Varianta 61

Prof. Pascotescu Camelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.
  

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze $\sqrt{49}+\sqrt[3]{-1000}+(\sqrt 3)^2$ .

(5p) 2. Să se determine valorile reale ale lui $m$ , ştiind că soluţiile ${{x}_{1}}$ şi ${{x}_{2}}$ ale ecuaţiei ${{x}^{2}}+mx-m+1=0$ verifică relaţia $2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3$ .

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia ${{9}^{2x}}={{3}^{{{x}^{2}}}}$ .

(5p) 4. Rezolvaţi  in R ecuaţia $\sqrt{2x-1}=2-x$

(5p) 5. Aflati aria triunghiului determinat de punctele A(1,3) , B(-2, 4) , C(6,3) .

 (5p) 6. Ştiind că $x\in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)$ şi $\cos x=-\frac{1}{3}$ , să se calculeze $\sin x$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul $\left\{ \begin{align} & x+y+z=1 \\ & 3x+ay+2z=1 \\ & 9x+{{a}^{2}}y+4z=1 \\ \end{align} \right.$ , unde $a\in \mathbb{R}$ şi se notează cu $A$ matricea sistemului.

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei $A$ .

(5p) b) Determinaţi valorile reale ale numărului $a$ pentru care matricea $A$ este inversabilă.

(5p) c) Pentru $a=1$ , rezolvaţi sistemul.

2. Fie $H=\left\{ X\in {{M}_{3}}({{\mathbb{Z}}_{5}})|X=\left( \begin{align} & \begin{matrix} {\hat{0}} & a & b \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} {\hat{0}} & {\hat{1}} & a \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} {\hat{0}} & {\hat{0}} & {\hat{1}} \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right) \right\}$.

(5p) a) Aflaţi numărul de elemente al mulţimii $H$ .

(5p) b) Arătaţi că dacă $A,B\in H$ atunci $A\cdot B\in H$ .

(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea $H$ ecuaţia ${{X}^{3}}={{I}_{3}}$ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:(0;\infty )\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}},x>0$.

(5p) a) Calculaţi $f'(x)$ .

(5p) b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei $f$ .

(5p) c) Arătaţi că ${{3}^{\sqrt{5}}}<{{5}^{\sqrt{3}}}$ .

2. Pentru fiecare $n\in \mathbb{N}$ se consideră integralele ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2n}}}{{{x}^{2}}+1}}\ \text{d}x$

(5p) a) Calculaţi ${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ .

(5p) b) Să se demonstreze că ${{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{2n+1},\forall n\in \mathbb{N}$ .

(5p) c) Să se determine $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ {{I}_{n}}$.