Funcții. Funcția de gradul I și de gradul al II-lea – teorie, formule și exemple rezolvate
Bacalaureat – Subiectul I · Funcții. Noțiunea de funcție, compunerea, proprietățile funcțiilor (monotonie, paritate, injectivitate, surjectivitate, inversă) și studiul complet al funcțiilor de gradul I și de gradul al II-lea, cu relațiile lui Viète.
6.1Noțiunea de funcție
Definiție și notații
O funcție \(f:A\to B\) asociază fiecărui element \(x\in A\) un unic element \(f(x)\in B\).
| \(A\) | domeniul de definiție |
| \(B\) | codomeniul |
| \(f(x)\) | legea de corespondență |
| \(G_f=\{(x,f(x))\mid x\in A\}\) | graficul funcției |
Un punct \(M(x_0,y_0)\) aparține graficului \(\Leftrightarrow\ y_0=f(x_0)\).
Intersecția graficului cu axele:
\(G_f\cap Ox:\ \ y=0\ \Rightarrow\ f(x)=0\ \Rightarrow\ A(x_0,0)\)\(G_f\cap Oy:\ \ x=0\ \Rightarrow\ B(0,f(0))\)
Intersecția a două grafice: se rezolvă ecuația \(f(x)=g(x)\).
Compunerea funcțiilor
Pentru \(f:A\to B\) și \(g:B\to C\):
\[(g\circ f)(x)=g(f(x)),\qquad \forall x\in A.\]
Compunerea nu este comutativă: în general \(g\circ f\ne f\circ g\).
Exemplul 6.1
Rezolvare
6.2Proprietăți ale funcțiilor
Monotonia. Fie \(f:A\to B\) și \(x_1,x_2\in A\):
| \(f\) crescătoare: | \(x_1\lt x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\le f(x_2)\) |
| \(f\) strict crescătoare: | \(x_1\lt x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\lt f(x_2)\) |
| \(f\) descrescătoare: | \(x_1\lt x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\ge f(x_2)\) |
| \(f\) strict descrescătoare: | \(x_1\lt x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\gt f(x_2)\) |
Paritatea (pentru \(A\) simetric față de \(0\)):
\(f\) pară \(\Leftrightarrow\ f(-x)=f(x)\) (grafic simetric față de \(Oy\))
\(f\) impară \(\Leftrightarrow\ f(-x)=-f(x)\) (grafic simetric față de originea \(O\))
Periodicitatea: \(f\) este periodică de perioadă \(T\gt 0\) dacă \(f(x+T)=f(x),\ \forall x\in A\).
Imaginea funcției: \(\operatorname{Im}f=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\).
Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate
| \(f\) injectivă | \(f(x_1)=f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1=x_2\) (echivalent: \(x_1\ne x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\ne f(x_2)\)); orice paralelă la \(Ox\) taie graficul în cel mult un punct. |
| \(f\) surjectivă | \(\forall y\in B,\ \exists x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\); echivalent \(\operatorname{Im}f=B\). |
| \(f\) bijectivă | injectivă și surjectivă; \(\forall y\in B\) există un unic \(x\in A\) cu \(f(x)=y\). |
Observație: orice funcție strict monotonă este injectivă.
Inversa unei funcții
\(f:A\to B\) este inversabilă \(\Leftrightarrow\ f\) este bijectivă. Inversa \(f^{-1}:B\to A\) se obține rezolvând ecuația \(y=f(x)\) în raport cu \(x\) și schimbând notațiile.
\[f^{-1}(f(x))=x,\ \forall x\in A;\qquad f(f^{-1}(y))=y,\ \forall y\in B.\]
Graficele lui \(f\) și \(f^{-1}\) sunt simetrice față de prima bisectoare \(y=x\).
Exemplul 6.2
Rezolvare
6.3Funcția de gradul I
Definiție
\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+b\), cu \(a,b\in\mathbb{R}\), \(a\ne 0\). Graficul este o dreaptă, iar \(a\) este panta dreptei.
Monotonia: \(a\gt 0\ \Rightarrow\ f\) strict crescătoare;\(a\lt 0\ \Rightarrow\ f\) strict descrescătoare.
Semnul funcției: se rezolvă \(f(x)=0\ \Rightarrow\ x_0=-\dfrac{b}{a}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_0=-b/a\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | semn contrar lui \(a\) | \(0\) | semnul lui \(a\) |
Exemplul 6.3
Rezolvare
6.4Funcția de gradul al II-lea
Definiție
\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+bx+c\), cu \(a\ne 0\). Graficul este o parabolă.
Ecuația \(ax^2+bx+c=0\): \(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta\gt 0:\ \ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) (două rădăcini reale distincte);
\(\Delta=0:\ \ x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\) (rădăcină dublă);\(\Delta\lt 0:\) nu există rădăcini reale.
Vârful parabolei:
\(V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\)axa de simetrie: \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Semnul funcției de gradul al II-lea:
- \(\Delta\gt 0\): semnul lui \(a\) în exteriorul rădăcinilor, semn contrar lui \(a\) între rădăcini;
- \(\Delta=0\): semnul lui \(a\) pe \(\mathbb{R}\setminus\{x_1\}\), zero în \(x_1\);
- \(\Delta\lt 0\): semnul lui \(a\) pe tot \(\mathbb{R}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | semn \(a\) | \(0\) | semn contrar \(a\) | \(0\) | semn \(a\) |
Monotonia și imaginea. Fie \(x_V=-\dfrac{b}{2a}\) și \(y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
| \(a\gt 0:\) | \(f\) descrescătoare pe \((-\infty,x_V]\), crescătoare pe \([x_V,+\infty)\) | \(\operatorname{Im}f=\left[-\dfrac{\Delta}{4a},+\infty\right)\) |
| \(a\lt 0:\) | \(f\) crescătoare pe \((-\infty,x_V]\), descrescătoare pe \([x_V,+\infty)\) | \(\operatorname{Im}f=\left(-\infty,-\dfrac{\Delta}{4a}\right]\) |
Dacă \(a\gt 0\), \(V\) este punct de minim; dacă \(a\lt 0\), \(V\) este punct de maxim.
Relațiile lui Viète (pentru \(ax^2+bx+c=0\) cu rădăcinile \(x_1,x_2\)):
\(S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)\(P=x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\)
\(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\)\(x_1^3+x_2^3=S^3-3PS\)\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{S}{P}\)\((x_1-x_2)^2=S^2-4P\)
Formarea ecuației: dacă se cunosc \(S\) și \(P\), ecuația este \(x^2-Sx+P=0\).
De reținut
Relațiile lui Viète rămân valabile și când \(\Delta\lt 0\) (rădăcini complexe conjugate). Ele permit calcularea expresiilor simetrice în \(x_1,x_2\) fără a rezolva efectiv ecuația – economie de timp prețioasă la examen.
Exemplul 6.4
Rezolvare
Exemplul 6.5
Rezolvare
Exemplul 6.6
Rezolvare
Exemplul 6.7
Rezolvare
Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).