Varianta 87

Prof. Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătați că numărul complex \(2-i\sqrt{3}\) este o soluție a ecuației \({{z}^{2}}-4z+7=0\).

(5p) 2. Calculați suma dintre valoarea maximă și valoarea minimă a funcției \(f:[3;9]\to \mathbb{R}\), \(f(x)=|x-3|+|x-5|\).

(5p) 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x^2+x+4}=8-x\).

(5p) 4. Notăm cu \(S\) mulțimea tuturor funcțiilor \(f:\{1;3;5;7\}\to \{8;9;10\}\). Calculați probabilitatea ca,  alegând o funcție din mulțimea \(S\), aceasta să fie surjectivă.

(5p) 5. Determinați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care distanța dintre punctele \(A\left( 2m+1,2 \right)\) și \(B(2,2m)\)să fie egală cu \(5\).

(5p) 6. Calculați raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) în care \(AB=AC=8\) și \(BC=10\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră mulțimea \(M=\left\{ A(m)=\left. \left( \begin{matrix} 1 & m & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {{3}^{m}} \\ \end{matrix} \right)\ \right|\ m\in \mathbb{R} \right\}\).

(5p) a) Să se verifice că \({{I}_{3}}\in M\).

(5p) b) Să se arate că \(A(m)\cdot A(n)=A(m+n)\), pentru orice \(m\), \(n\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Să se calculeze \(A(1)+A(2)+\cdots +A(2014)\).

2. Fie inelul comutativ \(\left( \mathbb{Z},\star ,\circ \right)\) în care legile de compoziție sunt definite astfel: \(x\star y=x+y-2\) și \(x\circ y=xy-2x-2y+6\), pentru orice \(x\), \(y\in \mathbb{Z}\).

(5p) a) Determinați elementul neutru al legii de compoziție  ,, \(\circ \)’’.

(5p) b) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația \({{x}^{2}}\star (x-1)=0\).

(5p) c) Să se determine \(a\), \(b\in \mathbb{Z}\) pentru care între inelele \(\left( \mathbb{Z},\star ,\circ  \right)\) și \(\left( \mathbb{Z},+,\,\cdot  \right)\) să existe un izomorfism de forma \(f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\), \(f(x)=ax+b\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}+1}+x+2\).

(5p) a) Calculați \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\) și \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\).

(5p) b) Arătați că funcția \(f\)este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).

(5p) c) Arătați că punctul \(A\left( 0;\frac{5}{2} \right)\) este centru de simetrie al graficului funcției \(f\).

2. Se consideră funcția \(f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x}{6}{{\text{e}}^{-\frac{x}{3}}}\).

(5p) a) Arătați că funcția \(F:[0,+\infty )\to \mathbb{R}\), \(F(x)=\int\limits_{0}^{x}{f(t)\,dt}\) este strict crescătoare pe \([0,+\infty )\).

(5p) b) Arătați că \(F(x)=\frac{1}{2}\left( 3-x{{\text{e}}^{-\frac{x}{3}}}-3{{\text{e}}^{-\frac{x}{3}}} \right)\), pentru orice \(x\in [0,+\infty )\).

(5p) c) Demonstrați că ecuația \(F(x)=k\) are soluție unică în intervalul \([0,+\infty )\), pentru orice \(k\in \left[ 0,\,\frac{3}{2} \right)\).