Varianta 59

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze $\left( 1-2i \right)\left( 1+i \right)-3\left( 3-2i \right)$.

(5p) 2. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=x+2$.

(5p) 3.Rezolvați în $\left[ 0,2\pi  \right)$ ecuația $\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$.

(5p) 4.Se consideră mulțimea $A=\left\{ 1,2,3,...,11 \right\}$.Determinați numărul de  submulțimi cu 4 elemente ale mulțimii A,submulțimi care conțin exact 3 numere impare.

(5p) 5.Calculați lungimea medianei din A în  $\vartriangle ABC$, unde $A\left( -1;3 \right),B\left( 1;5 \right)$ și $C\left( 3;-1 \right)$.

(5p) 6.Fie x un număr real care verifică egalitatea  $tgx+ctgx=3.$Arătați că $\sin 2x=\frac{2}{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea $A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 1 & x & {{x}^{2}} \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),$unde $x\in \mathbb{R}$.

(5p) a)Arătați că  $A\left( x \right)\cdot A\left( y \right)=A\left( x+y \right),$oricare ar fi $x,y\in \mathbb{R}$.

(5p) b)Arătați că  ${{\left( A\left( x \right)-A\left( y \right) \right)}^{2012}}={{O}_{3}},$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

(5p) c) Determinați inversa matricei $A\left( x \right),$unde $x\in \mathbb{R}$.

2.Se consideră polinomul $f={{\left( x+2i \right)}^{10}}+{{\left( x-2i \right)}^{10}}$, având forma algebrică  $f={{a}_{10}}{{X}^{10}}+{{a}_{9}}{{X}^{9}}+...+{{a}_{1}}X+{{a}_{0}},$unde ${{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{10}}\in \mathbb{C}.$

(5p) a)Determinațirestul împărțirii polinomului $f$ la $X-2i$.

(5p) b) Arătați că toți coeficienții polinomului $f$ sunt numere reale.

(5p) c) Demonstrați că tóate rădăcinile polinomului $f$ sunt numere reale.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\left( 2;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\ln \left( x+2 \right)-\ln \left( x-2 \right)$.

(5p) a) Arătați că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $\left( 2;+\infty  \right)$.

(5p) b) Determinați asimptotele graficului funcției $f$.

(5p) c) Calculați $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf\left( x \right)$.

2.Se consideră funcția $f:\left[ 1;3 \right]\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3$.

(5p) a)Calculați  $\int\limits_{1}^{9}{f\left( \sqrt{x} \right)dx}$.

(5p) b)Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției  $g:\left[ 1;3 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}$ și axa $Ox$.

(5p) c)Arătați că  $\left( 2n+1 \right)\int\limits_{1}^{3}{{{f}^{n}}\left( x \right)dx+2n\int\limits_{1}^{3}{{{f}^{n-1}}\left( x \right)dx=0}}$.