Varianta 3
Prof: Nicolaescu Nicolae.
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se determine x∈Rastfel încât x,x3,5x+4să fie în progresie aritmetică.
(5p) 2. Să se rezolve ecuaţia A3n=n, n∈N,n≥3.
(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia √3−x+√5x+9=4.
(5p) 4. Aflaţi x∈[0,2π)din ecuaţia cos(x−π4)=√32.
(5p) 5. În paralelogramul ABCD, AB=6cm, AD=4cm, m(∡BAD)=75o.Să se calculeze →AB⋅→AD.
(5p) 6. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care expresia arcsin(x2+x+1)are sens.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră mulţimea M=\left\{ X\in {{M}_{2}}\left( R \right)/{{X}^{2}}=-3X \right\}.
(5p) a) Să se arate că \(A=(−41−41)∈M.\) (5p) b) Să se arate că dacă A∈M,atunci detA=0sau detA=9.
(5p) c) Dacă A∈M,detA=0 şi A≠O2, atunci trA=−3.
- Se consideră punctele A(-1,1),B(2,3),C(1,0),D(-2,-2).
(5p) a) Arătaţi că ABCD paralelogram.
(5p) b) Să se calculeze AABCD.
(5p) c) Să se determine M∈BC,M≠Castfel încât lungimea segmentului AM să fie egală cu √5.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţia f:(−∞,−2012)∪(0,+∞)→R, f(x)=ln(1+2012x)
(5p) a) Să se arate că f’ crescătoare pe domeniul maxim de definiţie.
(5p) b) Să se calculeze limn→∞[1+f(n)]n.
(5p) c) Să se arate că ∃c∈(1,2) astfel încât 2012c(c+2012)=−ln10072013.
- Se consideră şirul (In)n≥1, In=√33∫0(1−3x2)ndx.
(5p) a) Calculaţi I1.
(5p) b) Demonstraţi că şirul (In)n≥1 este convergent.
(5p) c) Demonstraţi că In=4n2−4n4n2−1In−2, ∀n≥3.