mateinfo.roANDREI OCTAVIAN DOBRE

Teorie algebră gimnaziu – formule și exemple rezolvate

Teoria de algebră din gimnaziu (clasele V–VIII), pe capitole, cu formulele importante și câte un exemplu rezolvat pas cu pas – exact ce îți trebuie pentru Evaluarea Națională.

1Mulțimi de numere. Modulul unui număr

  • \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\) – numere naturale; \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) – numere întregi.
  • \(\mathbb{Q}\) – numere raționale (se pot scrie ca fracție \(\frac{a}{b}\), \(b\neq0\)); \(\mathbb{R}\) – numere reale.
  • Numerele reale care nu sunt raționale se numesc iraționale (de exemplu \(\sqrt2,\ \sqrt3,\ \pi\)).

\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)

\(|a|=a\) dacă \(a\ge0\) și \(|a|=-a\) dacă \(a<0\)

Exemplu

Precizați cărei mulțimi „celei mai mici” îi aparține fiecare număr: \(\sqrt{16},\ -3,\ \frac25,\ 0{,}(3),\ \sqrt2\). Calculați \(|1-\sqrt2|\).
Rezolvare
  • \(\sqrt{16}=4\in\mathbb{N}\); \(-3\in\mathbb{Z}\); \(\frac25\in\mathbb{Q}\); \(0{,}(3)=\frac13\in\mathbb{Q}\); \(\sqrt2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) (irațional).
  • Cum \(\sqrt2\approx1{,}41>1\), avem \(1-\sqrt2<0\), deci \(|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\).

↑ Cuprins

2Divizibilitate. c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

  • Un număr se divide cu 2 dacă ultima cifră este pară; cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5; cu 10 dacă ultima cifră este 0.
  • Un număr se divide cu 3 (respectiv 9) dacă suma cifrelor se divide cu 3 (respectiv 9).
  • Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori: 1 și el însuși (2, 3, 5, 7, 11, 13, …).
  • c.m.m.d.c.: produsul factorilor primi comuni, la puterea cea mai mică; c.m.m.m.c.: produsul factorilor comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.

\((a,b)\cdot[a,b]=a\cdot b\)

Exemplu

Aflați \((24,36)\) și \([24,36]\).
Rezolvare
\(24=2^3\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\).
\((24,36)=2^2\cdot3=12\); \([24,36]=2^3\cdot3^2=72\).
Verificare: \(12\cdot72=864=24\cdot36\). ✓

↑ Cuprins

3Puteri și radicali

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\quad a^m:a^n=a^{m-n}\quad (a^m)^n=a^{m\cdot n}\quad (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\quad a^0=1\ (a\ne0)\)

\(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\quad \sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b},\quad \sqrt{a^2}=|a|\quad (a,b\ge0)\)

Scoaterea factorilor de sub radical: \(\sqrt{a^2 b}=a\sqrt b\); raționalizarea: \(\dfrac{1}{\sqrt a}=\dfrac{\sqrt a}{a}\)

Exemplu

Calculați \(\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt8\) și raționalizați \(\dfrac{6}{\sqrt3}\).
Rezolvare
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt2\), \(\sqrt8=2\sqrt2\).
Suma: \(5\sqrt2+3\sqrt2-2\sqrt2=6\sqrt2\).
\(\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\).

↑ Cuprins

4Rapoarte și proporții. Mărimi proporționale

  • Proporția este egalitatea a două rapoarte: \(\dfrac ab=\dfrac cd\).
  • Mărimi direct proporționale: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k\); mărimi invers proporționale: \(x\cdot a=y\cdot b=z\cdot c\).

Proprietatea fundamentală: \(\dfrac ab=\dfrac cd\iff a\cdot d=b\cdot c\)

Exemplu

a) Aflați \(x\) din proporția \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{10}{15}\). b) Împărțiți numărul 60 în părți direct proporționale cu 2, 3 și 5.
Rezolvare
a) \(15x=60\Rightarrow x=4\).
b) \(\dfrac a2=\dfrac b3=\dfrac c5=k\Rightarrow a=2k,\ b=3k,\ c=5k\); \(10k=60\Rightarrow k=6\), deci \(a=12,\ b=18,\ c=30\).

