Șiruri. Limite. Continuitate. Derivate – teorie, formule și exemple rezolvate

Mărginire:

• \((a_n)\) mărginit inferior \(\Leftrightarrow\ \exists\, m\in\mathbb{R}\) cu \(a_n\ge m,\ \forall n\);
• \((a_n)\) mărginit superior \(\Leftrightarrow\ \exists\, M\in\mathbb{R}\) cu \(a_n\le M,\ \forall n\);
• \((a_n)\) mărginit \(\Leftrightarrow\ \exists\, M\gt 0\) cu \(|a_n|\le M,\ \forall n\).

Monotonie: se studiază semnul diferenței \(a_{n+1}-a_n\) sau, pentru termeni pozitivi, raportul \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) față de \(1\).

\(a_{n+1}-a_n\gt 0\ \forall n\ \Rightarrow\ (a_n)\) strict crescător;\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1\ \forall n\ (a_n\gt 0)\ \Rightarrow\ (a_n)\) strict crescător

Limite fundamentale:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^k=+\infty\ (k\gt 0)\)

\[\lim_{n\to\infty}q^n=\begin{cases}0, & |q|\lt 1\\ 1, & q=1\\ +\infty, & q\gt 1\\ \nexists, & q\le -1\end{cases}\]

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\ (a\gt 0)\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0\)

Limita unui raport de polinoame (gradele \(p\) și \(q\), coeficienți dominanți \(a\) și \(b\)):

\[\lim_{n\to\infty}\dfrac{an^p+\dots}{bn^q+\dots}=\begin{cases}\dfrac{a}{b}, & p=q\\[4pt] 0, & p\lt q\\ \pm\infty, & p\gt q\ \left(\text{semnul lui } \tfrac{a}{b}\right)\end{cases}\]

Cazuri de nedeterminare: \(\dfrac{\infty}{\infty},\ \dfrac{0}{0},\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^{\infty},\ \infty^{0},\ 0^{0}\).

• \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (fracții): se dă factor forțat puterea cea mai mare;
• \(\infty-\infty\) (cu radicali): se amplifică cu expresia conjugată;
• \(1^{\infty}\): se folosește \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)^{u_n}=e\), cu \(u_n\to\infty\);
• se pot folosi lema Stolz–Cesàro, criteriul raportului sau criteriul radicalului.

Criterii utile:

Stolz–Cesàro:

\[\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\]

(\(b_n\) strict monoton, nemărginit)

Criteriul radicalului:

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\quad (a_n\gt 0)\]

Criteriul cleștelui: dacă \(b_n\le a_n\le c_n\) și \(\lim b_n=\lim c_n=\ell\), atunci \(\lim a_n=\ell\).
Șir mărginit \(\times\) șir cu limita 0 \(\Rightarrow\) limita este \(0\).

Limite remarcabile:

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{tg}x}{x}=1\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}=1\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{arctg}x}{x}=1\)

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^r-1}{x}=r\)

\(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e\)\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}\)

Regula lui l’Hospital. Dacă \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}\) este de forma \(\dfrac{0}{0}\) sau \(\dfrac{\infty}{\infty}\), iar \(f,g\) sunt derivabile în jurul lui \(x_0\) cu \(g^{\prime}(x)\ne 0\), atunci

\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)},\]

dacă limita din dreapta există. Celelalte nedeterminări (\(0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^{\infty}\)) se aduc la una dintre aceste forme.

Rezultate utile:

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^x=+\infty\)\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0\)\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln x=+\infty\)\(\displaystyle\lim_{x\searrow0}\ln x=-\infty\)

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\)\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0\)\(\displaystyle\lim_{x\searrow0}x\ln x=0\)

Asimptotă orizontală spre \(+\infty\) (analog spre \(-\infty\)):

\[y=\ell,\ \text{unde } \ell=\lim_{x\to+\infty}f(x)\in\mathbb{R}.\]

Asimptotă oblică \(y=mx+n\) (numai dacă nu există asimptotă orizontală):

\(\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\in\mathbb{R}^{*}\)\(\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)\in\mathbb{R}\)

Asimptotă verticală \(x=x_0\): dacă cel puțin una dintre limitele laterale în \(x_0\) este \(\pm\infty\) (se caută în punctele care nu aparțin domeniului, dar sunt „la marginea” lui).

Proprietatea lui Darboux (Cauchy–Bolzano): dacă \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) este continuă și \(f(a)\cdot f(b)\lt 0\), atunci există \(c\in(a,b)\) cu \(f(c)=0\).

Semnul: o funcție continuă păstrează semn constant pe orice interval în care nu se anulează.

Interpretare geometrică: \(f^{\prime}(x_0)\) este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă \(x_0\).

Ecuația tangentei:

\[y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\]

Puncte remarcabile:

• \(x_0\) este punct de întoarcere dacă \(f\) este continuă în \(x_0\), iar derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare (\(-\infty\) și \(+\infty\));
• \(x_0\) este punct unghiular dacă \(f\) este continuă în \(x_0\), derivatele laterale sunt diferite și cel puțin una este finită.

Reguli de derivare:

\((f\pm g)^{\prime}=f^{\prime}\pm g^{\prime}\)\((f\cdot g)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\)\(\left(\dfrac{f}{g}\right)^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\)\((f\circ g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)\)

Teorema lui Fermat. Dacă \(x_0\in(a,b)\) este punct de extrem local al funcției \(f\) și \(f\) este derivabilă în \(x_0\), atunci \(f^{\prime}(x_0)=0\).

Teorema lui Rolle. Dacă \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) este continuă pe \([a,b]\), derivabilă pe \((a,b)\) și \(f(a)=f(b)\), atunci există \(c\in(a,b)\) cu \(f^{\prime}(c)=0\).

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite). Dacă \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) este continuă pe \([a,b]\) și derivabilă pe \((a,b)\), atunci există \(c\in(a,b)\) astfel încât

\[\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c).\]

Consecință: dacă \(f^{\prime}=0\) pe un interval, atunci \(f\) este constantă pe acel interval.

\(f^{\prime}(x)\gt 0\) pe un interval \(\Rightarrow\ f\) strict crescătoare;\(f^{\prime}(x)\lt 0\ \Rightarrow\ f\) strict descrescătoare.

Etape (monotonie și extreme):

1. se determină domeniul și \(f^{\prime}(x)\);
2. se rezolvă ecuația \(f^{\prime}(x)=0\) (punctele critice);
3. se face tabelul de semn pentru \(f^{\prime}\) și se citește monotonia lui \(f\);
4. punctele în care \(f^{\prime}\) își schimbă semnul sunt puncte de extrem (maxim: de la \(+\) la \(-\); minim: de la \(-\) la \(+\)).

\(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\) pe un interval \(\Rightarrow\ f\) convexă;\(f^{\prime\prime}(x)\lt 0\ \Rightarrow\ f\) concavă.

\(x_0\) este punct de inflexiune dacă \(f\) este continuă în \(x_0\), are derivată în \(x_0\) și își schimbă convexitatea în \(x_0\) (practic: \(f^{\prime\prime}\) își schimbă semnul).