Mulțimi – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Limbajul mulțimilor, folosit în toată matematica de gimnaziu: cum descriem o mulțime, relațiile de apartenență și incluziune, operațiile cu mulțimi, cardinalul, mulțimile de numere și propozițiile adevărate sau false, cu exemple rezolvate în stilul subiectelor de Evaluare Națională.
1.1Mulțimi și elemente
Definiție
O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, numite elementele mulțimii. Mulțimile se notează de obicei cu litere mari: \(A, B, M, \dots\), iar elementele cu litere mici.
Dacă \(x\) este element al mulțimii \(A\), scriem \(x\in A\) și citim „\(x\) aparține mulțimii \(A\)”; în caz contrar scriem \(x\notin A\) („\(x\) nu aparține lui \(A\)”).
Moduri de a descrie o mulțime
Prin enumerarea elementelor
Printr-o proprietate caracteristică
Prin diagramă (Venn–Euler)
Observații
- Într-o mulțime fiecare element apare o singură dată: mulțimea literelor cuvântului „elev” este \(E=\{e,l,v\}\), nu \(\{e,l,e,v\}\).
- Ordinea în care scriem elementele nu contează: \(\{1,2,3\}=\{3,1,2\}\).
- Bara verticală „\(\mid\)” din descrierea \(\{x\in\mathbb{N}\mid x\le3\}\) se citește „astfel încât” (în unele cărți se folosește „ ; ” sau „ : ”).
Mulțimea vidă. Egalitatea mulțimilor
Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează \(\varnothing\). Există o singură mulțime vidă.
Două mulțimi \(A\) și \(B\) sunt egale (\(A=B\)) dacă au exact aceleași elemente.
Atenție
\(\varnothing\) și \(\{0\}\) nu sunt aceeași mulțime: \(\{0\}\) are un element (numărul \(0\)), pe când \(\varnothing\) nu are niciun element. Nici \(\{\varnothing\}\) nu este mulțimea vidă – are un element.
Exemplul 1.1
Rezolvare
Divizorii naturali ai lui \(12\) sunt \(1,2,3,4,6,12\), deci \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) și \(4\in A\).
Din \(2x+1\le9\) rezultă \(2x\le8\), adică \(x\le4\). Cum \(x\in\mathbb{N}^*\), obținem \(B=\{1,2,3,4\}\), deci \(5\notin B\).
1.2Incluziune. Submulțimi
Definiție
Mulțimea \(A\) este inclusă în mulțimea \(B\) dacă fiecare element al lui \(A\) este și element al lui \(B\). Scriem \(A\subseteq B\) (sau \(A\subset B\)) și citim „\(A\) este inclusă în \(B\)”; spunem că \(A\) este o submulțime a lui \(B\).
Dacă există cel puțin un element al lui \(A\) care nu aparține lui \(B\), scriem \(A\not\subset B\) („\(A\) nu este inclusă în \(B\)”).
\(A\subseteq B\iff \text{pentru orice } x\in A \text{ avem } x\in B\)
\(\varnothing\subseteq A\)\(A\subseteq A\)\(A=B\iff A\subseteq B \text{ și } B\subseteq A\)
O mulțime cu \(n\) elemente are \(\boxed{2^n}\) submulțimi (inclusiv \(\varnothing\) și mulțimea însăși).
Atenție
Simbolurile \(\in\) și \(\subseteq\) nu se confundă: \(\in\) leagă un element de o mulțime, iar \(\subseteq\) leagă două mulțimi. Pentru \(A=\{1,2,3\}\): \(2\in A\) și \(\{2\}\subseteq A\) sunt corecte, dar „\(2\subseteq A\)” și „\(\{2\}\in A\)” sunt greșite.
Exemplul 1.2
Rezolvare
Submulțimile sunt: \(\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}\) – în total \(8=2^3\).
Exact două elemente au \(3\) submulțimi: \(\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\).
1.3Operații cu mulțimi
Intersecția
Mulțimea elementelor comune mulțimilor \(A\) și \(B\) se numește intersecția lor:
\[A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{și}\ x\in B\}.\]
Dacă \(A\cap B=\varnothing\), mulțimile \(A\) și \(B\) se numesc disjuncte.
Reuniunea
Mulțimea formată din toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile \(A\) și \(B\) (fiecare element scris o singură dată) se numește reuniunea lor:
\[A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{sau}\ x\in B\}.\]
Diferența
Mulțimea elementelor care aparțin lui \(A\), dar nu aparțin lui \(B\), se numește diferența dintre \(A\) și \(B\):
\[A\setminus B=\{x\mid x\in A\ \text{și}\ x\notin B\}\qquad(\text{se mai scrie } A-B).\]
Produsul cartezian
Mulțimea tuturor perechilor ordonate \((x,y)\) cu \(x\in A\) și \(y\in B\) se numește produsul cartezian al mulțimilor \(A\) și \(B\):
\[A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\ \text{și}\ y\in B\}.\]
Dacă \(A\) are \(m\) elemente și \(B\) are \(n\) elemente, atunci \(A\times B\) are \(m\cdot n\) elemente. În general \(A\times B\ne B\times A\), pentru că perechile sunt ordonate.