↑ Cuprins

5Procente

\(p\%\) din \(a\) \(=\dfrac{p}{100}\cdot a\)

După o creștere cu \(p\%\): \(a\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\); după o scădere cu \(p\%\): \(a\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\)

Exemplu

Un produs costă 200 de lei. Prețul crește cu 10%, apoi noul preț scade cu 10%. Cât costă la final?
Rezolvare
După creștere: \(200\cdot1{,}1=220\) lei. După scădere: \(220\cdot0{,}9=198\) lei.
Observație: prețul final nu revine la 200 de lei, pentru că a doua oară procentul se aplică altei sume.

↑ Cuprins

6Calcul algebric. Formule de calcul prescurtat

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

  • Descompunerea în factori: scoaterea factorului comun, formulele de mai sus (citite „invers”), gruparea termenilor.

Exemplu

Descompuneți în factori: a) \(x^2-6x+9\); b) \(4x^2-25\); c) \(3x^2-12x\). Calculați \((\sqrt3+1)^2\).
Rezolvare
a) \(x^2-6x+9=(x-3)^2\).
b) \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\).
c) \(3x^2-12x=3x(x-4)\).
\((\sqrt3+1)^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3\).

↑ Cuprins

7Ecuații de gradul I

\(ax+b=0,\ a\ne0\ \Rightarrow\ x=-\dfrac ba\)

  • Putem aduna/scădea același număr în ambii membri și putem înmulți/împărți ambii membri cu același număr nenul.

Exemplu

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(3(x-2)=x+4\).
Rezolvare
\(3x-6=x+4\Rightarrow 3x-x=4+6\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5\).
Verificare: \(3(5-2)=9\) și \(5+4=9\). ✓ Soluția: \(S=\{5\}\).

↑ Cuprins

8Inecuații de gradul I. Intervale

  • La înmulțirea sau împărțirea ambilor membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.
  • Intervale: \([a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}\), \((a,b)=\{x\mid a\lt x\lt b\}\), \([a,\infty)=\{x\mid x\ge a\}\).

Exemplu

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(-2x+3\le7\).
Rezolvare
\(-2x\le4\). Împărțim la \(-2\) și schimbăm sensul: \(x\ge-2\).
Soluția: \(x\in[-2,\infty)\).

↑ Cuprins

9Sisteme de două ecuații cu două necunoscute

  • Metoda reducerii: adunăm sau scădem ecuațiile (eventual după ce le-am înmulțit) ca să dispară o necunoscută.
  • Metoda substituției: scoatem o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuim în cealaltă.

Exemplu

Rezolvați sistemul \(\begin{cases}x+y=7\\ x-y=1\end{cases}\)
Rezolvare
Adunăm ecuațiile: \(2x=8\Rightarrow x=4\). Înlocuim: \(4+y=7\Rightarrow y=3\).
Soluția: \((x,y)=(4,3)\).

↑ Cuprins

10Funcția liniară \(f(x)=ax+b\)

  • Graficul funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=ax+b\) este o dreaptă.
  • Punctul \(A(m,n)\) aparține graficului dacă și numai dacă \(f(m)=n\).
  • Intersecția cu axa \(Ox\): rezolvăm \(f(x)=0\); intersecția cu axa \(Oy\): punctul \((0,f(0))=(0,b)\).

Exemplu

Fie \(f(x)=2x-4\). Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axele și verificați dacă \(A(3,2)\) aparține graficului.
Rezolvare
\(Ox\): \(2x-4=0\Rightarrow x=2\), punctul \((2,0)\). \(Oy\): \(f(0)=-4\), punctul \((0,-4)\).
\(f(3)=2\cdot3-4=2\), deci \(A(3,2)\) aparține graficului. ✓

↑ Cuprins

11Medii. Elemente de statistică și probabilități

Media aritmetică: \(m_a=\dfrac{a+b}{2}\);  media geometrică: \(m_g=\sqrt{a\cdot b}\ (a,b\ge0)\)

Media ponderată: \(m_p=\dfrac{a\cdot p_1+b\cdot p_2}{p_1+p_2}\)

Probabilitatea: \(P=\dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}\)

Exemplu

a) Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor 2 și 8. b) Se aruncă un zar. Care este probabilitatea să apară un număr prim?
Rezolvare
a) \(m_a=\dfrac{2+8}2=5\); \(m_g=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4\).
b) Cazuri posibile: 6. Numerele prime de pe zar sunt 2, 3, 5, deci 3 cazuri favorabile. \(P=\dfrac36=\dfrac12\).

↑ Cuprins