Varianta 50

Prof: Nicolaescu Nicolae.

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi $x,y\in R$astfel încât $\left( 2x+3yi \right)-\left( y-xi \right)=2+i$.

(5p) 2. Să se rezolve în $\left( 0,\infty  \right)$ecuaţia $\log _{3}^{2}x+{{\log }_{3}}9x-4=0$.

(5p) 3. Se consideră funcţia $f:R\to R,\ f(x)=m{{x}^{2}}-2mx+3$.Să se determine $m\in R$astfel încât graficul funcţiei f să nu intersecteze axa Ox.

(5p) 4. Să se calculeze $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{3}^{8}}}$.

(5p) 5. Se consideră punctele A(3,a),B(-1,2),C(2,a),D(4,0).Să se determine $a\in R$astfel încât $AB\bot CD$.

(5p) 6. Să se arate că $\frac{\sqrt{6}\sin {{135}^{o}}}{\cos {{150}^{o}}}\in Z$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră mulţimea $G=\left\{ M\left( x \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)/M\left( x \right)=\left( \begin{matrix} {{2}^{x}} & 0 & 0 \\ 0 & {{3}^{x}} & 0 \\ 0 & 0 & {{5}^{x}} \\ \end{matrix} \right) \right\}$.

(5p) a) Să se arate că $\left( G,\cdot  \right)$grup abelian.

(5p) b) Să se arate că $\left( R,+ \right)\simeq \left( G,\cdot  \right)$.

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia $\det \left( M\left( x \right)\cdot M\left( 2x \right)\cdot ...\cdot M\left( 2012x \right) \right)={{30}^{2012}}$.

1. În ${{Z}_{5}}\left[ X \right]$ se consideră polinoamele $f={{X}^{3}}+\widehat{2}{{X}^{2}}+\widehat{4},\ g=X+\widehat{3}$.

(5p) a) Să se arate că $g/f$.

(5p) b) Descompuneţi polinomul f în ${{Z}_{5}}\left[ X \right]$.

(5p) c) Câte perechi  $(a,b)\in {{Z}_{5}}\times {{Z}_{5}}$verifică relaţia ${{(\widehat{a}x+\widehat{b})}^{2}}=\widehat{4}{{x}^{2}}+x+\widehat{1},(\forall )x\in {{Z}_{5}}$?

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:R\to R$, $f(x)={{e}^{x}}\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)$.

(5p) a) Să se determine $a,b,c\in R$ astfel încât $f'(x)={{e}^{x}}\left( 3{{x}^{2}}+7x+3 \right)$.

(5p) b) Pentru a=3,b=1, c=2 să se calculeze asimptota la graficul funcţiei f către $-\infty$.

(5p) c) Pentru $a=3,b=1,c=2$să se rezolve ecuaţia $f(\ln x)=6x$.

1. Fie funcţia $f:R\to R$, $f(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}\sin x,x\le 0 \\ & \ln \left( x+1 \right),x>0 \\ \end{align} \right.$.

(5p) a) Să se arate că f admite primitive pe R.

(5p) b) Să se determine primitiva funcţiei f care îndeplineşte condiţia $F(0)=1$.

(5p) c) Să se calculeze $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{{{x}^{2}}}$.