Varianta 61
Prof. Pascotescu Camelia
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se calculeze √49+3√−1000+(√3)2 .
(5p) 2. Să se determine valorile reale ale lui m , ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x2+mx−m+1=0 verifică relaţia 2(x1+x2)+x1x2=3 .
(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia 92x=3x2 .
(5p) 4. Rezolvaţi in R ecuaţia √2x−1=2−x
(5p) 5. Aflati aria triunghiului determinat de punctele A(1,3) , B(-2, 4) , C(6,3) .
(5p) 6. Ştiind că x∈(π2,π) şi cosx=−13 , să se calculeze sinx .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră sistemul {x+y+z=13x+ay+2z=19x+a2y+4z=1 , unde a∈R şi se notează cu A matricea sistemului.
(5p) a) Calculaţi determinantul matricei A .
(5p) b) Determinaţi valorile reale ale numărului a pentru care matricea A este inversabilă.
(5p) c) Pentru a=1 , rezolvaţi sistemul.
- Fie H={X∈M3(Z5)|X=(ˆ0abˆ0ˆ1aˆ0ˆ0ˆ1)}.
(5p) a) Aflaţi numărul de elemente al mulţimii H .
(5p) b) Arătaţi că dacă A,B∈H atunci A⋅B∈H .
(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea H ecuaţia X3=I3 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Fie funcţia f:(0;∞)→R , f(x)=lnx√x,x>0.
(5p) a) Calculaţi f′(x) .
(5p) b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .
(5p) c) Arătaţi că 3√5<5√3 .
- Pentru fiecare n∈N se consideră integralele In=1∫0x2nx2+1 dx
(5p) a) Calculaţi I1,I2 .
(5p) b) Să se demonstreze că In+1+In=12n+1,∀n∈N .
(5p) c) Să se determine limn→∞ In.