Teorie geometrie și trigonometrie liceu – formule și exemple rezolvate

Teoria de geometrie din liceu: vectori, produs scalar, trigonometrie, rezolvarea triunghiului și geometrie analitică – fiecare cu un exemplu rezolvat.

1Vectori în plan

Suma a doi vectori: regula triunghiului \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) și regula paralelogramului.
\(\vec u\) și \(\vec v\) sunt coliniari dacă \(\vec u=k\vec v\); în coordonate: \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}\).
\(M\) mijlocul lui \([AB]\): \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}2\); \(G\) centrul de greutate al \(\triangle ABC\): \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).

\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec i+(y_B-y_A)\vec j\)\( |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}\ \text{ pentru }\ \vec v=x\vec i+y\vec j\)

Exemplu

a) Fie \(A(1,2)\) și \(B(5,4)\). Aflați \(\overrightarrow{AB}\), lungimea \(AB\) și mijlocul segmentului. b) Aflați \(a\) pentru care \(\vec u=2\vec i+3\vec j\) și \(\vec v=a\vec i+6\vec j\) sunt coliniari.

Rezolvare

a) \(\overrightarrow{AB}=4\vec i+2\vec j\), \(AB=\sqrt{16+4}=2\sqrt5\), \(M(3,3)\).
b) \(\dfrac2a=\dfrac36\Rightarrow a=4\) (atunci \(\vec v=2\vec u\)).

↑ Cuprins

2Produsul scalar

\(\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2\)

\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)\( \cos\theta=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)

Exemplu

a) Aflați \(a\) pentru care \(\vec u=3\vec i-\vec j\) și \(\vec v=2\vec i+a\vec j\) sunt perpendiculari. b) Aflați unghiul dintre \(\vec u=\vec i+\vec j\) și \(\vec v=\vec i\).

Rezolvare

a) \(3\cdot2+(-1)\cdot a=0\Rightarrow a=6\).
b) \(\cos\theta=\dfrac{1\cdot1+1\cdot0}{\sqrt2\cdot1}=\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow\theta=45^\circ\).

↑ Cuprins

3Trigonometrie. Formule

Pe cercul trigonometric, punctul corespunzător unghiului \(t\) are coordonatele \((\cos t,\sin t)\). \(\pi\ \text{rad}=180^\circ\).
Reducerea la primul cadran: \(\sin(\pi-x)=\sin x,\ \cos(\pi-x)=-\cos x,\ \sin(-x)=-\sin x,\ \cos(-x)=\cos x\).

\(\sin^2x+\cos^2x=1\)\( \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)

\(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\)\( \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\)

\(\sin2x=2\sin x\cos x\)\( \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x\)

	\(0\)	\(\frac\pi6\)	\(\frac\pi4\)	\(\frac\pi3\)	\(\frac\pi2\)	\(\pi\)
sin	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}2\)	\(\frac{\sqrt3}2\)	\(1\)	\(0\)
cos	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}2\)	\(\frac{\sqrt2}2\)	\(\frac12\)	\(0\)	\(-1\)

Exemplu

Știind că \(\sin x=\dfrac35\) și \(x\in\left(\dfrac\pi2,\pi\right)\), calculați \(\cos x\), \(\operatorname{tg}x\) și \(\sin2x\).

Rezolvare

\(\cos^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\); în cadranul II cosinusul e negativ, deci \(\cos x=-\dfrac45\).
\(\operatorname{tg}x=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34\); \(\sin2x=2\cdot\dfrac35\cdot\left(-\dfrac45\right)=-\dfrac{24}{25}\).

↑ Cuprins

4Rezolvarea triunghiului oarecare

Teorema sinusurilor: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)

Teorema cosinusului: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

Aria: \(\mathcal{A}=\dfrac{ab\sin C}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (Heron), \(\quad r=\dfrac{\mathcal{A}}{p},\quad R=\dfrac{abc}{4\mathcal{A}}\)

Exemplu

În \(\triangle ABC\), \(AB=3\), \(AC=5\) și \(m(\angle A)=120^\circ\). Aflați \(BC\), aria triunghiului și raza cercului circumscris.

Rezolvare

\(BC^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^\circ=34+15=49\Rightarrow BC=7\).
\(\mathcal{A}=\dfrac{3\cdot5\cdot\sin120^\circ}{2}=\dfrac{15\sqrt3}{4}\).
\(2R=\dfrac{7}{\sin120^\circ}=\dfrac{14}{\sqrt3}\Rightarrow R=\dfrac{7\sqrt3}{3}\).

↑ Cuprins

5Ecuația dreptei în plan

Panta dreptei \(AB\): \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\); dreapta prin \(A\) de pantă \(m\): \(y-y_A=m(x-x_A)\)

Dreapta prin două puncte: \(\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}\); forma generală: \(ax+by+c=0\)

\(d_1\parallel d_2\iff m_1=m_2\)\( d_1\perp d_2\iff m_1\cdot m_2=-1\)

Exemplu

Fie \(A(1,2)\) și \(B(3,6)\). Scrieți ecuația dreptei \(AB\) și ecuația perpendicularei din \(C(0,5)\) pe \(AB\).

Rezolvare

\(m_{AB}=\dfrac{6-2}{3-1}=2\), deci \(AB:\ y-2=2(x-1)\iff 2x-y=0\).
Perpendiculara are panta \(-\dfrac12\): \(y-5=-\dfrac12x\iff x+2y-10=0\).

↑ Cuprins

6Distanțe și arii în reperul cartezian

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\qquad M\left(\dfrac{x_A+x_B}2,\dfrac{y_A+y_B}2\right)\qquad G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}3,\dfrac{y_A+y_B+y_C}3\right)\)

Distanța de la \(P(x_0,y_0)\) la \(ax+by+c=0\): \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac12|\Delta|,\quad \Delta=\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}\); punctele sunt coliniare \(\iff\Delta=0\)

Exemplu

Fie \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(1,3)\). Calculați aria triunghiului \(ABC\), coordonatele centrului de greutate și distanța de la \(C\) la dreapta \(d:\ x-y=0\).

Rezolvare

\(\Delta=\begin{vmatrix}0&0&1\\4&0&1\\1&3&1\end{vmatrix}=12\), deci \(\mathcal{A}=6\) (verificare: baza 4, înălțimea 3). ✓
\(G\left(\dfrac53,1\right)\). Distanța: \(\dfrac{|1-3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\).

↑ Cuprins