\(A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B\)\(A\cap B=B\cap A\)\(A\cup B=B\cup A\)
\(A\cup\varnothing=A\)\(A\cap\varnothing=\varnothing\)\(A\setminus A=\varnothing\)
Dacă \(A\subseteq B\), atunci \(A\cap B=A\), \(A\cup B=B\) și \(A\setminus B=\varnothing\).
\(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}A+\operatorname{card}B-\operatorname{card}(A\cap B)\)
Atenție
În general \(A\setminus B\ne B\setminus A\). La reuniune, elementele comune se scriu o singură dată.
Exemplul 1.3
Rezolvare
Elementele comune sunt \(1\) și \(5\): \(A\cap B=\{1,5\}\).
\(A\cup B=\{1,2,3,5,7,8\}\) (elementele \(1\) și \(5\) le scriem o singură dată).
\(A\setminus B=\{3,7\}\), iar \(B\setminus A=\{2,8\}\).
Exemplul 1.4
Rezolvare
\(A=\{1,2,3,6,9,18\}\) și \(B=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\), deci \(A\cap B=\{1,2,3,6\}\) (divizorii comuni, adică divizorii lui \(6\)).
\(\operatorname{card}(A\cup B)=6+8-4=10\).
Exemplul 1.5
Rezolvare
1.4Mulțimi finite și infinite. Mulțimi de numere
Definiție
O mulțime care are un număr finit de elemente se numește mulțime finită. Numărul elementelor ei se numește cardinalul mulțimii și se notează \(\operatorname{card}A\) (sau \(|A|\)).
O mulțime care nu este finită (elementele ei nu se pot număra până la capăt) se numește mulțime infinită.
\(A=\{2,4,6,8\}\Rightarrow \operatorname{card}A=4\)\(\operatorname{card}\varnothing=0\)
Numărul numerelor naturale de la \(a\) la \(b\) (\(a\le b\)) este \(\boxed{b-a+1}\).
Mulțimile de numere
| Notație | Mulțimea | Elemente |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | numerele naturale | \(\{0,1,2,3,4,\dots\}\) |
| \(\mathbb{N}^*\) | numerele naturale nenule | \(\{1,2,3,4,\dots\}\) |
| \(\mathbb{Z}\) | numerele întregi | \(\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) |
| \(\mathbb{Q}\) | numerele raționale | \(\left\{\dfrac{a}{b}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^*\right\}\) |
| \(\mathbb{R}\) | numerele reale | raționale și iraționale |
| \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) | numerele iraționale | \(\sqrt2,\ {-\sqrt5},\ \pi,\ \dots\) |
\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\]
Steluța scoate numărul \(0\) din mulțime: \(\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\), \(\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), \(\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Exemplul 1.6
Rezolvare
Observăm că \(\sqrt9=3\in\mathbb{N}\), iar \(\sqrt7\) este irațional.
\(A\cap\mathbb{N}=\{0;\ \sqrt9;\ 12\}=\{0;3;12\}\); \(A\cap\mathbb{Z}=\{-4;\ 0;\ 3;\ 12\}\); \(A\setminus\mathbb{Q}=\{\sqrt7\}\).
Exemplul 1.7
Rezolvare
\(\operatorname{card}M=63-15+1=49\).
\(P=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) (numărul \(4\) nu aparține, inegalitatea fiind strictă), deci \(\operatorname{card}P=7\).
1.5Propoziții
Definiție
Un enunț despre care putem spune cu certitudine fie că este adevărat, fie că este fals (și numai una dintre variante) se numește propoziție.
Valoarea de adevăr a unei propoziții se notează cu A (adevărat) sau F (fals).
Propoziții adevărate (A)
\(5\cdot3=15\)
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\)
Propoziții false (F)
\(12:2=7\)
\(-1\in\mathbb{N}\)
Negația unei propoziții
Propoziția obținută din propoziția \(p\) prin schimbarea valorii ei de adevăr se numește negația lui \(p\) și se notează \(\text{non } p\) (sau \(\overline{p}\)). Dacă \(p\) este adevărată, \(\text{non } p\) este falsă și invers.
| Propoziția \(p\) | Valoare | Negația \(\text{non } p\) | Valoare |
|---|---|---|---|
| \(5\cdot3=15\) | A | \(5\cdot3\ne15\) | F |
| Municipiul Buzău este în Africa. | F | Municipiul Buzău nu este în Africa. | A |
| \(7\gt 9\) | F | \(7\le 9\) | A |
Atenție
Negația lui „\(a\gt b\)” este „\(a\le b\)”, nu „\(a\lt b\)”. Enunțurile care conțin o necunoscută, de tipul „\(x+2=5\)”, sau întrebările nu sunt propoziții: nu le putem atribui o valoare de adevăr.
Exemplul 1.8
Rezolvare
a) \(\dfrac{12}{4}=3\in\mathbb{N}\) – A.
b) \(\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}\) (mulțimea dată în enunț este reuniunea) – F.
c) Mulțimea este \(\{0,1,2,3,4,5\}\), are \(6\) elemente – F.
d) \(-\dfrac{6}{3}=-2\in\mathbb{Z}\) – A.
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).