Varianta 21

Prof: Ciocănaru Viorica

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi numerele $z=\frac{{{(1+i)}^{12}}}{{{i}^{2012}}}$  şi $\overset{\_}{\mathop{z}}\,$.

(5p) 2. Se consideră ecuaţia ${{x}^{2}}+ax+b=0,$cu x₁, x₂$\in$R şi a, b$\in$Z. Arătaţi că $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\in$Z.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2^2x+1 + 2^x-1=132.

(5p) 4. Aflaţi valoarea lui a$\in$R astfel încât în binomul ${{(a+\frac{1}{2\sqrt{2}})}^{11}}$, T₉ să fie $\frac{165}{{{2}^{11}}}$.

(5p) 5. Se consideră  punctele A(3, 2) şi B(-2, 4). Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB. 

(5p) 6. Dacă tg² a = 2, calculaţi cos 2a.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A\in$M₃ (R) A = $\left( \begin{matrix} p & p & p \\ p & p & p \\ p & p & p \\ \end{matrix} \right)$,  p$\in$R .

(5p) a) Calculaţi  A² .

(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I₃) det (A + I₃).

(5p) c) Arătaţi că Aⁿ = (3p)^n-1 $\cdot$A, $\forall$n$\in$N^*,$\forall$p$\in$R şi calculaţi A²⁰¹².

2. În inelul comutativ (Z,$*$, $\circ$), x$*$y = x + y – n şi x$\circ$y = xy – n(x + y) + n(n + 1), $\forall$x, y$\in$Z, $\forall$n$\in$N^*.

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii ” $\circ$”, pentru n = 2.

(5p) b) Rezolvaţi în Z$\times$ Z sistemul $\left\{ \begin{matrix} x*y=1 \\ x\circ y=n \\ \end{matrix} \right.$, $\forall$n$\in$N^*.

(5p) c) Determinaţi a, b $\in$ Z, a nenul, pentru ca funcţia f: Z $\to$Z,  f (x) = ax + b să fie un izomorfism între inelele (Z,$*$, $\circ$) şi (Z, + , $\cdot$), $\forall$n$\in$N^*.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile f: ($\frac{2}{3}$, +$\infty$)$\to$R, f(x) = ln (3x - 2), g: (1, +$\infty$) $\to$R,  g(x) = log_x (x +1), h: R$\to$R,  h(x) = 2x² + x - 3.

(5p) a) Calculaţi $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{h(x)}$.

(5p) b) Fie funcţia k :D$\to$R, k(x) = $\frac{f(x)}{h(x)}$. Calculaţi k’(x)  şi stabiliţi domeniul său de derivabilitate.

(5p) c) Arătaţi că g este strict descrescătoare pe (1, +$\infty$) şi verificaţi inegalitatea log₅ 6 < log₃ 4.

2. Se consideră funcţia f: R$\to$R, f_n(x) = xⁿe^-x, n$\in$N*.

(5p) a) Calculaţi $\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{f}_{1}}(x)}dx$.

(5p) b) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru I_n, cu I_n = $\int{{{f}_{n}}(x)dx}$, x$\in$R, n$\in$N^* şi aplicaţi relaţia găsită în cazul I₂.

 (5p) c) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{x}{{{f}_{n}}(t)}dt$.

BAREM DE EVALUARE