Geometrie analitică. Vectori – teorie, formule și exemple rezolvate

Bacalaureat – Subiectul I · Geometrie. Formulele de geometrie analitică în plan (distanțe, mijlocul unui segment, centrul de greutate, ecuația dreptei, arii, coliniaritate, distanța punct-dreaptă) și calculul cu vectori, inclusiv în reper cartezian și produsul scalar.

9.1Distanțe și puncte remarcabile

Fie \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), \(C(x_C,y_C)\).

Distanța: \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Mijlocul segmentului \([AB]\): \[M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\]

Centrul de greutate al \(\triangle ABC\): \[G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\]

Exemplul 9.1

Fie \(A(1,2)\) și \(B(4,6)\). Calculați \(AB\) și coordonatele mijlocului \(M\).

Rezolvare

\(AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\);\(M\left(\dfrac{1+4}{2},\dfrac{2+6}{2}\right)=M(2{,}5;\ 4)\).

↑ Cuprins

9.2Ecuația dreptei

Panta: \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\ (x_A\ne x_B)\);\(m=\operatorname{tg}\alpha\), unde \(\alpha\) este unghiul făcut cu \(Ox\).

Ecuația generală: \(ax+by+c=0\),\(m=-\dfrac{a}{b}\)

Ecuația explicită: \(y=mx+n\)

Dreapta prin \(A(x_A,y_A)\) de pantă \(m\): \(y-y_A=m(x-x_A)\)

Dreapta prin două puncte: \[\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}\quad\text{sau}\quad\begin{vmatrix}x&y&1\\x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\end{vmatrix}=0\]

Poziții relative a două drepte \(d_1:y=m_1x+n_1\) și \(d_2:y=m_2x+n_2\):

\(d_1\parallel d_2\iff m_1=m_2,\ n_1\ne n_2\)\(d_1\perp d_2\iff m_1\cdot m_2=-1\)

\(d_1\cap d_2=\{P\}\iff m_1\ne m_2\)\(d_1=d_2\iff m_1=m_2,\ n_1=n_2\)

Coordonatele punctului de intersecție sunt soluția sistemului format din cele două ecuații.

Exemplul 9.2

Determinați ecuația dreptei care trece prin \(A(1,3)\) și \(B(3,7)\).

Rezolvare

\(m=\dfrac{7-3}{3-1}=2\); apoi \(y-3=2(x-1)\Rightarrow y=2x+1\).

Exemplul 9.3

Determinați \(m\) astfel încât dreptele \(d_1:y=mx+2\) și \(d_2:y=3x-1\) să fie perpendiculare.

Rezolvare

\(m\cdot3=-1\Rightarrow m=-\dfrac{1}{3}\).

↑ Cuprins

9.3Arie, coliniaritate, distanța punct-dreaptă

Aria triunghiului \(ABC\): \[\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{|\Delta|}{2},\qquad\text{unde}\quad\Delta=\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}\]

Coliniaritatea a trei puncte: \(A,B,C\) coliniare \(\iff\Delta=0\iff\mathcal{A}_{ABC}=0\).

Distanța de la \(A(x_0,y_0)\) la dreapta \(d:ax+by+c=0\): \[d(A,d)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Lungimea înălțimii din \(A\) în \(\triangle ABC\): \(h_a=d(A,BC)=\dfrac{2\mathcal{A}_{ABC}}{BC}\).

Exemplul 9.4

Calculați aria triunghiului cu vârfurile \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(0,3)\).

Rezolvare

\(\Delta=\begin{vmatrix}0&0&1\\4&0&1\\0&3&1\end{vmatrix}=-12\), deci \(\mathcal{A}=\dfrac{|-12|}{2}=6\).

Exemplul 9.5

Verificați dacă punctele \(A(1,2)\), \(B(2,4)\), \(C(3,6)\) sunt coliniare.

Rezolvare

\(m_{AB}=\dfrac{4-2}{2-1}=2\) și \(m_{BC}=\dfrac{6-4}{3-2}=2\); pantele fiind egale și punctele având un punct comun, ele sunt coliniare.

