Poliedre – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Poliedrele din programa de Evaluare Națională – cubul, paralelipipedul dreptunghic, prismele regulate, piramidele regulate, tetraedrul regulat și trunchiul de piramidă: elemente, triunghiurile dreptunghice „ascunse” în ele, diagonale, arii și volume, cu exemple rezolvate.
16.1Cubul
Definiție
Cubul \(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile congruente; are 6 fețe pătrate congruente, 12 muchii de lungime \(l\) și 8 vârfuri. Notații: \(\mathcal{A}_l\) – aria laterală, \(\mathcal{A}_t\) – aria totală, \(\mathcal{V}\) – volumul.
Diagonala unei fețe: \(l\sqrt2\)Diagonala cubului: \(d=l\sqrt3\)
\(\mathcal{A}_l=4l^2\)\(\mathcal{A}_t=6l^2\)\(\mathcal{V}=l^3\)
Observație
Diagonala cubului se obține din triunghiul dreptunghic \(A^{\prime}AC\): \(A^{\prime}C^2=A{A^{\prime}}^{2}+AC^2=l^2+2l^2=3l^2\). Cele 4 diagonale ale cubului sunt congruente și se intersectează în centrul cubului.
Exemplul 16.1
Rezolvare
\(6l^2=150\Rightarrow l^2=25\Rightarrow l=5\) cm. Atunci \(\mathcal{V}=5^3=125\ \text{cm}^3\) și \(d=5\sqrt3\) cm.
Exemplul 16.2
Rezolvare
\(l\sqrt3=6\sqrt3\Rightarrow l=6\) dm, deci \(\mathcal{V}=6^3=216\ \text{dm}^3=216\) litri (\(1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}\)).
16.2Paralelipipedul dreptunghic
Definiție
Paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) are toate fețele dreptunghiuri. Dimensiunile lui sunt lungimea \(L\), lățimea \(l\) și înălțimea \(h\). Fețele opuse sunt congruente și paralele.
Diagonala: \[d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}\]
\(\mathcal{A}_l=2(L+l)\cdot h\)\(\mathcal{A}_t=2(Ll+Lh+lh)\)\(\mathcal{V}=L\cdot l\cdot h\)
Unități de măsură
\(1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}\), \(1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}\), \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}\). Transformați toate dimensiunile în aceeași unitate înainte de calcul.
Exemplul 16.3
Rezolvare
Exemplul 16.4
Rezolvare
Înălțimea apei: \(\dfrac34\cdot40=30\) cm. Volumul apei: \(50\cdot30\cdot30=45\,000\ \text{cm}^3=45\ \text{dm}^3=45\) litri.
16.3Prisma dreaptă. Prisma triunghiulară regulată
Definiții
Prisma dreaptă are muchiile laterale perpendiculare pe planele bazelor; fețele laterale sunt dreptunghiuri, iar înălțimea \(h\) este egală cu muchia laterală.
Prisma regulată este o prismă dreaptă care are baza un poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat).
Pentru orice prismă dreaptă (\(P_b\) – perimetrul bazei, \(\mathcal{A}_b\) – aria bazei):
\(\mathcal{A}_l=P_b\cdot h\)\(\mathcal{A}_t=\mathcal{A}_l+2\mathcal{A}_b\)\(\mathcal{V}=\mathcal{A}_b\cdot h\)
Prisma triunghiulară regulată
Baza este triunghiul echilateral \(ABC\) de latură \(l\); înălțimea bazei \(BM=\dfrac{l\sqrt3}{2}\).
\(\mathcal{A}_b=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}\)\(\mathcal{A}_l=3l\cdot h\)\(\mathcal{A}_t=3lh+\dfrac{l^2\sqrt3}{2}\)\(\mathcal{V}=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}\cdot h\)
Exemplul 16.5
Rezolvare
\(\mathcal{A}_b=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{A}_l=3\cdot6\cdot10=180\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{A}_t=180+18\sqrt3=18(10+\sqrt3)\ \text{cm}^2\).
