FaceBook  Twitter  

Varianta 21

Prof: Ciocănaru Viorica

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi numerele z=(1+i)12i2012  şi _z.

(5p) 2. Se consideră ecuaţia x2+ax+b=0,cu x1, x2R şi a, bZ. Arătaţi că x31+x32Z.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22x+1 + 2x-1=132.

(5p) 4. Aflaţi valoarea lui aR astfel încât în binomul (a+122)11, T9 să fie 165211.

(5p) 5. Se consideră  punctele A(3, 2) şi B(-2, 4). Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB. 

(5p) 6. Dacă tg2 a = 2, calculaţi cos 2a.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră matricea AM3 (R) A = (ppppppppp),  pR .

(5p) a) Calculaţi  A2 .

(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I3) det (A + I3).

(5p) c) Arătaţi că An = (3p)n-1 A, nN*,pR şi calculaţi A2012.

  1. În inelul comutativ (Z,, ), xy = x + y – n şi xy = xy – n(x + y) + n(n + 1), x, yZ, nN*.

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii ” ”, pentru n = 2.

(5p) b) Rezolvaţi în Z× Z sistemul {xy=1xy=nnN*.

(5p) c) Determinaţi a, b Z, a nenul, pentru ca funcţia f: Z Z,  f (x) = ax + b să fie un izomorfism între inelele (Z,, ) şi (Z, + , ), nN*.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcţiile f: (23, +)R, f(x) = ln (3x - 2), g: (1, +) Rg(x) = logx (x +1), h: RRh(x) = 2x2 + x - 3.

(5p) a) Calculaţi limx1f(x)h(x).

(5p) b) Fie funcţia k :DR, k(x) = f(x)h(x). Calculaţi k’(x)  şi stabiliţi domeniul său de derivabilitate.

(5p) c) Arătaţi că g este strict descrescătoare pe (1, +) şi verificaţi inegalitatea log5 6 < log3 4.

  1. Se consideră funcţia f: RR, fn(x) = xne-x, nN*.

(5p) a) Calculaţi ln3ln2f1(x)dx.

(5p) b) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru In, cu In = fn(x)dx, xR, nN* şi aplicaţi relaţia găsită în cazul I2.

 (5p) c) Calculaţi limxx0fn(t)dt.

 

BAREM DE EVALUARE