Puncte, drepte, plane. Paralelism și perpendicularitate în spațiu – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Primii pași în geometria în spațiu: cum se determină un plan, pozițiile relative ale dreptelor și planelor, paralelismul și perpendicularitatea, proiecțiile, teorema celor trei perpendiculare, distanțele și unghiurile din spațiu (dintre două drepte, dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru).
15.1Puncte, drepte, plane. Determinarea planului
Noțiuni fundamentale
Punctul, dreapta și planul sunt noțiuni primare (nu se definesc). Notăm punctele cu litere mari (\(A, B, C,\dots\)), dreptele cu litere mici (\(a, b, d,\dots\)) sau prin două puncte ale lor (\(AB\)), iar planele cu litere grecești (\(\alpha, \beta, \gamma,\dots\)) sau prin trei puncte necoliniare ale lor: \((ABC)\).
Punctele situate în același plan se numesc coplanare; în caz contrar sunt necoplanare.
Axiomele geometriei în spațiu
- Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.
- Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul.
- Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci dreapta este inclusă în acel plan.
- Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci ele au în comun o dreaptă (se intersectează după o dreaptă).
- Există cel puțin patru puncte necoplanare.
Un plan este determinat de:
1) trei puncte necoliniare;2) o dreaptă și un punct care nu aparține dreptei;
3) două drepte paralele;4) două drepte concurente.
Trei puncte necoliniare
\(\alpha=(ABC)\)
O dreaptă și un punct exterior ei
\(A\notin d\Rightarrow\) \(d\) și \(A\) determină planul \(\alpha\)
Două drepte paralele
\(a\parallel b\Rightarrow\) \(a\) și \(b\) determină planul \(\alpha\)
Două drepte concurente
\(a\cap b=\{O\}\Rightarrow\) \(a\) și \(b\) determină planul \(\alpha\)
Atenție
- Prin trei puncte coliniare (sau prin două puncte) trec o infinitate de plane, deci ele nu determină un plan.
- Patru puncte nu sunt neapărat coplanare: vârfurile unui tetraedru (piramidă triunghiulară) sunt patru puncte necoplanare.
Exemplul 15.1
Rezolvare
Oricare trei dintre ele sunt necoliniare (altfel toate patru ar fi coplanare), deci fiecare grup de trei puncte determină un plan: \((ABC), (ABD), (ACD), (BCD)\) – 4 plane (fețele tetraedrului \(ABCD\)).
Fiecare pereche de puncte determină o dreaptă: \(AB, AC, AD, BC, BD, CD\) – 6 drepte (muchiile tetraedrului).
Exemplul 15.2
Rezolvare
Fiecare grup de trei puncte determină un plan, iar două grupuri diferite dau plane diferite (altfel ar exista patru puncte coplanare). Numărăm grupurile de câte 3 puncte: primul punct se alege în 5 moduri, al doilea în 4, al treilea în 3, iar fiecare grup a fost numărat de \(3\cdot2\cdot1=6\) ori:
\[\dfrac{5\cdot4\cdot3}{6}=10\ \text{plane}.\]
15.2Poziția a două drepte. Unghiul a două drepte
Pozițiile relative a două drepte în spațiu
- drepte coplanare (există un plan care le conține): concurente (au un singur punct comun), paralele (nu au puncte comune) sau confundate;
- drepte necoplanare: nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă (nu au puncte comune și nu sunt paralele).
Concurente
\(a\cap b=\{O\}\)
Paralele
\(a, b\subset\alpha\), \(a\cap b=\varnothing\Rightarrow a\parallel b\)
Necoplanare
\(a\subset\alpha\), \(b\cap\alpha=\{P\}\), \(P\notin a\)
Axioma paralelelor (Euclid) și tranzitivitatea
Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă.
Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele: \(a\parallel c\) și \(b\parallel c\Rightarrow a\parallel b\).
Atenție
În spațiu, două drepte care nu au puncte comune nu sunt neapărat paralele: ele pot fi necoplanare. De exemplu, în cubul \(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\), dreptele \(AB\) și \(CC^{\prime}\) nu se intersectează, dar nici nu sunt paralele.
