Polinoame – teorie, formule și exemple rezolvate

Suma coeficienților lui \(f\) este \(f(1)\);\(a_0=f(0)\)

\(\operatorname{grad}(f+g)\le\max\{\operatorname{grad} f,\operatorname{grad} g\}\);\(\operatorname{grad}(f\cdot g)=\operatorname{grad} f+\operatorname{grad} g\)

Teorema restului: restul împărțirii lui \(f\) la \(X-a\) este \(r=f(a)\).
Teorema lui Bézout: \((X-a)\mid f\ \Leftrightarrow\ f(a)=0\) (\(a\) este rădăcină a lui \(f\)).
Schema lui Horner – împărțirea rapidă la \(X-a\): coeficienții câtului se obțin succesiv prin \(b_k=a\cdot b_{k+1}+a_k\), ultimul rezultat fiind restul \(f(a)\).

• \(a\) este rădăcină a lui \(f\) \(\Leftrightarrow\) \(f(a)=0\) \(\Leftrightarrow\) \((X-a)\mid f\).
• \(a\) este rădăcină dublă \(\Leftrightarrow\) \((X-a)^2\mid f\) \(\Leftrightarrow\) \(f(a)=0\) și \(f^{\prime}(a)=0\).
• \(a\) este rădăcină de ordin de multiplicitate \(k\) \(\Leftrightarrow\) \((X-a)^k\mid f\) și \((X-a)^{k+1}\nmid f\).
• Un polinom de grad \(n\) are exact \(n\) rădăcini în \(\mathbb{C}\) (numărate cu multiplicitate) – teorema fundamentală a algebrei.

Descompunerea în factori ireductibili peste \(\mathbb{C}\):

\[f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdot\ldots\cdot(X-x_n)\]

Rădăcini speciale:

• \(f\in\mathbb{Z}[X]\): rădăcinile întregi se află printre divizorii termenului liber \(a_0\).
• \(f\in\mathbb{Z}[X]\): rădăcinile raționale sunt de forma \(\dfrac{p}{q}\), cu \(p\mid a_0\) și \(q\mid a_n\).
• \(f\in\mathbb{R}[X]\): dacă \(z=a+bi\) este rădăcină, atunci și \(\overline{z}=a-bi\) este rădăcină (rădăcini complexe conjugate).
• \(f\in\mathbb{Q}[X]\): dacă \(a+\sqrt{b}\) este rădăcină (\(\sqrt{b}\notin\mathbb{Q}\)), atunci și \(a-\sqrt{b}\) este rădăcină.

Gradul 3: \(f=aX^3+bX^2+cX+d\) cu rădăcinile \(x_1,x_2,x_3\):

\(S_1=x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}\),\(S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}\),\(S_3=x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}\)

\[x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2\]

Ecuația cu rădăcinile \(x_1,x_2,x_3\) este \(X^3-S_1X^2+S_2X-S_3=0\).

Gradul 4: \(f=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\) cu rădăcinile \(x_1,x_2,x_3,x_4\):

\(S_1=-\dfrac{b}{a}\),\(S_2=\dfrac{c}{a}\),\(S_3=-\dfrac{d}{a}\),\(S_4=x_1x_2x_3x_4=\dfrac{e}{a}\)

\[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=S_1^2-2S_2\]

Ecuația cu aceste rădăcini: \(X^4-S_1X^3+S_2X^2-S_3X+S_4=0\).

Grad 3: \(ax^3+bx^2+bx+a=0\) are întotdeauna rădăcina \(x=-1\); se dă factor \((x+1)\) și rămâne o ecuație de gradul al II-lea.

Grad 4: \(ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0\); se împarte prin \(x^2\ne0\) și se notează \(y=x+\dfrac{1}{x}\), folosind \[x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2.\]

Se obține ecuația \(a(y^2-2)+by+c=0\), apoi se revine la \(x\) prin \(x^2-yx+1=0\).