Ecuații iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice – teorie, formule și exemple rezolvate

Bacalaureat – Subiectul I · Ecuații. Metodele de rezolvare pentru ecuațiile iraționale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice fundamentale, plus sistemele simetrice, fiecare însoțită de exemple rezolvate.

7.1Ecuații iraționale

Algoritm de rezolvare

Condiții de existență: radicalii de ordin par cer expresia de sub radical \(\ge0\); dacă radicalul este egalat cu o expresie, se cere și ca aceasta să fie \(\ge0\).
Eliminarea radicalului prin ridicare la putere convenabilă.
Rezolvarea ecuației obținute.
Verificarea soluțiilor în condițiile de existență (sau direct în ecuație).

\[\sqrt{f(x)}=g(x)\iff\begin{cases}g(x)\ge0\\ f(x)=\big(g(x)\big)^2\end{cases}\]

\[\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\iff f(x)=\big(g(x)\big)^3\]

\[\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\iff\begin{cases}f(x)\ge0\\ f(x)=g(x)\end{cases}\]

Exemplul 7.1

Rezolvați ecuația \(\sqrt{2x+3}=x\).

Rezolvare

Condiții: \(x\ge0\) (și \(2x+3\ge0\)). Ridicăm la pătrat: \(2x+3=x^2\iff x^2-2x-3=0\Rightarrow x_1=3,\ x_2=-1\). Cum \(x\ge0\), rămâne \(x=3\). Verificare: \(\sqrt{9}=3\). ✓

Exemplul 7.2

Rezolvați ecuația \(\sqrt{x-1}=2\).

Rezolvare

\(x-1=4\Rightarrow x=5\), care verifică \(x-1\ge0\).

Atenție!

Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă: pot apărea soluții străine. Verificarea nu este opțională, ci parte din rezolvare.

↑ Cuprins

7.2Ecuații exponențiale

Fie \(a>0,\ a\ne1\).

1. \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)\) (baze egale)

2. \(a^{f(x)}=b\iff f(x)=\log_a b,\ \ b>0\) (logaritmare)

3. ecuații cu notație: \(a^x=t>0\) (se reduc la ecuații algebrice)

Exemplul 7.3

Rezolvați \(2^{x+1}=8\).

Rezolvare

\(2^{x+1}=2^3\iff x+1=3\iff x=2\).

Exemplul 7.4

Rezolvați \(4^x-5\cdot2^x+4=0\).

Rezolvare

Notăm \(2^x=t>0\): \(t^2-5t+4=0\Rightarrow t_1=1,\ t_2=4\). Revenim: \(2^x=1\Rightarrow x=0\); \(2^x=4\Rightarrow x=2\). Deci \(S=\{0,2\}\).

Exemplul 7.5

Rezolvați \(3^x=\dfrac{1}{9}\).

Rezolvare

\(3^x=3^{-2}\iff x=-2\).

↑ Cuprins

7.3Ecuații logaritmice

\[1.\ \ \log_a f(x)=\log_a g(x)\iff\begin{cases}f(x)>0\\ f(x)=g(x)\end{cases}\]

\[2.\ \ \log_a f(x)=b\iff\begin{cases}f(x)>0\\ f(x)=a^{b}\end{cases}\]

\[3.\ \ \text{ecuații cu notație: }\ \log_a x=t\in\mathbb{R}\]

Se pun întâi condițiile de existență, se rezolvă, apoi se compară soluțiile cu domeniul.

Exemplul 7.6

Rezolvați \(\log_2(x-1)=3\).

Rezolvare

Condiție: \(x>1\). Atunci \(x-1=2^3=8\Rightarrow x=9>1\). ✓

Exemplul 7.7

Rezolvați \(\log_3 x+\log_3(x-2)=1\).

Rezolvare

Condiții: \(x>0\) și \(x-2>0\Rightarrow x>2\). \(\log_3\big(x(x-2)\big)=1\Rightarrow x^2-2x=3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x_1=3,\ x_2=-1\). Doar \(x=3\) respectă \(x>2\), deci \(S=\{3\}\).

Exemplul 7.8

Rezolvați \(\lg^2x-3\lg x+2=0\).

Rezolvare

Condiție: \(x>0\). Notăm \(\lg x=t\): \(t^2-3t+2=0\Rightarrow t_1=1,\ t_2=2\), deci \(x=10\) sau \(x=100\).

↑ Cuprins

7.4Ecuații trigonometrice fundamentale

\(\sin x=a,\ a\in[-1,1]\iff x\in\{(-1)^k\arcsin a+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}\)

\(\cos x=a,\ a\in[-1,1]\iff x\in\{\pm\arccos a+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}\)

\(\operatorname{tg}x=a,\ a\in\mathbb{R}\iff x\in\{\operatorname{arctg}a+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}\)

\(\operatorname{ctg}x=a,\ a\in\mathbb{R}\iff x\in\{\operatorname{arcctg}a+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}\)

Dacă \(|a|>1\), ecuațiile \(\sin x=a\) și \(\cos x=a\) nu au soluții.

Cazuri particulare des întâlnite:

\(\sin x=0\iff x=k\pi\);\(\sin x=1\iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\);\(\sin x=-1\iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(\cos x=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\);\(\cos x=1\iff x=2k\pi\);\(\cos x=-1\iff x=\pi+2k\pi\)

Ecuații de forma:

\[\sin f(x)=\sin g(x)\iff f(x)=(-1)^k g(x)+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\]

\[\cos f(x)=\cos g(x)\iff f(x)=\pm g(x)+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\]

\[\operatorname{tg}f(x)=\operatorname{tg}g(x)\iff f(x)=g(x)+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\]

Exemplul 7.9

Rezolvați în \([0,2\pi]\) ecuația \(\sin x=\dfrac{1}{2}\).

Rezolvare

\(\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\), deci soluțiile din intervalul dat sunt \(x=\dfrac{\pi}{6}\) și \(x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\).

Exemplul 7.10

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(2\cos x-\sqrt{3}=0\).

Rezolvare

\(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).

Exemplul 7.11

Rezolvați \(2\sin^2x-3\sin x+1=0,\ x\in[0,2\pi]\).

Rezolvare

Notăm \(\sin x=t\in[-1,1]\): \(2t^2-3t+1=0\Rightarrow t_1=1,\ t_2=\frac{1}{2}\). \(\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\); \(\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}\).

Atenție!

Când ecuația conține \(\operatorname{tg}x\) sau \(\operatorname{ctg}x\), punem condițiile de existență: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) pentru tg, respectiv \(x\ne k\pi\) pentru ctg. Altfel se pot pierde sau adăuga soluții.

↑ Cuprins

7.5Sisteme de ecuații

Sistem simetric: dacă \(\begin{cases}x+y=S\\ xy=P\end{cases}\), atunci \(x\) și \(y\) sunt rădăcinile ecuației \(t^2-St+P=0\).

Exemplul 7.12

Rezolvați sistemul \(\begin{cases}x+y=7\\ xy=12\end{cases}\).

Rezolvare

\(t^2-7t+12=0\Rightarrow t_1=3,\ t_2=4\), deci \((x,y)\in\{(3,4),(4,3)\}\).

↑ Cuprins

Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).