Unghiul a două drepte
Definiție
Unghiul a două drepte necoplanare \(a\) și \(b\) este unghiul format de două drepte concurente \(a^{\prime}\parallel a\) și \(b^{\prime}\parallel b\) (duse printr-un punct oarecare). Se ia întotdeauna unghiul ascuțit sau drept, deci
\[0^\circ\lt m(\sphericalangle(a,b))\le90^\circ.\]
Pentru drepte paralele, unghiul este de \(0^\circ\). Dacă \(m(\sphericalangle(a,b))=90^\circ\), dreptele sunt perpendiculare: \(a\perp b\) (chiar dacă sunt necoplanare).
Metoda practică: înlocuim una dintre drepte cu o paralelă la ea care o intersectează pe cealaltă și calculăm unghiul obținut într-un triunghi:
\[a\parallel a^{\prime},\ a^{\prime}\cap b=\{O\}\ \Rightarrow\ m(\sphericalangle(a,b))=m(\sphericalangle(a^{\prime},b)).\]
Exemplul 15.3
a) precizați poziția dreptelor \(AB\) și \(C^{\prime}D^{\prime}\), \(AB\) și \(CC^{\prime}\), \(AC\) și \(BD\);
b) calculați \(m(\sphericalangle(AB, CC^{\prime}))\) și \(m(\sphericalangle(AB^{\prime}, BC^{\prime}))\).
Rezolvare
a) \(AB\parallel DC\) și \(DC\parallel D^{\prime}C^{\prime}\), deci \(AB\parallel C^{\prime}D^{\prime}\). Dreptele \(AB\) și \(CC^{\prime}\) sunt necoplanare. Diagonalele \(AC\) și \(BD\) ale pătratului \(ABCD\) sunt concurente.
b) \(CC^{\prime}\parallel BB^{\prime}\), deci \(m(\sphericalangle(AB, CC^{\prime}))=m(\sphericalangle ABB^{\prime})=90^\circ\) (fața \(ABB^{\prime}A^{\prime}\) este pătrat).
\(BC^{\prime}\parallel AD^{\prime}\) (\(ABC^{\prime}D^{\prime}\) este dreptunghi), deci \(m(\sphericalangle(AB^{\prime}, BC^{\prime}))=m(\sphericalangle B^{\prime}AD^{\prime})\). Laturile triunghiului \(AB^{\prime}D^{\prime}\) sunt diagonale ale fețelor cubului: \(AB^{\prime}=AD^{\prime}=B^{\prime}D^{\prime}=l\sqrt2\), deci triunghiul este echilateral și
\[m(\sphericalangle(AB^{\prime}, BC^{\prime}))=60^\circ.\]
15.3Poziția unei drepte față de un plan
Pozițiile relative ale unei drepte \(d\) față de un plan \(\alpha\)
- dreapta este inclusă în plan: \(d\subset\alpha\) (toate punctele dreptei sunt în plan);
- dreapta este secantă planului: \(d\cap\alpha=\{A\}\) (un singur punct comun);
- dreapta este paralelă cu planul: \(d\cap\alpha=\varnothing\), notat \(d\parallel\alpha\).
Inclusă
\(d\subset\alpha\)
Paralelă
\(d\parallel d^{\prime}\), \(d^{\prime}\subset\alpha\Rightarrow d\parallel\alpha\)
Secantă
\(d\cap\alpha=\{A\}\)
Criteriul de paralelism dreaptă–plan
Dacă dreapta \(d\) nu este inclusă în planul \(\alpha\) și este paralelă cu o dreaptă \(d^{\prime}\) din plan, atunci \(d\parallel\alpha\):
\[d\not\subset\alpha,\ d\parallel d^{\prime},\ d^{\prime}\subset\alpha\ \Rightarrow\ d\parallel\alpha.\]
Teoreme
- Dacă \(d\parallel\alpha\), atunci orice plan \(\beta\) care conține dreapta \(d\) și intersectează planul \(\alpha\) îl intersectează după o dreaptă paralelă cu \(d\).
- Dacă \(d\parallel\alpha\) și \(A\in\alpha\), atunci paralela prin \(A\) la \(d\) este inclusă în \(\alpha\).
Observație
Ca să arătăm că o dreaptă este paralelă cu un plan, căutăm în plan o dreaptă paralelă cu ea. De cele mai multe ori aceasta se obține cu ajutorul unei linii mijlocii (în triunghi sau în trapez) sau al unui paralelogram.
