Detalii: Categorie: Știri din educație; Accesări: 273

Lecție · Matematică · Clasa a X-a

Aplicații ale Trigonometriei în Geometrie

Teorema cosinusului, teorema sinusurilor, aria triunghiului și razele cercurilor — cu exemple rezolvate pas cu pas

Teorema cosinusului Teorema sinusurilor Aria triunghiului Cerc circumscris Cerc înscris

📐

Teorema Cosinusului

Într-un triunghi \(ABC\) cu laturile \(a, b, c\) opuse unghiurilor \(A, B, C\):

Formulele Teoremei Cosinusului

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\] \[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\] \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Din aceste formule putem exprima și cosinusul unui unghi cunoscând toate laturile:

Cosinusul unui unghi în funcție de laturi

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \qquad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

⚡ Când aplic Teorema Cosinusului?

Ipoteză (ce știu)

Toate cele 3 laturi \(a, b, c\)
2 laturi + unghiul dintre ele

Concluzie (ce aflu)

Orice unghi al triunghiului
Latura a treia

📏

Teorema Sinusurilor

Raportul dintre fiecare latură și sinusul unghiului opus este constant și egal cu diametrul cercului circumscris \(2R\):

Formula — Teorema Sinusurilor

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

⚡ Când aplic Teorema Sinusurilor?

Ipoteză (ce știu)

O latură + 2 unghiuri
2 laturi + un unghi opus uneia

Concluzie (ce aflu)

Orice latură sau unghi
Raza cercului circumscris \(R\)

🔵

Aria Triunghiului, \(R\) și \(r\)

Aria triunghiului — formula trigonometrică

\[\mathcal{A} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\]

Formula lui Heron (dacă se cunosc toate laturile)

\[\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad \text{unde } p = \frac{a+b+c}{2}\]

Raza cercului circumscris

\[R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{abc}{4\mathcal{A}}\]

Raza cercului înscris

\[r = \frac{\mathcal{A}}{p}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}\]

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Teorema cosinusului — calculul unui unghi

📌 Într-un triunghi \(ABC\) se cunosc: \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm, \(c = 8\) cm. Calculați unghiul \(A\).

Scriem formula pentru \(\cos A\): \[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

Înlocuim valorile \(a=5,\ b=7,\ c=8\): \[\cos A = \frac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \approx 0{,}7857\]

Calculăm unghiul: \[A = \arccos\!\left(\frac{11}{14}\right) \approx 38{,}2°\]

✅

Răspuns: \(A \approx 38{,}2°\)

Exemplul 2

Teorema cosinusului — calculul unei laturi

📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(b = 6\) cm, \(c = 10\) cm, \(\hat{A} = 60°\). Calculați latura \(a\).

Aplicăm direct teorema cosinusului: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

Înlocuim: \(b=6,\ c=10,\ \cos 60° = \dfrac{1}{2}\) \[a^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 136 - 60 = 76\]

Extragem rădăcina: \[a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72 \text{ cm}\]

✅

Răspuns: \(a = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72\) cm

Exemplul 3

Teorema sinusurilor — calculul unei laturi

📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(a = 10\) cm, \(\hat{A} = 45°\), \(\hat{B} = 60°\). Calculați latura \(b\).

Scriem teorema sinusurilor: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}\]

Înlocuim: \(\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \[b = \frac{10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6} \approx 12{,}25 \text{ cm}\]

✅

Răspuns: \(b = 5\sqrt{6} \approx 12{,}25\) cm

Exemplul 4

Aria triunghiului + raza cercului înscris

📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm, \(\hat{C} = 30°\). Calculați aria \(\mathcal{A}\) și raza cercului înscris \(r\).

Calculăm aria: \[\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \text{ cm}^2\]

Calculăm latura \(c\) cu teorema cosinusului: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 - 48\sqrt{3} \approx 16{,}86 \implies c \approx 4{,}11 \text{ cm}\]

Calculăm semiperimetrul: \[p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+4{,}11}{2} \approx 9{,}05 \text{ cm}\]

Calculăm raza cercului înscris: \[r = \frac{\mathcal{A}}{p} = \frac{12}{9{,}05} \approx 1{,}33 \text{ cm}\]

✅

Răspuns: \(\mathcal{A} = 12\) cm² și \(r \approx 1{,}33\) cm

Exemplul 5

Raza cercului circumscris

📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(a = 7\) cm, \(\hat{A} = 40°\). Calculați raza \(R\) a cercului circumscris.