\(\mathcal{V}=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3\ \text{cm}^3\). Fața \(ABB^{\prime}A^{\prime}\) este dreptunghi, deci \(A^{\prime}B=\sqrt{A{A^{\prime}}^{2}+AB^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\) cm.
16.4Prisma patrulateră regulată
Definiție
Prisma patrulateră regulată \(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) are bazele pătrate de latură \(l\) și muchiile laterale perpendiculare pe baze, de lungime \(h\). Este un paralelipiped dreptunghic cu \(L=l\).
Diagonala: \(d=\sqrt{2l^2+h^2}\)Diagonala bazei: \(l\sqrt2\)
\(\mathcal{A}_b=l^2\)\(\mathcal{A}_l=4l\cdot h\)\(\mathcal{A}_t=4lh+2l^2\)\(\mathcal{V}=l^2\cdot h\)
Prisma hexagonală regulată
Baza este un hexagon regulat de latură \(l\) (format din 6 triunghiuri echilaterale): \(P_b=6l\), \(\mathcal{A}_b=\dfrac{3l^2\sqrt3}{2}\), deci \(\mathcal{A}_l=6lh\) și \(\mathcal{V}=\dfrac{3l^2\sqrt3}{2}\cdot h\).
Exemplul 16.6
Rezolvare
\(BD=4\sqrt2\) cm, iar \(\triangle B^{\prime}BD\) este dreptunghic în \(B\): \(B^{\prime}D=\sqrt{49+32}=\sqrt{81}=9\) cm.
\[\mathcal{A}_t=4\cdot4\cdot7+2\cdot16=144\ \text{cm}^2,\qquad \mathcal{V}=16\cdot7=112\ \text{cm}^3.\]
16.5Piramida regulată – elemente
Definiție
Piramida regulată are baza un poligon regulat, iar piciorul înălțimii este centrul \(O\) al bazei. Muchiile laterale sunt congruente, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
- \(h=VO\) – înălțimea piramidei;
- \(a_p=VM\) – apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale, \(M\) – mijlocul unei laturi a bazei);
- \(a_b=OM\) – apotema bazei (raza cercului înscris în bază);
- \(R=OB\) – raza cercului circumscris bazei; \(m=VB\) – muchia laterală.
Triunghiurile dreptunghice din piramida regulată:
\(\triangle VOM:\ a_p^2=h^2+a_b^2\)\(\triangle VOB:\ m^2=h^2+R^2\)\(\triangle VMB:\ m^2=a_p^2+\left(\dfrac{l}{2}\right)^2\)
Arii și volum (\(P_b\) – perimetrul bazei):
\(\mathcal{A}_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}\)\(\mathcal{A}_t=\mathcal{A}_l+\mathcal{A}_b\)\(\mathcal{V}=\dfrac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}\)
| Baza (latura \(l\)) | \(\mathcal{A}_b\) | \(a_b\) | \(R\) |
|---|---|---|---|
| triunghi echilateral | \(\dfrac{l^2\sqrt3}{4}\) | \(\dfrac{l\sqrt3}{6}\) | \(\dfrac{l\sqrt3}{3}\) |
| pătrat | \(l^2\) | \(\dfrac{l}{2}\) | \(\dfrac{l\sqrt2}{2}\) |
| hexagon regulat | \(\dfrac{3l^2\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{l\sqrt3}{2}\) | \(l\) |
Atenție
Nu confundați apotema piramidei \(a_p\) (pe o față laterală) cu apotema bazei \(a_b\) (în planul bazei) și nici apotema piramidei cu muchia laterală. Aria laterală se calculează cu \(a_p\), iar volumul cu înălțimea \(h\).
Exemplul 16.7
Rezolvare
În \(\triangle VMB\), dreptunghic în \(M\): \(\left(\dfrac{l}{2}\right)^2=m^2-a_p^2=100-64=36\), deci \(\dfrac{l}{2}=6\) și \(l=12\) cm.
