FaceBook  Twitter  

Varianta 59

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze (12i)(1+i)3(32i).

(5p) 2. Rezolvați în R ecuația x2x+1=x+2.

(5p) 3.Rezolvați în [0,2π) ecuația cos(xπ3)=12.

(5p) 4.Se consideră mulțimea A={1,2,3,...,11}.Determinați numărul de  submulțimi cu 4 elemente ale mulțimii A,submulțimi care conțin exact 3 numere impare.

(5p) 5.Calculați lungimea medianei din A în  ABC, unde A(1;3),B(1;5) și C(3;1).

(5p) 6.Fie x un număr real care verifică egalitatea  tgx+ctgx=3.Arătați că sin2x=23.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea A(x)=(1xx2012x001),unde xR.

(5p) a)Arătați că  A(x)A(y)=A(x+y),oricare ar fi x,yR.

(5p) b)Arătați că  (A(x)A(y))2012=O3, pentru orice x,yR.

(5p) c) Determinați inversa matricei A(x),unde xR.

2.Se consideră polinomul f=(x+2i)10+(x2i)10, având forma algebrică  f=a10X10+a9X9+...+a1X+a0,unde a0,a1,...,a10C.

(5p) a)Determinațirestul împărțirii polinomului f la X2i.

(5p) b) Arătați că toți coeficienții polinomului f sunt numere reale.

(5p) c) Demonstrați că tóate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția f:(2;+)R,f(x)=ln(x+2)ln(x2).

(5p) a) Arătați că funcția f este strict descrescătoare pe (2;+).

(5p) b) Determinați asimptotele graficului funcției f.

(5p) c) Calculați limxxf(x).

2.Se consideră funcția f:[1;3]R,f(x)=x24x+3.

(5p) a)Calculați  91f(x)dx.

(5p) b)Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției  g:[1;3]R,g(x)=f(x)x și axa Ox.

(5p) c)Arătați că  (2n+1)31fn(x)dx+2n31fn1(x)dx=0.