Exemplul 15.4
Rezolvare
În \(\triangle VAB\), \([MN]\) este linie mijlocie, deci \(MN\parallel AB\) și \(MN=\dfrac{AB}{2}=6\) cm.
Cum \(AB\subset(ABC)\) și \(MN\not\subset(ABC)\), din criteriul de paralelism rezultă \(MN\parallel(ABC)\).
Exemplul 15.5
Rezolvare
\(AA^{\prime}C^{\prime}C\) este dreptunghi, deci \(A^{\prime}C^{\prime}\parallel AC\subset(ABC)\); cum \(A^{\prime}C^{\prime}\not\subset(ABC)\), rezultă \(A^{\prime}C^{\prime}\parallel(ABC)\).
\(A^{\prime}BCD^{\prime}\) este dreptunghi (\(A^{\prime}D^{\prime}\parallel BC\) și \(A^{\prime}D^{\prime}=BC\)), deci \(A^{\prime}B\parallel D^{\prime}C\subset(DCC^{\prime})\), de unde \(A^{\prime}B\parallel(DCC^{\prime})\).
15.4Poziția a două plane. Plane paralele
Pozițiile relative a două plane
- plane paralele: nu au niciun punct comun, \(\alpha\cap\beta=\varnothing\), notat \(\alpha\parallel\beta\);
- plane secante: se intersectează după o dreaptă, \(\alpha\cap\beta=d\);
- plane confundate: \(\alpha=\beta\).
Plane paralele
\(\alpha\parallel\beta\)
Plane secante
\(\alpha\cap\beta=d\)
Criteriul de paralelism a două plane
Dacă un plan \(\alpha\) conține două drepte concurente paralele cu un plan \(\beta\), atunci \(\alpha\parallel\beta\).
Teoreme de paralelism:
• dacă \(\alpha\parallel\beta\), atunci orice dreaptă inclusă în \(\alpha\) este paralelă cu \(\beta\);
• dacă un plan \(\gamma\) intersectează două plane paralele \(\alpha\) și \(\beta\), atunci dreptele de intersecție sunt paralele;
• două plane paralele cu un al treilea sunt paralele între ele: \(\alpha\parallel\gamma,\ \beta\parallel\gamma\Rightarrow\alpha\parallel\beta\);
• printr-un punct exterior unui plan trece un singur plan paralel cu planul dat;
• teorema lui Thales în spațiu: mai multe plane paralele determină pe două drepte pe care le intersectează segmente proporționale.
Exemplul 15.6
Rezolvare
\(MN\) și \(NP\) sunt linii mijlocii în triunghiurile \(VAB\) și \(VBC\), deci \(MN\parallel AB\) și \(NP\parallel BC\). Rezultă \(MN\parallel(ABC)\) și \(NP\parallel(ABC)\). Dreptele \(MN\) și \(NP\) sunt concurente (în \(N\)) și sunt incluse în \((MNP)\), deci \((MNP)\parallel(ABC)\).
Laturile triunghiului \(MNP\) sunt jumătăți ale laturilor triunghiului \(ABC\), deci \(\triangle MNP\sim\triangle ABC\) cu raportul \(\dfrac12\). Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare:
\[\mathcal{A}_{MNP}=\left(\dfrac12\right)^2\cdot\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{36}{4}=9\ \text{cm}^2.\]
Exemplul 15.7
Rezolvare
\(BDD^{\prime}B^{\prime}\) este dreptunghi, deci \(BD\parallel B^{\prime}D^{\prime}\subset(CB^{\prime}D^{\prime})\), adică \(BD\parallel(CB^{\prime}D^{\prime})\).
\(A^{\prime}BCD^{\prime}\) este dreptunghi, deci \(A^{\prime}B\parallel D^{\prime}C\subset(CB^{\prime}D^{\prime})\), adică \(A^{\prime}B\parallel(CB^{\prime}D^{\prime})\).
Dreptele \(BD\) și \(A^{\prime}B\) sunt concurente în \(B\) și incluse în \((A^{\prime}BD)\), deci \((A^{\prime}BD)\parallel(CB^{\prime}D^{\prime})\).
15.5Dreapta perpendiculară pe un plan. Distanța de la un punct la un plan
Definiție
O dreaptă \(d\) este perpendiculară pe planul \(\alpha\) (\(d\perp\alpha\)) dacă este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în \(\alpha\).
