Corpuri rotunde – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Corpurile rotunde din programa de Evaluare Națională – cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con și sfera: elemente, secțiunea axială, desfășurarea suprafeței laterale, arii și volume, cu exemple rezolvate.
17.1Cilindrul circular drept
Definiție și elemente
Cilindrul circular drept se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Are:
- două baze – discuri congruente, situate în plane paralele, cu centrele \(O\) și \(O^{\prime}\) și raza \(R\);
- axa \(OO^{\prime}\), perpendiculară pe planele bazelor;
- generatoarea \(G\) (de exemplu \(AA^{\prime}\)), egală cu înălțimea: \(G=h=OO^{\prime}\).
Secțiunea axială
Secțiunea cu un plan care conține axa este dreptunghiul \(ABB^{\prime}A^{\prime}\), cu laturile \(2R\) și \(G\):
\[\mathcal{A}_{\text{secțiune}}=2R\cdot G,\qquad \text{diagonala}=\sqrt{4R^2+G^2}.\]
Dacă secțiunea axială este pătrat (\(G=2R\)), cilindrul se numește cilindru echilateral.
Desfășurarea
Suprafața laterală desfășurată este un dreptunghi cu laturile \(2\pi R\) (lungimea cercului bazei) și \(G\); desfășurarea totală mai conține cele două discuri ale bazelor.
\(\mathcal{A}_b=\pi R^2\)\(\mathcal{A}_l=2\pi RG\)\(\mathcal{A}_t=2\pi R(R+G)\)\(\mathcal{V}=\pi R^2G\)
Exemplul 17.1
Rezolvare
Secțiunea axială are laturile \(6\) cm și \(8\) cm, deci diagonala ei este \(\sqrt{36+64}=10\) cm.
Exemplul 17.2
Rezolvare
Latura pătratului este \(6\) cm, deci \(2R=6\Rightarrow R=3\) cm și \(G=6\) cm. Atunci \(\mathcal{V}=\pi\cdot9\cdot6=54\pi\ \text{cm}^3\).
Exemplul 17.3
Rezolvare
\(\mathcal{V}=\pi\cdot1^2\cdot2=2\pi\approx6{,}28\ \text{m}^3\). Cum \(1\ \text{m}^3=1000\) L, în rezervor încap aproximativ \(6280\) de litri.
17.2Conul circular drept
Definiție și elemente
Conul circular drept se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Are:
- vârful \(V\) și baza – un disc cu centrul \(O\) și raza \(R\);
- înălțimea \(h=VO\), perpendiculară pe planul bazei;
- generatoarea \(G=VA=VB\) (orice segment care unește vârful cu un punct al cercului bazei).
În triunghiul dreptunghic \(VOB\): \[G^2=h^2+R^2.\]
Secțiunea axială
Secțiunea cu un plan care conține axa \(VO\) este triunghiul isoscel \(VAB\), cu baza \(2R\), laturile congruente \(G\) și înălțimea \(h\):
\[\mathcal{A}_{\text{secțiune}}=\dfrac{2R\cdot h}{2}=R\cdot h.\]
Dacă secțiunea axială este triunghi echilateral (\(G=2R\)), conul se numește con echilateral.
Desfășurarea
Suprafața laterală desfășurată este un sector de cerc cu raza \(G\), al cărui arc are lungimea \(2\pi R\). Măsura unghiului sectorului este
\[u=\dfrac{R}{G}\cdot360^\circ.\]
\(\mathcal{A}_b=\pi R^2\)\(\mathcal{A}_l=\pi RG\)\(\mathcal{A}_t=\pi R(R+G)\)\(\mathcal{V}=\dfrac{\pi R^2h}{3}\)
Atenție
Aria laterală se calculează cu generatoarea \(G\), iar volumul cu înălțimea \(h\). Dacă problema dă doar una dintre ele, o calculați pe cealaltă din \(G^2=h^2+R^2\).
Exemplul 17.4
Rezolvare
\(G=\sqrt{64+36}=10\) cm;\(\mathcal{A}_l=\pi\cdot6\cdot10=60\pi\ \text{cm}^2\);\(\mathcal{A}_t=\pi\cdot6\cdot16=96\pi\ \text{cm}^2\).
\[\mathcal{V}=\dfrac{\pi\cdot36\cdot8}{3}=96\pi\ \text{cm}^3,\qquad u=\dfrac{6}{10}\cdot360^\circ=216^\circ.\]
Exemplul 17.5
Rezolvare
\(G=2R\Rightarrow R=4\) cm; înălțimea triunghiului echilateral de latură 8: \(h=\dfrac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3\) cm.
\[\mathcal{A}_l=\pi\cdot4\cdot8=32\pi\ \text{cm}^2,\qquad \mathcal{V}=\dfrac{\pi\cdot16\cdot4\sqrt3}{3}=\dfrac{64\sqrt3\,\pi}{3}\ \text{cm}^3.\]
Exemplul 17.6
Rezolvare
Raza semicercului este generatoarea: \(G=10\) cm. Lungimea arcului semicercului este \(\pi\cdot10=10\pi\) și este egală cu lungimea cercului bazei: \(2\pi R=10\pi\Rightarrow R=5\) cm.
\(h=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt3\) cm.
17.3Trunchiul de con circular drept
Definiție și elemente
Secționând un con circular drept cu un plan paralel cu baza, se obțin un con mic și un trunchi de con. Trunchiul are:
- două baze – discuri cu centrele \(O\), \(O^{\prime}\) și razele \(R\) (baza mare) și \(r\) (baza mică);
- înălțimea \(h=OO^{\prime}\) și generatoarea \(g=BB^{\prime}\).
