Calcul prescurtat. Modul. Partea întreagă – teorie, formule și exemple rezolvate
Bacalaureat – Subiectul I · Algebră. Formulele de calcul prescurtat, modulul unui număr real, partea întreagă și partea fracționară, intervalele de numere reale și operațiile cu mulțimi.
5.1Formule de calcul prescurtat
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)\(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\)
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})\)
Exemplul 5.1
Rezolvare
Exemplul 5.2
Rezolvare
Exemplul 5.3
Rezolvare
5.2Modulul unui număr real
Definiție
\(|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{cases}\)\(|x|=\sqrt{x^2}\) (distanța de la \(x\) la \(0\))
Proprietăți:
| 1. \(|x|\ge 0,\ \ |x|=0\ \Leftrightarrow\ x=0\) | 2. \(|-x|=|x|\) | 3. \(|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\) |
| 4. \(\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|},\ y\ne 0\) | 5. \(|x+y|\le|x|+|y|\) | 6. \(\big||x|-|y|\big|\le|x-y|\) |
| 7. \(|x|=a\ \Leftrightarrow\ x=\pm a\ (a\ge 0)\) | 8. \(|x|\le a\ \Leftrightarrow\ x\in[-a,a]\) | 9. \(|x|\ge a\ \Leftrightarrow\ x\in(-\infty,-a]\cup[a,\infty)\) |
Interpretare: \(|x-a|\) este distanța dintre \(x\) și \(a\) pe axa numerelor.
Exemplul 5.4
Rezolvare
Exemplul 5.5
Rezolvare
Exemplul 5.6
Rezolvare
5.3Partea întreagă și partea fracționară
Definiție
Partea întreagă a numărului real \(x\), notată \([x]\), este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu \(x\):
\[[x]=k\iff k\le x\lt k+1,\ k\in\mathbb{Z}.\]
Partea fracționară este \(\{x\}=x-[x]\).
| 1. \([x]\le x\lt [x]+1\) | 2. \(x-1\lt [x]\le x\) | 3. \(\{x\}\in[0,1)\) |
| 4. \(x=[x]+\{x\}\) | 5. \([x+k]=[x]+k,\ \forall k\in\mathbb{Z}\) | 6. \(\{x+k\}=\{x\},\ \forall k\in\mathbb{Z}\) |
| 7. \([x]=x\ \Leftrightarrow\ x\in\mathbb{Z}\) | 8. \(\{x\}=0\ \Leftrightarrow\ x\in\mathbb{Z}\) | 9. \([x]\in\mathbb{Z}\) |
Exemplul 5.7
Rezolvare
Atenție!
Pentru numerele negative, partea întreagă nu este „numărul fără zecimale”: \([-2{,}3]=-3\), nu \(-2\). Verifică întotdeauna inegalitatea \([x]\le x\lt [x]+1\).
Exemplul 5.8
Rezolvare
5.4Intervale de numere reale
| Interval | Mulțime | Tip |
|---|---|---|
| \([a,b]\) | \(\{x\mid a\le x\le b\}\) | închis, mărginit |
| \((a,b)\) | \(\{x\mid a\lt x\lt b\}\) | deschis, mărginit |
| \([a,b)\) | \(\{x\mid a\le x\lt b\}\) | semideschis |
| \((-\infty,a]\) | \(\{x\mid x\le a\}\) | nemărginit |
Operații cu mulțimi: \(A\cup B\) (reuniune), \(A\cap B\) (intersecție), \(A\setminus B\) (diferență), \(C_E A\) (complementară).
\[\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\]
Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).