g)^{\prime}=f^{\prime}\pm g^{\prime}\qquad (fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\qquad \left(\dfrac fg\right)^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\qquad \big(f(u)\big)^{\prime}=f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}\)
Exemplu
Fie \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=x\ln x\). Calculați \(f^{\prime}(x)\) și scrieți ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă \(x=1\).
Rezolvare
\(f^{\prime}(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1\).
\(f(1)=0\), \(f^{\prime}(1)=1\), deci tangenta este \(y-0=1\cdot(x-1)\), adică \(y=x-1\).
\(f(1)=0\), \(f^{\prime}(1)=1\), deci tangenta este \(y-0=1\cdot(x-1)\), adică \(y=x-1\).
6Aplicații ale derivatelor. Studiul funcțiilor
- \(f^{\prime}>0\) pe un interval \(\Rightarrow f\) crescătoare; \(f^{\prime}\lt0\Rightarrow f\) descrescătoare.
- Punctele în care \(f^{\prime}\) se anulează și își schimbă semnul sunt puncte de extrem.
- \(f^{\prime\prime}\ge0\Rightarrow f\) convexă; \(f^{\prime\prime}\le0\Rightarrow f\) concavă; unde \(f^{\prime\prime}\) schimbă semnul avem un punct de inflexiune.
- Regula lui l’Hospital (cazurile \(\frac00\), \(\frac\infty\infty\)): \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f^{\prime}}{g^{\prime}}\), dacă ultima limită există.
Exemplu
a) Studiați monotonia și extremele funcției \(f(x)=x^3-3x\). b) Calculați \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\).
Rezolvare
a) \(f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). \(f\) este crescătoare pe \((-\infty,-1]\), descrescătoare pe \([-1,1]\) și crescătoare pe \([1,\infty)\).
Maxim local în \(x=-1\): \(f(-1)=2\); minim local în \(x=1\): \(f(1)=-2\). Cum \(f^{\prime\prime}(x)=6x\), \(x=0\) este punct de inflexiune.
b) Caz \(\frac00\), aplicăm de două ori l’Hospital: \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x}{2}=\dfrac12\).
Maxim local în \(x=-1\): \(f(-1)=2\); minim local în \(x=1\): \(f(1)=-2\). Cum \(f^{\prime\prime}(x)=6x\), \(x=0\) este punct de inflexiune.
b) Caz \(\frac00\), aplicăm de două ori l’Hospital: \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x}{2}=\dfrac12\).
7Primitive (integrale nedefinite)
- \(F\) este o primitivă a lui \(f\) pe un interval dacă \(F\) este derivabilă și \(F^{\prime}=f\). Două primitive diferă printr-o constantă.
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(x^n\ (n\ne-1)\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
| \(\frac1x\) | \(\ln|x|+C\) |
| \(e^x\) | \(e^x+C\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln a}+C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x+C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x+C\) |
| \(\frac{1}{x^2+a^2}\) | \(\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa+C\) |
| \(\frac{1}{x^2-a^2}\) | \(\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2x}\) | \(\operatorname{tg}x+C\) |
Exemplu
a) Calculați \(\displaystyle\int\left(3x^2+\frac2x+e^x\right)dx,\ x>0\). b) Arătați că \(F(x)=xe^x-e^x\) este o primitivă a funcției \(f(x)=xe^x\).
Rezolvare
a) \(\displaystyle\int\left(3x^2+\frac2x+e^x\right)dx=x^3+2\ln x+e^x+C\).
b) \(F^{\prime}(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x=f(x)\), deci \(F\) este o primitivă a lui \(f\). ✓
b) \(F^{\prime}(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x=f(x)\), deci \(F\) este o primitivă a lui \(f\). ✓
8Integrala definită
Formula Leibniz–Newton: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)\)
Integrarea prin părți: \(\displaystyle\int_a^b f\,g^{\prime}\,dx=f\,g\Big|_a^b-\int_a^b f^{\prime}g\,dx\)
- Integrala este liniară: \(\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g\).
- Schimbarea de variabilă: dacă apare \(u^{\prime}(x)\cdot f\big(u(x)\big)\), notăm \(t=u(x)\) și schimbăm și capetele.
Exemplu
Calculați: a) \(\displaystyle\int_0^1(2x+1)\,dx\); b) \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\); c) \(\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}dx\).
Rezolvare
a) \((x^2+x)\Big|_0^1=2-0=2\).
b) Prin părți cu \(f=\ln x,\ g^{\prime}=1\): \(x\ln x\Big|_1^e-\displaystyle\int_1^e x\cdot\frac1x\,dx=e-(e-1)=1\).
c) Cu \(t=x^2\), \(dt=2x\,dx\), capetele devin 0 și 1: \(\displaystyle\int_0^1e^t\,dt=e-1\).
b) Prin părți cu \(f=\ln x,\ g^{\prime}=1\): \(x\ln x\Big|_1^e-\displaystyle\int_1^e x\cdot\frac1x\,dx=e-(e-1)=1\).
c) Cu \(t=x^2\), \(dt=2x\,dx\), capetele devin 0 și 1: \(\displaystyle\int_0^1e^t\,dt=e-1\).
9Aplicații ale integralei: arii și volume
Aria subgraficului lui \(f\ge0\) pe \([a,b]\): \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
Aria dintre graficele lui \(f\) și \(g\): \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\)
Volumul corpului de rotație: \(V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx\)
Exemplu
a) Aflați aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor \(f(x)=x\) și \(g(x)=x^2\). b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea graficului lui \(f(x)=\sqrt x,\ x\in[0,4]\), în jurul axei \(Ox\).
Rezolvare
a) \(x=x^2\Rightarrow x\in\{0,1\}\), iar pe \([0,1]\) avem \(x\ge x^2\): \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16\).
b) \(V=\pi\displaystyle\int_0^4x\,dx=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^4=8\pi\).
b) \(V=\pi\displaystyle\int_0^4x\,dx=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^4=8\pi\).