Varianta 72
Prof: RICU ILEANA
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se determine x∈Nastfel încât numerele 2C0x−3;C2x−1;Cx−2xsă fie în progresie aritmetică.
(5p) 2. Fie ecuaţia x2+2(m−1)x+8(m2−1)=0,m∈R.Pentru ce valori ale lui m suma pătratelor rădăcinilor are valoarea maximă?
(5p) 3. Fie mulţimea M={x/xesteundivizorpozitivallui60}. Să se scrie evenimentul A, unde A= expresia x!√2x2+x−215−4x−x2dă un număr real dacă x∈M.
(5p) 4.Determinaţi partea reală a numărului complex (1+i√31−i)20.
(5p) 5. Să se determine termenul al patrulea al dezvoltării(2x2−5y)nştiind că suma coeficienţilor binomiali este 32.
(5p) 6. Determinaţi valoarea parametrului a∈Rpentru care punctele A(2a;a),B(4;0)şi C(0;2)sunt coliniare.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie M={(∧a∧b−∧b∧a)|∧a,∧b∈Z3}
(5p) a)Să se arate că ,dacă ∧a,∧b∈Z3,atunci ∧a2+∧b2=∧0⇔∧a=∧b=∧0.
(5p) b) Să se determine A∈Mastfel încât A2+I2=O2.
(5p) c)Stabiliţi câte elemente ale lui M sunt matrice inversabile.
2.În mulţimea permutărilor cu 3 elemente S3 se consideră permutările σ=(123321) şiτ=(123132)
(5p) a) Să se verifice dacă στ=τσ
(5p) b) Să se studieze paritatea celor două permutări.
(5p) c) Să se rezolve ecuaţia σx=τ.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.Se consideră funcţia f:D→R,f(x)=ln(1+2x) ,unde Deste domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.
(5p) a)Stabiliţi domeniul maxim de definiţie al funcţiei f şi determinaţi ecuaţiile asimptotelor lui f.
(5p) b) Să se arate că funcţia f este strict descrescătoare pe domeniul său.
(5p) c) Să se calculeze limita şirului cu termenul general xn=f(1)+f(2)+f(3)+......+f(n)n.
- Fie şirul (In)n∈N, In=π2∫0(cosx)ndx, n∈N.
(5p) a) Să se calculeze I0şi I1.
(5p) b) Să se arate că In=n−1nIn−2, (∀) n∈N, n≥2.
(5p) c) Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat de funcţia f:[0;π2]→[0;1],f(x)=cosx,în jurul axei Ox.