Varianta 8

Prof: Andrei Lenuţa

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze $C_{5}^{3}-10$ .

(5p) 2. Să se determine soluţia reală a ecuaţiei ${{\log }_{6}}\left( 5x+6 \right)=2$ .

(5p) 3. Determinaţi numerele reale $m$ pentru care ecuaţia ${{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ are rădăcini reale egale.

(5p) 4. După o reducere cu 5% un produs costă 190 lei. Să se determine preţul produsului înainte de reducere.

(5p) 5.În sistemul de coordonate$xOy$se consideră punctele$A\left( 5,4 \right)$şi$B\left( 0,2 \right)$.Scrieţi ecuaţia dreptei AB.

(5p) 6. Calculaţi aria triunghiului DEF, ştiind că DE=12, DF=6 şi $m\left( \measuredangle EDF \right)={{60}^{0}}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \\ \end{matrix} \right)$ , ${{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$şi mulţimea $G=\left\{ X\left( a \right)\left| X\left( a \right)=aA+{{I}_{2}},a\in \mathbb{R} \right. \right\}$

(5p) a) Să se arate că ${{A}^{2}}=4A$.

(5p) b) Să se demonstreze că $X\left( a \right)\cdot X\left( b \right)=X\left( a+b+4ab \right)$, oricare ar fi $a,b\in \mathbb{R}$.

(5p) c) Arătaţi că  este matrice $X\left( a \right)$ inversabilă oricare ar fi $a\in \mathbb{Z}$.

2.Polinomul $f={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-10x+m$, cu $m\in \mathbb{R}$ are rădăcinile ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$.

(5p) a) Arătaţi că  $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ este constantă oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

(5p) b) Determinaţi  $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-9$.

(5p) c) Arătaţi că determinantul $d=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}} \\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ \end{matrix} \right|$ este număr natural, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+2}$.

(5p) a) Să se calculeze ${{f}^{'}}\left( x \right),x\in \mathbb{R}$

(5p) b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre $+\infty$ la graficul funcţiei

(5p) c) Să se arate că f este convexă oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$.

2. Pentru orice $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ se consideră funcţiile ${{f}_{n}}:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},{{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{n}}+9}$.

(5p) a) Să se calculeze $\int{{{\left( x+9 \right)}^{2}}{{f}_{1}}\left( x \right)dx}$, unde $x\in \left[ 0,1 \right]$.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{1}{x{{f}_{2}}\left( x \right)dx}$.

(5p) c) Să se demonstreze că aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei $f$, axa $Ox$şi dreptele $x=0,x=1$este un număr din intervalul  $\left[ \frac{1}{10},\frac{1}{9} \right]$.