Varianta 125
Prof: Oláh Csaba.
- Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru: 2 ore.
SUBIECTUL I – Pe foaia de examen se trec doar rezultatele. ( 30 de puncte)
(5p) 1. Dacă a,b∈N∗, a<b≤3 şi a2=3b, atunci a=...., b=......
(5p) 2. Restul la împărţirea numărului n=1⋅2⋅3⋅...⋅100+62 la 3 este ......
(5p) 3. Rezultatul calculului 2012⋅101−100⋅2012−2011 este .....
(5p) 4. Linia mijlocie a unui trapez este de 5cm, iar baza mare e dublu faţă de baza mică. Lungimea bazei mari este....
(5p) 5. Suma a trei numere naturale consecutive este 24. Al doilea număr este .....
(5p) 6. a=2+22+23+...+26, b=3+32+33+34 - mai mare dintre aşi b este .....
SUBIECTUL II – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. ( 30 de puncte)
(5p) 1. Avem cutii cu dimensiunile de 18cm, 12cm şi 16cm. Ce lungime are cel mai mic cub, care se poate construi cu ajutorul acestor cutii?
(5p) 2. Fie numerele a=1+12+14+18+...+11024 şi b=24+68+...+20462048. Să se calculeze valoare fracţiei a+b2.
(5p) 3. În triunghiul ABC măsurile unghiurilor interioare sunt direct proporţionale cu 3,4 respectiv 5. Să se afle măsurile unghiurilor triunghiului.
4. Fie mulţimile A={x|2x≤32,x∈N} şi B={y|3y+1<14,y∈N}.
(5p) a) A,B=?
(5p) b) AΔB=(A∖B)∪(B∖A)=? (diferenţa simetrică)
(5p) 5. Desenaţi un trapez dreptunghic ABCD, AB||CD, m(∠A)=m(∠D)=90∘.
SUBIECTUL III – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.( 30 de puncte)
1. Fie cubul [ABCDA′B′C′D′](Fig 1.) , AB=12cm.
(5p) a) Din vârful A al cubului porneşte o furnică şi vrea să ajungă în punctul C′, parcurgând cel mai scurt drum posibil, pe suprafaţa cubului. Care va fi lungimea drumului?
(5p) b) Să se afle distanţa d(C′,AB);
(5p) c) Fie M∈(B′C′), N∈(BB′) şi P∈(AB) astfel încât MC′=9cm, NB′=4cm şi AP=6cm. Furnica se întoarce din vârful C′în vârful A pe drumul [C′MNPA] (marcat cu roşu pe desen). Aproximativ, cu cât este mai lung acest drum faţă de drumul din puctul a) ?
2. Fie expresia E(x)=x4+x2+1x2+x+1−x2+x+1x4+x2+1⋅(x4−x2x(x+1)+1), x∈N∗.
(5p) a) Să se aducă E(x) la forma cea mai simplă;
(5p) b) Să se calculeze E(6);
(5p) c) Să se demonstreze că E(x)∈N pentru fiecare x∈N∗.