Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniare – teorie, formule și exemple rezolvate

Permutarea identică: \(e=\begin{pmatrix}1 & 2 & \dots & n\\ 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix}\);Compunerea: \((\sigma\circ\tau)(k)=\sigma(\tau(k))\)

Inversa: \(\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma(n)\\ 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix}\) (apoi se ordonează prima linie)

Inversiune: perechea \((i,j)\) cu \(i\lt j\) este inversiune dacă \(\sigma(i)\gt\sigma(j)\). Notăm cu \(m(\sigma)\) numărul inversiunilor.

Signatura: \(\varepsilon(\sigma)=(-1)^{m(\sigma)}\);\(\varepsilon(\sigma\circ\tau)=\varepsilon(\sigma)\cdot\varepsilon(\tau)\)

\(\sigma\) este pară dacă \(\varepsilon(\sigma)=1\) și impară dacă \(\varepsilon(\sigma)=-1\).

Proprietăți:

\(A\cdot I_n=I_n\cdot A=A\);\((A^t)^t=A\);\((A+B)^t=A^t+B^t\);\((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\)

Înmulțirea matricelor nu este comutativă: în general \(A\cdot B\ne B\cdot A\).

Relația Hamilton–Cayley (pentru \(A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)): \[A^2-\operatorname{Tr}(A)\cdot A+\det(A)\cdot I_2=O_2\]

\[\det\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc\]

Regula lui Sarrus (ordin 3):

\[\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-c_1b_2a_3-c_2b_3a_1-c_3b_1a_2\]

Proprietățile determinanților:

• Un determinant cu o linie (coloană) nulă este \(0\).
• Un determinant cu două linii (coloane) identice sau proporționale este \(0\).
• Dacă se schimbă între ele două linii (coloane), determinantul își schimbă semnul.
• Dacă se înmulțește o linie (coloană) cu \(\alpha\), determinantul se înmulțește cu \(\alpha\): \(\det(\alpha A)=\alpha^n\det A\), \(A\in\mathcal{M}_n\).
• Dacă la o linie (coloană) se adună altă linie (coloană) înmulțită cu un număr, determinantul nu se modifică.
• \(\det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B\);\(\det(A^t)=\det A\);\(\det(A^n)=(\det A)^n\).

Caz particular (ordin 2) – de reținut:

\[A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\]

Ecuații matriceale: \(A\cdot X=B\ \Rightarrow\ X=A^{-1}B\);\(X\cdot A=B\ \Rightarrow\ X=BA^{-1}\).

Proprietăți: \((A^{-1})^{-1}=A\),\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\),\(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}\).

Sisteme de tip Cramer (\(m=n\), \(\det A\ne0\)) – sistem compatibil determinat:

\[x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A},\qquad i=\overline{1,n},\]

unde \(A_i\) se obține din \(A\) înlocuind coloana \(i\) cu coloana termenilor liberi.

Teorema Kronecker–Capelli: sistemul este compatibil \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(\overline{A})\).
Teorema lui Rouché: sistemul este compatibil \(\Leftrightarrow\) toți minorii caracteristici sunt nuli.

• \(\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(\overline{A})=n\) (numărul de necunoscute) \(\Rightarrow\) sistem compatibil determinat;
• \(\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(\overline{A})\lt n\) \(\Rightarrow\) sistem compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții);
• \(\operatorname{rang}(A)\ne\operatorname{rang}(\overline{A})\) \(\Rightarrow\) sistem incompatibil.

Numărul de necunoscute secundare este \(n-\operatorname{rang}(A)\): una \(\Rightarrow\) simplu nedeterminat, două \(\Rightarrow\) dublu nedeterminat.