Criteriul de perpendicularitate
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan:
\[d\perp a,\ d\perp b,\ a, b\subset\alpha,\ a\cap b=\{O\}\ \Rightarrow\ d\perp\alpha.\]
Teoreme:
• \(d\perp\alpha\) și \(a\subset\alpha\Rightarrow d\perp a\) (folosită foarte des în probleme);
• printr-un punct dat trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat și un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată;
• două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele: \(a\perp\alpha,\ b\perp\alpha\Rightarrow a\parallel b\);
• două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele: \(\alpha\perp d,\ \beta\perp d\Rightarrow\alpha\parallel\beta\);
• dacă \(a\parallel b\) și \(a\perp\alpha\), atunci \(b\perp\alpha\).
Distanța de la un punct la un plan
Fie \(P\notin\alpha\) și \(O\) piciorul perpendicularei din \(P\) pe \(\alpha\) (\(PO\perp\alpha\), \(O\in\alpha\)). Distanța de la punctul \(P\) la planul \(\alpha\) este
\[d(P,\alpha)=PO.\]
\(PO\) este mai mic decât orice oblică \(PA\), \(A\in\alpha\), \(A\ne O\), deoarece în triunghiul dreptunghic \(POA\) ipotenuza \(PA\) este mai mare decât cateta \(PO\).
Distanța dintre două plane paralele este distanța de la un punct oarecare al unuia la celălalt plan; distanța de la o dreaptă paralelă cu un plan la acel plan se calculează la fel, din orice punct al dreptei.
Observație
În corpurile geometrice, înălțimea prismei este distanța dintre planele bazelor, iar înălțimea piramidei este distanța de la vârf la planul bazei.
Exemplul 15.8
Rezolvare
\(PA\perp(ABC)\), deci \(d(P,(ABC))=PA=8\) cm.
Cum \(AB, AC\subset(ABC)\), avem \(PA\perp AB\) și \(PA\perp AC\). Cu teorema lui Pitagora:
\[PB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \text{cm},\qquad PC=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\ \text{cm}.\]
Exemplul 15.9
Rezolvare
\(BC\perp AB\) (fața \(ABCD\) este pătrat) și \(BC\perp BB^{\prime}\) (fața \(BCC^{\prime}B^{\prime}\) este pătrat). Dreptele \(AB\) și \(BB^{\prime}\) sunt concurente și incluse în \((ABB^{\prime})\), deci \(BC\perp(ABB^{\prime})\).
Cum \(AB^{\prime}\subset(ABB^{\prime})\), rezultă \(BC\perp AB^{\prime}\). Piciorul perpendicularei din \(C\) pe \((ABB^{\prime})\) este \(B\), deci \(d(C,(ABB^{\prime}))=CB=5\) cm.
15.6Proiecții. Unghiul dintre o dreaptă și un plan
Proiecții ortogonale pe un plan
- Proiecția unui punct \(A\) pe planul \(\alpha\) este piciorul \(A^{\prime}\) al perpendicularei din \(A\) pe \(\alpha\) (dacă \(A\in\alpha\), proiecția este chiar \(A\)).
- Proiecția unui segment \([AB]\) este segmentul \([A^{\prime}B^{\prime}]\) determinat de proiecțiile capetelor (sau un punct, dacă \(AB\perp\alpha\)).
- Proiecția unei drepte neperpendiculare pe plan este o dreaptă; proiecția unei drepte perpendiculare pe plan este un punct.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan
- dacă \(d\perp\alpha\), atunci \(m(\sphericalangle(d,\alpha))=90^\circ\);
- dacă \(d\parallel\alpha\) sau \(d\subset\alpha\), atunci \(m(\sphericalangle(d,\alpha))=0^\circ\);
- altfel, unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
Practic: dacă \(d\cap\alpha=\{O\}\), \(A\in d\) și \(A^{\prime}\) este proiecția lui \(A\) pe \(\alpha\), atunci \(m(\sphericalangle(d,\alpha))=m(\sphericalangle AOA^{\prime})\).
