Prof: Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1*. Să se arate că $z=\frac{2+3i}{2-3i}+\frac{2-3i}{2+3i}$ este număr raţional.

(5p) 2. Să se determine $x$ astfel încât să existe intervalul $I=\left[ \frac{{{x}^{2}}+1}{2},\frac{3x+4}{4} \right]$.

(5p) 3. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 3ax+2b,\text{ }x<0 \\ \left( a-b \right)x+b,\text{ }x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$.Să se determine $a,b\in \mathbb{R}$ ştiind că $A\left( -1,1 \right)$ şi $B\left( \frac{1}{3},\frac{1}{2} \right)$sunt pe graficul funcţiei.

(5p) 4. După o reducere a preţului cu $18%$ un produs costă 820 lei. Să se calculeze preţul iniţial al produsului.

(5p) 5. Se consideră vectorii $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ şi $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Să se scrie sub o formă mai simplă expresia $\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$.

(5p) 6. În triunghiul $ABC$, $m\left( \widehat{A} \right)={{90}^{0}}$, $m\left( \widehat{C} \right)={{30}^{0}}$şi $AB=20\sqrt{3}$. Să se calculeze lungimea înălţimii $AD,\text{ }D\in BC$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele ${{A}_{n}}\left( n,{{n}^{2}}+1 \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) a) Determinaţi ecuaţia dreptei ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$.

(5p) b) Să se determine $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ astfel încât punctele ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{n}}$să fie coliniare.

(5p) c) Să se calculeze aria triunghiului ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}$.

2. Pe mulţimea numerelor reale $\mathbb{R}$ seconsideră legea de compoziţie $x\bot y=\frac{1}{2}\left( xy-x-y+3 \right)$

(5p) a) Să se demonstreze că $x\bot y=\frac{1}{2}\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)+1,\text{   }\forall x,y\in \mathbb{R}$.

(5p) b) Să se rezolve în $\mathbb{R}$ecuaţia ${{5}^{x}}\bot {{3}^{x-3}}=1$.

(5p) c) Să se calculeze $x\bot x\bot x\bot x\bot x,\text{  }\forall x\in \mathbb{R}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\left\{ -3 \right\}\ to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+3}$.

(5p) a) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice spre $+\infty$ a graficului funcţiei $f$.

(5p) b) Să se determine punctele de extrem pentru funcţia $f$.

(5p) c)* Să se calculeze $\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,{{\left( \frac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{x}}$.

2. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{6}{9+{{x}^{2}}}$.

(5p) a) Să se arate că $f\left( x \right)\le \frac{1}{x},\text{ }\forall x\in \left( 0,+\infty  \right)$.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{f\left( x \right)dx}$.

(5p) c) Să se arate că $arctg\frac{e}{3}\le \frac{1}{2}+arctg\frac{1}{3}$.