16.6Piramida triunghiulară regulată. Tetraedrul regulat
Piramida triunghiulară regulată
Baza \(ABC\) este triunghi echilateral de latură \(l\), iar \(O\) este centrul ei (punctul de intersecție al medianelor, aflat la \(\dfrac23\) de vârf pe fiecare mediană): \(AO=R=\dfrac{l\sqrt3}{3}\), \(OM=a_b=\dfrac{l\sqrt3}{6}\).
\(\mathcal{A}_b=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}\)\(\mathcal{A}_l=\dfrac{3l\cdot a_p}{2}\)\(\mathcal{V}=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{h}{3}=\dfrac{l^2h\sqrt3}{12}\)
Exemplul 16.8
Rezolvare
\(a_b=OM=\dfrac{6\sqrt3\cdot\sqrt3}{6}=3\) cm, \(R=OA=\dfrac{6\sqrt3\cdot\sqrt3}{3}=6\) cm.
\(a_p=VM=\sqrt{16+9}=5\) cm;\(VA=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) cm.
\(\mathcal{A}_b=\dfrac{108\sqrt3}{4}=27\sqrt3\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{A}_l=\dfrac{3\cdot6\sqrt3\cdot5}{2}=45\sqrt3\ \text{cm}^2\), deci \(\mathcal{A}_t=72\sqrt3\ \text{cm}^2\).
\[\mathcal{V}=\dfrac{27\sqrt3\cdot4}{3}=36\sqrt3\ \text{cm}^3.\]
Tetraedrul regulat
Definiție
Tetraedrul regulat are toate cele 6 muchii congruente (de lungime \(l\)); toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale. Oricare față poate fi considerată bază.
\(h=\dfrac{l\sqrt6}{3}\)\(a_p=\dfrac{l\sqrt3}{2}\)\(\mathcal{A}_t=4\cdot\dfrac{l^2\sqrt3}{4}=l^2\sqrt3\)\(\mathcal{V}=\dfrac{l^3\sqrt2}{12}\)
De unde vine înălțimea?
În \(\triangle DOA\), dreptunghic în \(O\): \(h^2=l^2-\left(\dfrac{l\sqrt3}{3}\right)^2=l^2-\dfrac{l^2}{3}=\dfrac{2l^2}{3}\), deci \(h=\dfrac{l\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{l\sqrt6}{3}\).
Exemplul 16.9
Rezolvare
16.7Piramida patrulateră regulată
Definiție
Baza \(ABCD\) este pătrat de latură \(l\), iar \(O\) este centrul pătratului (intersecția diagonalelor): \(OM=a_b=\dfrac{l}{2}\), \(OA=R=\dfrac{l\sqrt2}{2}\).
\(\mathcal{A}_b=l^2\)\(\mathcal{A}_l=\dfrac{4l\cdot a_p}{2}=2l\cdot a_p\)\(\mathcal{A}_t=2l\cdot a_p+l^2\)\(\mathcal{V}=\dfrac{l^2\cdot h}{3}\)
Exemplul 16.10
Rezolvare
\(OM=3\) cm, deci \(a_p=VM=\sqrt{16+9}=5\) cm.
\(\mathcal{A}_l=2\cdot6\cdot5=60\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{A}_t=60+36=96\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{V}=\dfrac{36\cdot4}{3}=48\ \text{cm}^3\).
\(OA=3\sqrt2\) cm, deci \(VA=\sqrt{16+18}=\sqrt{34}\) cm.
Exemplul 16.11
Rezolvare
Fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale, deci \(a_p=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) cm. Din \(\triangle VOM\): \(h=\sqrt{27-9}=\sqrt{18}=3\sqrt2\) cm.
\[\mathcal{V}=\dfrac{36\cdot3\sqrt2}{3}=36\sqrt2\ \text{cm}^3.\]
16.8Trunchiul de piramidă regulată
Definiție
Secționând o piramidă regulată cu un plan paralel cu baza, se obțin o piramidă mică (asemenea cu cea inițială) și un trunchi de piramidă regulată. Trunchiul are două baze – poligoane regulate asemenea, situate în plane paralele (baza mare, de latură \(L\), și baza mică, de latură \(l\)) – iar fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.