În triunghiul dreptunghic \(AA^{\prime}O\) (\(m(\sphericalangle AA^{\prime}O)=90^\circ\)), cu \(\varphi=m(\sphericalangle AOA^{\prime})\):
\[\sin\varphi=\dfrac{AA^{\prime}}{OA},\qquad \cos\varphi=\dfrac{OA^{\prime}}{OA},\qquad \operatorname{tg}\varphi=\dfrac{AA^{\prime}}{OA^{\prime}}.\]
Lungimea proiecției unui segment care face unghiul \(\varphi\) cu planul: \(A^{\prime}B^{\prime}=AB\cdot\cos\varphi\). Dacă \(AB\parallel\alpha\), atunci \(A^{\prime}B^{\prime}=AB\).
Atenție
Unghiul dintre o dreaptă și un plan nu este unghiul cu o dreaptă oarecare din plan, ci unghiul cu proiecția dreptei pe plan. Primul pas este întotdeauna găsirea proiecției (adică a perpendicularei pe plan).
Exemplul 15.10
Rezolvare
\(A^{\prime}A\perp(ABC)\), deci proiecția lui \(A^{\prime}\) pe \((ABC)\) este \(A\), iar \(C\in(ABC)\). Proiecția dreptei \(A^{\prime}C\) pe plan este \(AC\), deci \(m(\sphericalangle(A^{\prime}C,(ABC)))=m(\sphericalangle A^{\prime}CA)\).
\(AC=6\sqrt2\) cm (diagonala pătratului), iar triunghiul \(A^{\prime}AC\) este dreptunghic în \(A\):
\[\operatorname{tg}(\sphericalangle A^{\prime}CA)=\dfrac{AA^{\prime}}{AC}=\dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}.\]
Exemplul 15.11
Rezolvare
Fie \(B^{\prime}\) proiecția lui \(B\) pe \(\alpha\); proiecția segmentului este \([AB^{\prime}]\), iar triunghiul \(ABB^{\prime}\) este dreptunghic în \(B^{\prime}\), cu \(m(\sphericalangle BAB^{\prime})=30^\circ\).
\[AB^{\prime}=AB\cdot\cos30^\circ=10\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\ \text{cm},\qquad d(B,\alpha)=BB^{\prime}=\dfrac{AB}{2}=5\ \text{cm}\]
(cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză).
15.7Teorema celor trei perpendiculare
Teorema celor trei perpendiculare (T3⊥)
Dacă dintr-un punct \(P\) exterior unui plan \(\alpha\) ducem perpendiculara \(PO\) pe plan, iar din piciorul ei, \(O\), ducem perpendiculara \(OM\) pe o dreaptă \(d\) inclusă în plan (\(M\in d\)), atunci dreapta \(PM\) este perpendiculară pe \(d\):
\[\left.\begin{array}{l}PO\perp\alpha,\ O\in\alpha\\ OM\perp d,\ M\in d\\ d\subset\alpha\end{array}\right\}\ \Rightarrow\ PM\perp d.\]
Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare
Reciproca 1. Dacă \(PO\perp\alpha\), \(O\in\alpha\), \(d\subset\alpha\), \(M\in d\) și \(PM\perp d\), atunci \(OM\perp d\).
Reciproca 2. Dacă \(PM\perp d\), \(OM\perp d\) (\(d\subset\alpha\), \(O, M\in\alpha\)) și \(PO\perp OM\), atunci \(PO\perp\alpha\).
Distanța de la un punct \(P\) la o dreaptă \(d\subset\alpha\), când \(PO\perp\alpha\):
ducem \(OM\perp d\), \(M\in d\); din T3⊥, \(PM\perp d\), deci
\[d(P,d)=PM=\sqrt{PO^2+OM^2}.\]
Observație
T3⊥ se folosește pentru: calculul distanței de la un punct la o dreaptă în spațiu, construcția unghiului diedru (secțiunea 15.8) și demonstrarea perpendicularității a două drepte. Nu uitați să precizați în redactare toate cele trei ipoteze.
Exemplul 15.12
a) distanța de la \(P\) la dreapta \(BD\);
b) distanța de la \(P\) la dreapta \(BC\).
Rezolvare
a) Diagonalele pătratului sunt perpendiculare: \(AO\perp BD\). Avem \(PA\perp(ABC)\), \(AO\perp BD\), \(BD\subset(ABC)\), deci, din T3⊥, \(PO\perp BD\) și \(d(P,BD)=PO\).
