Primitive. Integrala definită – teorie, formule și exemple rezolvate

Bacalaureat – Subiectul III · Analiză matematică, clasa a XII-a. Primitive și tabelul integralelor nedefinite, integrarea prin părți, integrala definită cu proprietățile ei și aplicațiile la arii și volume, cu exemple rezolvate.

15.1Primitive

Definiție

\(F:I\to\mathbb{R}\) este primitivă a funcției \(f:I\to\mathbb{R}\) dacă: (1) \(F\) este derivabilă pe \(I\); (2) \(F^{\prime}(x)=f(x),\ \forall x\in I\).

\[\int f(x)\,dx=F(x)+\mathcal{C},\qquad \mathcal{C}\in\mathbb{R}\ (\text{constanta de integrare})\]

Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă.

Strategie de rezolvare

Pentru a calcula o primitivă se folosește tabelul de integrale. Pentru a demonstra că \(F\) este primitivă a lui \(f\) se folosește definiția (se derivează \(F\)). Pentru a arăta că o funcție admite primitive pe un interval, este suficient să arătăm că este continuă pe acel interval.

Tabelul integralelor nedefinite

Formulă de bază	Formă compusă
\(\displaystyle\int 0\,dx=\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int a\,dx=ax+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C},\ n\ne-1\)	\(\displaystyle\int u^n u^{\prime}\,dx=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=\ln\|x\|+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\dfrac{u^{\prime}}{u}dx=\ln\|u\|+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int e^u u^{\prime}\,dx=e^u+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\operatorname{tg}x+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}dx=-\operatorname{ctg}x+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\operatorname{tg}x\,dx=-\ln\|\cos x\|+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\operatorname{ctg}x\,dx=\ln\|\sin x\|+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a}+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left\|\dfrac{x-a}{x+a}\right\|+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln\left\|x+\sqrt{x^2-a^2}\right\|+\mathcal{C}\)
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\dfrac{x}{a}+\mathcal{C}\)	\(\displaystyle\int\dfrac{u^{\prime}}{1+u^2}dx=\operatorname{arctg}u+\mathcal{C}\)

Proprietăți de liniaritate:

\[\int\big(f(x)+g(x)\big)dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\] \[\int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\]

Integrarea prin părți:

\[\boxed{\int f(x)\,g^{\prime}(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f^{\prime}(x)\,g(x)\,dx}\]

Exemplul 15.1

Calculați \(\displaystyle\int(3x^2+2x-5)\,dx\).

Rezolvare

\(\displaystyle\int(3x^2+2x-5)\,dx=x^3+x^2-5x+\mathcal{C}\).

Exemplul 15.2

Calculați \(\displaystyle\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx\).

Rezolvare

Numărătorul este derivata numitorului: \(\displaystyle\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+\mathcal{C}\).

Exemplul 15.3

Calculați \(\displaystyle\int x\,e^x\,dx\) (integrare prin părți).

Rezolvare

Luăm \(f(x)=x\), \(g^{\prime}(x)=e^x\ \Rightarrow\ g(x)=e^x\):

\[\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+\mathcal{C}=e^x(x-1)+\mathcal{C}.\]

Exemplul 15.4

Calculați \(\displaystyle\int\ln x\,dx\), \(x\gt 0\).

Rezolvare

\[\int 1\cdot\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-x+\mathcal{C}.\]

Exemplul 15.5

Arătați că \(F(x)=x\sin x+\cos x\) este primitivă a funcției \(f(x)=x\cos x\).

Rezolvare

\(F^{\prime}(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x=f(x)\). ✓

↑ Cuprins

15.2Integrala definită

Formula lui Leibniz–Newton:

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)\),\(F\) primitivă a lui \(f\).

Proprietăți:

\(\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f\)\(\displaystyle\int_a^a f=0\)\(\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\)

Aditivitate la interval:

\[\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx,\quad c\in[a,b]\]

Pozitivitate: \(f\ge0\) pe \([a,b]\ \Rightarrow\ \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\ge0\);Monotonie: \(f\le g\ \Rightarrow\ \displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g\)

Funcții pare / impare (pe interval simetric \([-a,a]\)):

\(f\) impară \(\Rightarrow\ \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\);\(f\) pară \(\Rightarrow\ \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx\)

Teorema de medie: dacă \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) este continuă, atunci există \(c\in[a,b]\) cu

\[\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)\cdot f(c).\]

Integrarea prin părți:

\[\int_a^b f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)\,dx\]

Exemplul 15.6

Calculați \(\displaystyle\int_0^2(3x^2+1)\,dx\).

Rezolvare

\(\displaystyle\int_0^2(3x^2+1)\,dx=(x^3+x)\Big|_0^2=(8+2)-0=10\).

Exemplul 15.7

Calculați \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx\).

Rezolvare

\(\displaystyle\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1\).

Exemplul 15.8

Calculați \(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^3\,dx\).

Rezolvare

Funcția \(x\mapsto x^3\) este impară, iar intervalul este simetric, deci integrala este \(0\).

Exemplul 15.9

Calculați \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx\).

Rezolvare

\(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\pi}=-\cos\pi+\cos 0=1+1=2\).

↑ Cuprins

15.3Aplicații ale integralei definite

Aria subgraficului (suprafața dintre \(G_f\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=a\), \(x=b\)):

\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_a^b\big|f(x)\big|\,dx\)(\(\displaystyle=\int_a^b f(x)\,dx\) dacă \(f\ge0\) pe \([a,b]\))

Aria dintre două curbe:

\[\mathcal{A}=\int_a^b\big|f(x)-g(x)\big|\,dx\]

Volumul corpului de rotație obținut prin rotirea subgraficului lui \(f\) în jurul axei \(Ox\):

\[\mathcal{V}=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx\]

Exemplul 15.10

Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției \(f(x)=x^2\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=0\), \(x=3\).

Rezolvare

\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^3=9\).

Exemplul 15.11

Calculați aria cuprinsă între curbele \(f(x)=x\) și \(g(x)=x^2\), pe intervalul \([0,1]\).

Rezolvare

Pe \([0,1]\) avem \(x\ge x^2\), deci

\[\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.\]

Exemplul 15.12

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \(Ox\) a subgraficului funcției \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\).

Rezolvare

\(\displaystyle\mathcal{V}=\pi\int_0^1 x^2\,dx=\pi\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi}{3}\) (volumul unui con de rază \(1\) și înălțime \(1\)). ✓

Atenție!

La calculul ariei, dacă funcția schimbă semnul pe \([a,b]\), integrala nu este egală cu aria: trebuie împărțit intervalul în subintervale pe care \(f\) păstrează semn constant și adunate valorile absolute. La volum, formula conține \(f^2\), deci semnul lui \(f\) nu contează.

↑ Cuprins

Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).