Secțiunea axială
Secțiunea axială este trapezul isoscel \(ABB^{\prime}A^{\prime}\), cu bazele \(2R\) și \(2r\), laturile neparalele \(g\) și înălțimea \(h\). Ducând înălțimea din \(B^{\prime}\), obținem un triunghi dreptunghic cu catetele \(h\) și \(R-r\):
\[g^2=h^2+(R-r)^2,\qquad \mathcal{A}_{\text{secțiune}}=\dfrac{(2R+2r)\cdot h}{2}=(R+r)\cdot h.\]
\(\mathcal{A}_l=\pi g(R+r)\)\(\mathcal{A}_t=\pi g(R+r)+\pi R^2+\pi r^2\)
\[\mathcal{V}=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+R\cdot r\right)\]
Desfășurarea
Suprafața laterală desfășurată este un sector de coroană circulară: diferența dintre desfășurările conului mare și ale conului mic din care provine trunchiul. Arcele au lungimile \(2\pi R\) și \(2\pi r\).
Observație
Volumul trunchiului se poate calcula și ca diferență: \(\mathcal{V}_{\text{trunchi}}=\mathcal{V}_{\text{con mare}}-\mathcal{V}_{\text{con mic}}\). Conul mic este asemenea cu cel mare cu raportul \(k=\dfrac{r}{R}\), deci \(\mathcal{V}_{\text{con mic}}=k^3\cdot\mathcal{V}_{\text{con mare}}\).
Exemplul 17.7
Rezolvare
\(g=\sqrt{4^2+(6-3)^2}=\sqrt{25}=5\) cm;\(\mathcal{A}_l=\pi\cdot5\cdot(6+3)=45\pi\ \text{cm}^2\).
\(\mathcal{A}_t=45\pi+36\pi+9\pi=90\pi\ \text{cm}^2\).
\[\mathcal{V}=\dfrac{4\pi}{3}\left(36+9+18\right)=\dfrac{4\pi\cdot63}{3}=84\pi\ \text{cm}^3.\]
Exemplul 17.8
Rezolvare
\(\mathcal{V}_{\text{con}}=\dfrac{\pi\cdot36\cdot12}{3}=144\pi\ \text{cm}^3\). Conul mic are înălțimea 6 cm, deci raportul de asemănare este \(k=\dfrac12\).
\(\mathcal{V}_{\text{con mic}}=k^3\cdot\mathcal{V}_{\text{con}}=\dfrac{144\pi}{8}=18\pi\ \text{cm}^3\).
\[\mathcal{V}_{\text{trunchi}}=144\pi-18\pi=126\pi\ \text{cm}^3.\]
Verificare cu formula (\(R=6\), \(r=3\), \(h=6\)): \(\dfrac{6\pi}{3}(36+9+18)=126\pi\ \text{cm}^3\).
17.4Sfera
Definiție
Sfera cu centrul \(O\) și raza \(R\) este mulțimea punctelor din spațiu situate la distanța \(R\) de punctul \(O\). Corpul mărginit de sferă se numește corp sferic (bilă); se obține prin rotirea unui semidisc în jurul diametrului său.
Secțiunea cu un plan
Un plan aflat la distanța \(d\lt R\) de centru taie sfera după un cerc cu centrul \(O^{\prime}\) (proiecția lui \(O\) pe plan) și raza \(r\), unde, din triunghiul dreptunghic \(OO^{\prime}M\):
\[r^2=R^2-d^2.\]
Dacă planul trece prin centru (\(d=0\)), secțiunea este un cerc mare, cu raza \(R\). Dacă \(d=R\), planul este tangent sferei.
\(\mathcal{A}_{\text{sferă}}=4\pi R^2\)\(\mathcal{V}_{\text{sferă}}=\dfrac{4\pi R^3}{3}\)
Semisfera (emisfera): aria suprafeței curbe \(2\pi R^2\), aria totală \(2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2\), volumul \(\dfrac{2\pi R^3}{3}\).
Exemplul 17.9
Rezolvare
Exemplul 17.10
Rezolvare
\(r^2=R^2-d^2=100-36=64\Rightarrow r=8\) cm. Secțiunea este un disc cu aria \(\pi\cdot8^2=64\pi\ \text{cm}^2\).
Exemplul 17.11
Rezolvare
Diametrul sferei este egal cu muchia cubului: \(2R=6\Rightarrow R=3\) cm, deci \(\mathcal{V}_{\text{sferă}}=36\pi\ \text{cm}^3\).
\[\dfrac{\mathcal{V}_{\text{sferă}}}{\mathcal{V}_{\text{cub}}}=\dfrac{36\pi}{216}=\dfrac{\pi}{6}.\]
Tabel recapitulativ
| Corpul | Aria laterală | Aria totală | Volumul |
|---|---|---|---|
| cilindru (\(R\), \(G=h\)) | \(2\pi RG\) | \(2\pi R(R+G)\) | \(\pi R^2h\) |
| con (\(R\), \(h\), \(G\)) | \(\pi RG\) | \(\pi R(R+G)\) | \(\dfrac{\pi R^2h}{3}\) |
| trunchi de con (\(R\), \(r\), \(h\), \(g\)) | \(\pi g(R+r)\) | \(\pi g(R+r)+\pi R^2+\pi r^2\) | \(\dfrac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)\) |
| sferă (\(R\)) | – | \(4\pi R^2\) | \(\dfrac{4\pi R^3}{3}\) |
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).