Exemplul 9.6

Calculați distanța de la \(A(2,3)\) la dreapta \(d:3x-4y+5=0\).

Rezolvare

\(d(A,d)=\dfrac{|3\cdot2-4\cdot3+5|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{|-1|}{5}=\dfrac{1}{5}\).

Să ne amintim

Mediatoarea unui segment = perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului. Înălțimea = perpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura opusă. Mediana = segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse (medianele se intersectează în \(G\)).

↑ Cuprins

9.4Vectori – definiții

Noțiuni de bază

Un vector este o mărime caracterizată prin direcție, sens și lungime (modul). Pentru \(\vec{AB}\): \(A\) este originea, \(B\) este extremitatea, iar \(|\vec{AB}|=AB\) este lungimea.

Doi vectori au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.
Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime.
Doi vectori sunt opuși dacă au aceeași direcție și lungime, dar sensuri contrare: \(\vec{AB}=-\vec{BA}\).
Vectorul nul \(\vec{0}\) are lungimea \(0\): \(|\vec{AA}|=0\).
\(\vec{u},\vec{v}\) coliniari \(\iff\exists\,\alpha\in\mathbb{R}^*\) astfel încât \(\vec{u}=\alpha\vec{v}\), \(\vec{v}\ne\vec{0}\).

Adunarea vectorilor:

Regula triunghiului: \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)

Regula paralelogramului: \(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\), \(ABCD\) paralelogram

Relația lui Chasles: \(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}\), pentru orice punct \(O\).

Vectorul de poziție al mijlocului \(M\) al lui \([AB]\): \[\vec{OM}=\dfrac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}\]

Centrul de greutate: \[\vec{OG}=\dfrac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3},\qquad\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\]

↑ Cuprins

9.5Vectori în reper cartezian

\[\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}\iff\vec{v}(x,y),\qquad|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}\]

\[\vec{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}\]

Pentru \(\vec{v_1}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}\) și \(\vec{v_2}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}\):

\(\vec{v_1}+\vec{v_2}=(x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j}\),\(\vec{v_1},\vec{v_2}\) coliniari \(\iff\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}\iff x_1y_2-x_2y_1=0\)

Produsul scalar:

\[\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2=|\vec{v_1}|\cdot|\vec{v_2}|\cdot\cos\left(\sphericalangle(\vec{v_1},\vec{v_2})\right)\]

\[\vec{v_1}\perp\vec{v_2}\iff\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=0\iff x_1x_2+y_1y_2=0\]

\[\cos\left(\sphericalangle(\vec{v_1},\vec{v_2})\right)=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\]

Exemplul 9.7

Fie \(A(1,2)\) și \(B(4,6)\). Determinați \(\vec{AB}\) și \(|\vec{AB}|\).

Rezolvare

\(\vec{AB}=(4-1)\vec{i}+(6-2)\vec{j}=3\vec{i}+4\vec{j}\);\(|\vec{AB}|=\sqrt{9+16}=5\).

Exemplul 9.8

Fie \(\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}\) și \(\vec{v}=3\vec{i}+6\vec{j}\). Arătați că \(\vec{u}\perp\vec{v}\).

Rezolvare

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+(-1)\cdot6=6-6=0\), deci vectorii sunt perpendiculari.

Exemplul 9.9

Determinați \(a\in\mathbb{R}\) astfel încât vectorii \(\vec{u}=a\vec{i}+2\vec{j}\) și \(\vec{v}=3\vec{i}+6\vec{j}\) să fie coliniari.

Rezolvare

\(6a-2\cdot3=0\Rightarrow a=1\).

Exemplul 9.10

Fie \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}\) și \(\vec{v}=\vec{i}\). Calculați unghiul dintre ei.

Rezolvare

\(\cos\alpha=\dfrac{1\cdot1+1\cdot0}{\sqrt{2}\cdot1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\alpha=45^\circ\).

↑ Cuprins

Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).