FaceBook  Twitter  

Varianta 3

Prof: Nicolaescu Nicolae.

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine xRastfel încât x,x3,5x+4să fie în progresie aritmetică.

(5p) 2. Să se rezolve ecuaţia A3n=n, nN,n3.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia 3x+5x+9=4.

(5p) 4. Aflaţi x[0,2π)din ecuaţia cos(xπ4)=32.

(5p) 5. În paralelogramul ABCD, AB=6cm, AD=4cm, m(BAD)=75o.Să se calculeze ABAD.

(5p) 6. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care expresia arcsin(x2+x+1)are sens.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră mulţimea M=\left\{ X\in {{M}_{2}}\left( R \right)/{{X}^{2}}=-3X \right\}.

(5p) a) Să se arate că \(A=(4141)M.\) (5p) b) Să se arate că dacă AM,atunci  detA=0sau detA=9.

(5p) c) Dacă AM,detA=0 şi AO2, atunci trA=3.

  1. Se consideră punctele A(-1,1),B(2,3),C(1,0),D(-2,-2).

(5p) a) Arătaţi că ABCD paralelogram.

(5p) b) Să se calculeze AABCD.

(5p) c) Să se determine MBC,MCastfel încât lungimea segmentului AM să fie egală cu 5.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcţia f:(,2012)(0,+)R, f(x)=ln(1+2012x)

(5p) a) Să se arate că f’ crescătoare pe domeniul maxim de definiţie.

(5p) b) Să se calculeze limn[1+f(n)]n.

(5p) c) Să se arate că c(1,2) astfel încât 2012c(c+2012)=ln10072013.

  1. Se consideră şirul (In)n1, In=330(13x2)ndx.

(5p) a) Calculaţi I1.

(5p) b) Demonstraţi că şirul (In)n1 este convergent.

(5p) c) Demonstraţi că In=4n24n4n21In2, n3.