- \(h=OO^{\prime}\) – înălțimea (distanța dintre baze);
- \(a_p=MM^{\prime}\) – apotema trunchiului (înălțimea unei fețe laterale);
- \(a_B=OM\), \(a_b=O^{\prime}M^{\prime}\) – apotemele celor două baze.
\(\mathcal{A}_l=\dfrac{(P_B+P_b)\cdot a_p}{2}\)\(\mathcal{A}_t=\mathcal{A}_l+\mathcal{A}_B+\mathcal{A}_b\)
\[\mathcal{V}=\dfrac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B+\mathcal{A}_b+\sqrt{\mathcal{A}_B\cdot\mathcal{A}_b}\right)\]
\(a_p^2=h^2+(a_B-a_b)^2\) (trapezul dreptunghic \(OO^{\prime}M^{\prime}M\))\(m^2=a_p^2+\left(\dfrac{L-l}{2}\right)^2\) (fața laterală)
Secțiunea paralelă cu baza
Dacă planul de secțiune se află la distanța \(h^{\prime}\) de vârf, iar înălțimea piramidei este \(H\), piramida mică este asemenea cu cea mare cu raportul \(k=\dfrac{h^{\prime}}{H}=\dfrac{l}{L}\). Atunci raportul ariilor bazelor este \(k^2\), iar raportul volumelor este \(k^3\). Volumul trunchiului se mai poate calcula ca diferență: \(\mathcal{V}_{\text{trunchi}}=\mathcal{V}_{\text{piramida mare}}-\mathcal{V}_{\text{piramida mică}}\).
Exemplul 16.12
Rezolvare
\(a_B=5\) cm, \(a_b=2\) cm, deci \(a_p=\sqrt{4^2+(5-2)^2}=\sqrt{25}=5\) cm.
\(\mathcal{A}_l=\dfrac{(40+16)\cdot5}{2}=140\ \text{cm}^2\), \(\mathcal{A}_t=140+100+16=256\ \text{cm}^2\).
\[\mathcal{V}=\dfrac43\left(100+16+\sqrt{1600}\right)=\dfrac43\cdot156=208\ \text{cm}^3.\]
Exemplul 16.13
Rezolvare
Raportul de asemănare: \(k=\dfrac{4}{12}=\dfrac13\), deci \(\dfrac{\mathcal{V}_{\text{mică}}}{\mathcal{V}}=k^3=\dfrac{1}{27}\).
\[\mathcal{V}_{\text{mică}}=\dfrac{270}{27}=10\ \text{cm}^3,\qquad \mathcal{V}_{\text{trunchi}}=270-10=260\ \text{cm}^3.\]
Tabel recapitulativ
| Corpul | Aria laterală | Aria totală | Volumul |
|---|---|---|---|
| cub (muchia \(l\)) | \(4l^2\) | \(6l^2\) | \(l^3\) |
| paralelipiped dreptunghic | \(2(L+l)h\) | \(2(Ll+Lh+lh)\) | \(Llh\) |
| prismă dreaptă | \(P_b\cdot h\) | \(\mathcal{A}_l+2\mathcal{A}_b\) | \(\mathcal{A}_b\cdot h\) |
| piramidă regulată | \(\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}\) | \(\mathcal{A}_l+\mathcal{A}_b\) | \(\dfrac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}\) |
| tetraedru regulat | \(\dfrac{3l^2\sqrt3}{4}\) | \(l^2\sqrt3\) | \(\dfrac{l^3\sqrt2}{12}\) |
| trunchi de piramidă regulată | \(\dfrac{(P_B+P_b)\cdot a_p}{2}\) | \(\mathcal{A}_l+\mathcal{A}_B+\mathcal{A}_b\) | \(\dfrac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B+\mathcal{A}_b+\sqrt{\mathcal{A}_B\mathcal{A}_b}\right)\) |
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).