FaceBook  Twitter  

Varianta 61

Prof. Pascotescu Camelia

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze 49+31000+(3)2 .

(5p) 2. Să se determine valorile reale ale lui m , ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x2+mxm+1=0 verifică relaţia 2(x1+x2)+x1x2=3 .

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia 92x=3x2 .

(5p) 4. Rezolvaţi  in R ecuaţia 2x1=2x

(5p) 5. Aflati aria triunghiului determinat de punctele A(1,3) , B(-2, 4) , C(6,3) .

 (5p) 6. Ştiind că x(π2,π) şi cosx=13 , să se calculeze sinx .

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră sistemul {x+y+z=13x+ay+2z=19x+a2y+4z=1 , unde aR şi se notează cu A matricea sistemului.

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei A .

(5p) b) Determinaţi valorile reale ale numărului a pentru care matricea A este inversabilă.

(5p) c) Pentru a=1 , rezolvaţi sistemul.

  1. Fie H={XM3(Z5)|X=(ˆ0abˆ0ˆ1aˆ0ˆ0ˆ1)}.

(5p) a) Aflaţi numărul de elemente al mulţimii H .

(5p) b) Arătaţi că dacă A,BH atunci ABH .

(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea H ecuaţia X3=I3 .

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Fie funcţia f:(0;)R , f(x)=lnxx,x>0.

(5p) a) Calculaţi f(x) .

(5p) b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .

(5p) c) Arătaţi că 35<53 .

  1. Pentru fiecare nN se consideră integralele In=10x2nx2+1 dx

(5p) a) Calculaţi I1,I2 .

(5p) b) Să se demonstreze că In+1+In=12n+1,nN .

(5p) c) Să se determine limn In.