Aplicăm formula din teorema sinusurilor: \[R = \frac{a}{2\sin A}\]

Înlocuim: \(a = 7,\quad \sin 40° \approx 0{,}6428\) \[R = \frac{7}{2 \cdot 0{,}6428} = \frac{7}{1{,}2856} \approx 5{,}45 \text{ cm}\]

✅

Răspuns: \(R \approx 5{,}45\) cm

Detalii: Categorie: Știri din educație; Accesări: 332

Recenzie · Educație · Matematică Online

Cel mai apreciat profesor de matematică din România este la un click distanță

Academia de Mate și prof. Andrei Dobre — rezultate reale, confirmate de sute de elevi și părinți pe Google

Când un profesor de matematică are 249 de recenzii de 5 stele pe Google, nu mai e vorba de noroc sau marketing. E vorba de rezultate repetate, an după an. Asta e povestea profesorului Andrei Octavian Dobre și a Academiei de Mate.

Google

Recenzii verificate

★★★★★

249 recenzii verificate Google

5.0

din 5 pe Google

17+

ani de experiență în predarea matematicii

în topul centrelor de meditații din România

10/10

scor perfect — cea mai bună firmă educațională

Profesorul Dobre Andrei activează din 2014 la Academia de Mate (academiademate.ro). Cu peste 17 ani de experiență la colegiile naționale de top din Ploiești, a construit o metodă de predare adaptată fiecărui elev — și rezultatele vorbesc singure.

„Profesionalismul, dedicarea și abordarea pedagogică fac din el un profesor excepțional. Am primit materiale esențiale care m-au ajutat să mă pregătesc eficient pentru examene." — Cursant, pregătire pentru Evaluare Națională și Bacalaureat

Rezultate concrete, nu promisiuni

Ce diferențiază Academia de Mate de alte centre de meditații nu este doar calitatea predării — ci consecvența rezultatelor. An după an, elevi cu niveluri diferite de plecare ajung la aceleași concluzii: matematica se poate înțelege, și examenul se poate lua cu notă mare.

Rezultate documentate de cursanți

Nota 10 la Evaluarea Națională — confirmat de mai mulți cursanți în recenzii Google
Admitere la licee și profile reale de top, inclusiv elevi care inițial doreau profil umanist
Admitere pe bază de examen la 4 profile de real în 3 universități de prestigiu din România
Elevi care au trecut de la „nu îmi place matematica" la note aproape de maxim la Bacalaureat
Colaborări de 4+ ani cu aceeași familie — cel mai bun semn de încredere

Ce spun părinții și elevii pe Google

Google ★★★★★

★★★★★

„Fiul meu a obținut nota 10 la Evaluarea Națională. Răbdarea cu care a explicat fiecare lecție și explicațiile clare au transformat cursurile într-o plăcere, nu un efort."

Maria Musescu, mamă a unui cursant

Google ★★★★★

★★★★★

„Am colaborat peste 4 ani. Fiul meu a fost admis pe baza de examen la 4 profile de real în 3 universități de prestigiu. Rezultatele se datorează în întregime domnului profesor."

Părinte, colaborare de lungă durată

Google ★★★★★

★★★★★

„Roberta a trecut din clasa a VII-a de la «nu îmi place matematica, vreau profil umanist» la absolvirea unui profil real cu notă aproape de maxim. Rezultat de neimaginat fără dl. Dobre."

Recenzie Google verificată

Google ★★★★★

★★★★★

„Recomand cu toată încrederea! Am reușit să prind drag de matematică și să o înțeleg cu adevărat. Cel mai bun profesor de matematică pe care l-am întâlnit."

Fostă cursantă, admisă la liceul dorit

🏆 Recunoscut la nivel național

Academia de Mate a câștigat doi ani consecutivi (2019–2020) titlul de cea mai bună firmă din domeniul educației, cu scor perfect de 10 din 10. Premiul de Excelență în pregătirea elevilor pentru examene naționale. Prezent în Adevărul, HotNews, Evenimentul Zilei și alte publicații de top.

Online, de oriunde din România

Academia de Mate oferă pregătire 100% online — live, interactiv, cu același profesor care a generat toate rezultatele de mai sus. Indiferent că ești din Ploiești, București, Cluj sau orice alt oraș, accesul la unul dintre cei mai apreciați profesori de matematică din România este la un click distanță.

Cursurile acoperă toate nivelurile — de la consolidarea cunoștințelor de gimnaziu până la pregătirea intensivă pentru Evaluarea Națională și Bacalaureat. Sesiunile individuale și de grup sunt adaptate în funcție de nevoile și ritmul fiecărui elev.

Verifică singur de ce are 5 stele pe Google

Locurile se ocupă rapid. Nu lăsa examenul să te prindă nepregătit.

Intră pe academiademate.ro →

Apariții media: