Varianta 59
Prof: Păcurar Cornel-Cosmin
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se calculeze (1−2i)(1+i)−3(3−2i).
(5p) 2. Rezolvați în R ecuația √x2−x+1=x+2.
(5p) 3.Rezolvați în [0,2π) ecuația cos(x−π3)=12.
(5p) 4.Se consideră mulțimea A={1,2,3,...,11}.Determinați numărul de submulțimi cu 4 elemente ale mulțimii A,submulțimi care conțin exact 3 numere impare.
(5p) 5.Calculați lungimea medianei din A în △ABC, unde A(−1;3),B(1;5) și C(3;−1).
(5p) 6.Fie x un număr real care verifică egalitatea tgx+ctgx=3.Arătați că sin2x=23.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se consideră matricea A(x)=(1xx201−2x001),unde x∈R.
(5p) a)Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y),oricare ar fi x,y∈R.
(5p) b)Arătați că (A(x)−A(y))2012=O3, pentru orice x,y∈R.
(5p) c) Determinați inversa matricei A(x),unde x∈R.
2.Se consideră polinomul f=(x+2i)10+(x−2i)10, având forma algebrică f=a10X10+a9X9+...+a1X+a0,unde a0,a1,...,a10∈C.
(5p) a)Determinațirestul împărțirii polinomului f la X−2i.
(5p) b) Arătați că toți coeficienții polinomului f sunt numere reale.
(5p) c) Demonstrați că tóate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:(2;+∞)→R,f(x)=ln(x+2)−ln(x−2).
(5p) a) Arătați că funcția f este strict descrescătoare pe (2;+∞).
(5p) b) Determinați asimptotele graficului funcției f.
(5p) c) Calculați limx→∞xf(x).
2.Se consideră funcția f:[1;3]→R,f(x)=x2−4x+3.
(5p) a)Calculați 9∫1f(√x)dx.
(5p) b)Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției g:[1;3]→R,g(x)=f(x)x și axa Ox.
(5p) c)Arătați că (2n+1)3∫1fn(x)dx+2n3∫1fn−1(x)dx=0.