\(AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2\) cm, iar \(\triangle PAO\) este dreptunghic în \(A\):
\[PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\sqrt{36+18}=\sqrt{54}=3\sqrt6\ \text{cm}.\]
b) \(PA\perp(ABC)\), \(AB\perp BC\), \(BC\subset(ABC)\), deci, din T3⊥, \(PB\perp BC\) și \(d(P,BC)=PB=\sqrt{36+36}=6\sqrt2\) cm.
Exemplul 15.13
Rezolvare
Ducem \(AD\perp BC\), \(D\in BC\). Din T3⊥ (\(PA\perp(ABC)\), \(AD\perp BC\), \(BC\subset(ABC)\)) rezultă \(PD\perp BC\), deci \(d(P,BC)=PD\).
\(BC=\sqrt{36+64}=10\) cm și \(AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8\) cm. În \(\triangle PAD\), dreptunghic isoscel în \(A\):
\[PD=\sqrt{4{,}8^2+4{,}8^2}=4{,}8\sqrt2\ \text{cm}.\]
15.8Unghiul diedru. Plane perpendiculare
Unghiul diedru
Unghiul diedru este figura formată de două semiplane care au aceeași dreaptă-frontieră (muchia diedrului).
Unghiul plan corespunzător diedrului este unghiul format de două semidrepte cu originea în același punct \(O\) al muchiei, situate câte una în fiecare semiplan și perpendiculare pe muchie. Măsura unghiului diedru este măsura unghiului plan corespunzător.
Unghiul a două plane secante este cel mai mic dintre diedrele formate de ele, deci are măsura în \((0^\circ, 90^\circ]\); unghiul a două plane paralele este de \(0^\circ\).
Metoda practică (cu T3⊥). Unghiul dintre planul \((PBC)\) și planul \(\alpha\supset BC\), unde \(PO\perp\alpha\):
ducem \(OM\perp BC\), \(M\in BC\); din T3⊥, \(PM\perp BC\), deci
\[m(\sphericalangle((PBC),\alpha))=m(\sphericalangle PMO),\qquad \operatorname{tg}(\sphericalangle PMO)=\dfrac{PO}{OM}.\]
Plane perpendiculare
Două plane sunt perpendiculare (\(\alpha\perp\beta\)) dacă unghiul dintre ele are \(90^\circ\).
Criteriu: dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare: \(a\subset\beta,\ a\perp\alpha\Rightarrow\beta\perp\alpha\).
Teoremă: dacă \(\alpha\perp\beta\), \(\alpha\cap\beta=d\), iar dreapta \(a\subset\beta\) este perpendiculară pe \(d\), atunci \(a\perp\alpha\).
Atenție
Laturile unghiului plan trebuie să fie perpendiculare pe muchie în același punct. De exemplu, la piramida patrulateră regulată \(VABCD\), unghiul dintre fața \((VBC)\) și bază este \(\sphericalangle VMO\) (\(M\) mijlocul lui \(BC\)), nu \(\sphericalangle VBO\) și nici \(\sphericalangle VBA\).
Exemplul 15.14
Rezolvare
Fie \(M\) mijlocul lui \(BC\). În pătrat, \(OM\perp BC\) și \(OM=\dfrac{AB}{2}=3\) cm. Cum \(VO\perp(ABC)\), \(OM\perp BC\), \(BC\subset(ABC)\), din T3⊥ rezultă \(VM\perp BC\). Deci
\[m(\sphericalangle((VBC),(ABC)))=m(\sphericalangle VMO),\qquad \operatorname{tg}(\sphericalangle VMO)=\dfrac{VO}{OM}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3,\]
de unde \(m(\sphericalangle VMO)=60^\circ\).
Exemplul 15.15
Rezolvare
Planul \((PAB)\) conține dreapta \(PA\), perpendiculară pe \((ABC)\), deci \((PAB)\perp(ABC)\).
Dacă \(AC\perp AB\) și \(AC\perp PA\) (deoarece \(PA\perp(ABC)\)), atunci \(AC\) este perpendiculară pe două drepte concurente din \((PAB)\), deci \(AC\perp(PAB)\). Cum \(AC\subset(PAC)\), rezultă \((PAC)\perp(PAB)\).
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).