Teorie geometrie în spațiu gimnaziu – formule și exemple rezolvate

Teoria de geometrie în spațiu din clasa a VIII-a: paralelism, perpendicularitate, unghiuri, prisma, piramida, trunchiul și corpurile rotunde – fiecare cu un exemplu rezolvat.

1Puncte, drepte, plane. Unghiul a două drepte

Un plan este determinat de: trei puncte necoliniare; o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; două drepte paralele.
Două drepte în spațiu pot fi: concurente, paralele (acestea sunt coplanare) sau necoplanare.
Unghiul a două drepte necoplanare \(a\) și \(b\): ducem printr-un punct o paralelă la \(a\) și o paralelă la \(b\); unghiul lor este unghiul dreptelor.

Exemplu

În cubul \(ABCDA’B’C’D’\), aflați unghiul dreptelor \(A’C’\) și \(AB\).

Rezolvare

\(A’C’\parallel AC\), deci \(\angle(A’C’,AB)=\angle(AC,AB)=\angle CAB=45^\circ\) (diagonala pătratului \(ABCD\) este bisectoarea unghiului drept).

↑ Cuprins

2Paralelism în spațiu

O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din acel plan (și nu este conținută în plan).
Două plane sunt paralele dacă unul conține două drepte concurente paralele cu celălalt plan.
Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, dreptele de intersecție sunt paralele.

Exemplu

În cubul \(ABCDA’B’C’D’\), arătați că \(AB\parallel(A’B’C’)\).

Rezolvare

\(ABB’A’\) este pătrat, deci \(AB\parallel A’B’\). Cum \(A’B’\subset(A’B’C’)\) și \(AB\not\subset(A’B’C’)\), rezultă \(AB\parallel(A’B’C’)\).

↑ Cuprins

3Perpendicularitate. Teorema celor trei perpendiculare

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan; atunci este perpendiculară pe orice dreaptă din plan.
Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan.

Teorema celor trei perpendiculare: dacă \(PA\perp\alpha\), \(A\in\alpha\), \(BC\subset\alpha\), \(B\in BC\) și \(AB\perp BC\), atunci \(PB\perp BC\)

Exemplu

\(ABCD\) este un pătrat cu latura de 6 cm, iar \(PA\perp(ABC)\), \(PA=8\) cm. Aflați distanța de la \(P\) la dreapta \(BC\).

Rezolvare

\(PA\perp(ABC)\), \(AB\perp BC\), \(AB,BC\subset(ABC)\). Din T3⊥: \(PB\perp BC\), deci \(d(P,BC)=PB\).
În \(\triangle PAB\) dreptunghic în \(A\): \(PB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\) cm.

↑ Cuprins

4Proiecții. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei din acel punct pe plan.
Unghiul dintre o dreaptă (oblică) și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
Unghiul diedru a două plane se măsoară prin unghiul plan corespunzător: în fiecare plan ducem câte o perpendiculară pe muchia comună, în același punct.

Exemplu

Cubul \(ABCDA’B’C’D’\) are muchia \(a\). Aflați tangenta unghiului dintre diagonala \(A’C\) și planul \((ABC)\).

Rezolvare

\(A’A\perp(ABC)\), deci proiecția lui \(A’C\) pe \((ABC)\) este \(AC\), iar unghiul căutat este \(\angle A’CA\).
În \(\triangle A’AC\) dreptunghic în \(A\): \(\operatorname{tg}\angle A’CA=\dfrac{A’A}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

↑ Cuprins

5Prisma. Paralelipipedul și cubul

Paralelipiped dreptunghic (\(L,\ell,h\)): \(d=\sqrt{L^2+\ell^2+h^2}\); \(V=L\cdot\ell\cdot h\); \(\mathcal{A}_t=2(L\ell+Lh+\ell h)\)

Cub (muchia \(\ell\)): \(d=\ell\sqrt3\); \(V=\ell^3\); \(\mathcal{A}_t=6\ell^2\)

Prisma dreaptă: \(\mathcal{A}_\ell=P_b\cdot h\); \(\mathcal{A}_t=\mathcal{A}_\ell+2\mathcal{A}_b\); \(V=\mathcal{A}_b\cdot h\)

Exemplu

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 12 cm. Aflați diagonala, aria totală și volumul.

Rezolvare

\(d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\) cm.
\(\mathcal{A}_t=2(3\cdot4+3\cdot12+4\cdot12)=2(12+36+48)=192\) cm².
\(V=3\cdot4\cdot12=144\) cm³.

↑ Cuprins

6Piramida regulată

Apotema piramidei \(a_p\), înălțimea \(h\), apotema bazei \(a_b\): \(a_p^2=h^2+a_b^2\)

\(\mathcal{A}_\ell=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}\); \(\mathcal{A}_t=\mathcal{A}_\ell+\mathcal{A}_b\); \(V=\dfrac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}\)

Într-o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei \(\ell\): \(a_b=\dfrac{\ell}{2}\); într-o piramidă triunghiulară regulată: \(a_b=\dfrac{\ell\sqrt3}{6}\).

Exemplu

O piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 4 cm. Aflați apotema, aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare

\(a_b=3\) cm; \(a_p=\sqrt{4^2+3^2}=5\) cm.
\(\mathcal{A}_\ell=\dfrac{24\cdot5}{2}=60\) cm²; \(\mathcal{A}_t=60+36=96\) cm².
\(V=\dfrac{36\cdot4}{3}=48\) cm³.

↑ Cuprins

7Trunchiul de piramidă regulată

\(\mathcal{A}_\ell=\dfrac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}\); \(V=\dfrac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B+\mathcal{A}_b+\sqrt{\mathcal{A}_B\cdot\mathcal{A}_b}\right)\)

Apotema trunchiului \(a_t\) se află dintr-un trapez dreptunghic: \(a_t^2=h^2+(a_B-a_b)^2\), unde \(a_B,\ a_b\) sunt apotemele celor două baze.

Exemplu

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 8 cm și 2 cm și înălțimea de 4 cm. Aflați apotema, aria laterală și volumul.

Rezolvare

\(a_B=4\), \(a_b=1\); \(a_t=\sqrt{4^2+3^2}=5\) cm.
\(\mathcal{A}_\ell=\dfrac{(32+8)\cdot5}{2}=100\) cm².
\(V=\dfrac43\left(64+4+\sqrt{64\cdot4}\right)=\dfrac43\cdot84=112\) cm³.

↑ Cuprins

8Cilindrul, conul și sfera

Cilindru: \(\mathcal{A}_\ell=2\pi RG\); \(\mathcal{A}_t=2\pi R(G+R)\); \(V=\pi R^2h\) (la cilindrul circular drept \(G=h\))

Con: \(G^2=R^2+h^2\); \(\mathcal{A}_\ell=\pi RG\); \(\mathcal{A}_t=\pi R(G+R)\); \(V=\dfrac{\pi R^2h}{3}\)

Trunchi de con: \(\mathcal{A}_\ell=\pi G(R+r)\); \(V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)\)

Sferă: \(\mathcal{A}=4\pi R^2\); \(V=\dfrac{4\pi R^3}{3}\)

Exemplu

Un con circular drept are raza bazei de 3 cm și înălțimea de 4 cm. Aflați generatoarea, aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare

\(G=\sqrt{3^2+4^2}=5\) cm.
\(\mathcal{A}_\ell=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\) cm²; \(\mathcal{A}_t=15\pi+9\pi=24\pi\) cm².
\(V=\dfrac{\pi\cdot9\cdot4}{3}=12\pi\) cm³.

↑ Cuprins