Varianta 21
Prof: Ciocănaru Viorica
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculaţi numerele z=(1+i)12i2012 şi _z.
(5p) 2. Se consideră ecuaţia x2+ax+b=0,cu x1, x2∈R şi a, b∈Z. Arătaţi că x31+x32∈Z.
(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22x+1 + 2x-1=132.
(5p) 4. Aflaţi valoarea lui a∈R astfel încât în binomul (a+12√2)11, T9 să fie 165211.
(5p) 5. Se consideră punctele A(3, 2) şi B(-2, 4). Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB.
(5p) 6. Dacă tg2 a = 2, calculaţi cos 2a.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră matricea A∈M3 (R) A = (ppppppppp), p∈R .
(5p) a) Calculaţi A2 .
(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I3) det (A + I3).
(5p) c) Arătaţi că An = (3p)n-1 ⋅A, ∀n∈N*,∀p∈R şi calculaţi A2012.
- În inelul comutativ (Z,∗, ∘), x∗y = x + y – n şi x∘y = xy – n(x + y) + n(n + 1), ∀x, y∈Z, ∀n∈N*.
(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii ” ∘”, pentru n = 2.
(5p) b) Rezolvaţi în Z× Z sistemul {x∗y=1x∘y=n, ∀n∈N*.
(5p) c) Determinaţi a, b ∈ Z, a nenul, pentru ca funcţia f: Z →Z, f (x) = ax + b să fie un izomorfism între inelele (Z,∗, ∘) şi (Z, + , ⋅), ∀n∈N*.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţiile f: (23, +∞)→R, f(x) = ln (3x - 2), g: (1, +∞) →R, g(x) = logx (x +1), h: R→R, h(x) = 2x2 + x - 3.
(5p) a) Calculaţi limx→1f(x)h(x).
(5p) b) Fie funcţia k :D→R, k(x) = f(x)h(x). Calculaţi k’(x) şi stabiliţi domeniul său de derivabilitate.
(5p) c) Arătaţi că g este strict descrescătoare pe (1, +∞) şi verificaţi inegalitatea log5 6 < log3 4.
- Se consideră funcţia f: R→R, fn(x) = xne-x, n∈N*.
(5p) a) Calculaţi ln3∫ln2f1(x)dx.
(5p) b) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru In, cu In = ∫fn(x)dx, x∈R, n∈N* şi aplicaţi relaţia găsită în cazul I2.
(5p) c) Calculaţi limx→∞x∫0fn(t)dt.