Numere naturale. Divizibilitate – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Numerele naturale de la scrierea în baza 10 până la divizibilitate: operații și proprietățile lor, împărțirea cu rest, puteri și ultima cifră, criterii de divizibilitate, numere prime, descompunerea în factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., cu probleme rezolvate de tipul celor de la Evaluarea Națională.
2.1Mulțimea numerelor naturale
Definiție
Numerele \(0,1,2,3,\dots,10,11,\dots\) se numesc numere naturale; ele formează mulțimea
\[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\},\qquad \mathbb{N}^*=\mathbb{N}\setminus\{0\}=\{1,2,3,\dots\}.\]
Șirul numerelor naturale este infinit: după fiecare număr natural \(n\) urmează succesorul său \(n+1\). Orice număr natural \(n\ne0\) are un predecesor, \(n-1\). Numărul \(0\) este cel mai mic număr natural; nu există un cel mai mare număr natural.
Axa numerelor
O dreaptă pe care am fixat un punct \(O\), numit origine, un sens (indicat prin săgeată) și o unitate de măsură se numește axa numerelor. Fiecărui număr natural îi corespunde un punct pe axă.
Scrierea în baza 10
Scrierea zecimală desfășurată
Orice număr natural se scrie cu ajutorul celor zece cifre \(0,1,\dots,9\); valoarea fiecărei cifre depinde de poziția (ordinul) ei: unități, zeci, sute, mii, …
\[5307=5\cdot1000+3\cdot100+0\cdot10+7=5\cdot10^3+3\cdot10^2+0\cdot10^1+7\cdot10^0.\]
\(\overline{ab}=10a+b\)\(\overline{abc}=100a+10b+c\)\(\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\)
unde \(a,b,c,d\) sunt cifre și \(a\ne0\) (prima cifră a unui număr de cel puțin două cifre nu poate fi \(0\)).
Compararea numerelor naturale
Definiție
Numărul natural \(a\) este mai mare decât numărul natural \(b\) (scriem \(a\gt b\)) dacă există un număr natural \(c\ne0\) astfel încât \(a=b+c\). Scriem \(a\ge b\) („\(a\) este mai mare sau egal cu \(b\)”) dacă \(a\gt b\) sau \(a=b\).
Reguli de comparare
- Dintre două numere naturale cu număr diferit de cifre, este mai mare cel care are mai multe cifre.
- Dacă au același număr de cifre, se compară cifrele de la stânga la dreapta: este mai mare numărul care are, la primul ordin unde cifrele diferă, cifra mai mare. Exemplu: \(48\,372\gt 48\,295\), pentru că \(3\gt2\) la ordinul sutelor.
Exemplul 2.1
Rezolvare
\(\overline{ab}+\overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)\), care este multiplu de \(11\).
Din \(11(a+b)=121\) obținem \(a+b=11\), deci \(\overline{ab}\in\{29,38,47,56,65,74,83,92\}\).
2.2Operații cu numere naturale
Adunarea
Scăderea
Înmulțirea
| Proprietatea | Adunarea | Înmulțirea |
|---|---|---|
| Comutativitatea | \(a+b=b+a\) | \(a\cdot b=b\cdot a\) |
| Asociativitatea | \((a+b)+c=a+(b+c)\) | \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\) |
| Element neutru | \(a+0=0+a=a\) | \(a\cdot1=1\cdot a=a\) |
| Distributivitatea | \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)\(a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c\ \ (b\ge c)\) | |
Observații
- \(a\cdot0=0\) pentru orice \(a\in\mathbb{N}\); dacă \(a\cdot b=0\), atunci \(a=0\) sau \(b=0\).
- Citită de la dreapta la stânga, distributivitatea înseamnă scoaterea factorului comun: \(17\cdot23+17\cdot77=17\cdot(23+77)=17\cdot100=1700\).
- Suma primelor \(n\) numere naturale nenule (suma lui Gauss): \[\boxed{1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}\]
Împărțirea
Împărțirea exactă
Pentru \(b\ne0\): \(a:b=c\iff a=b\cdot c\). \(a\) este deîmpărțitul, \(b\) împărțitorul, \(c\) câtul. Exemplu: \(12:3=4\), pentru că \(3\cdot4=12\).
Atenție
- Împărțirea la \(0\) nu are sens. Nu există niciun număr care înmulțit cu \(0\) să dea un număr diferit de \(0\).
- \(0:a=0\) pentru orice \(a\ne0\).
- Împărțirea exactă nu se poate efectua întotdeauna în \(\mathbb{N}\): \(7:3\) nu este număr natural (nu există \(n\in\mathbb{N}\) cu \(3\cdot n=7\)). În acest caz folosim împărțirea cu rest.
Teorema împărțirii cu rest
Oricare ar fi numerele naturale \(a\) și \(b\), cu \(b\ne0\), există și sunt unice numerele naturale \(q\) (câtul) și \(r\) (restul) astfel încât
\[\boxed{a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b.}\]
De reținut
Restul este strict mai mic decât împărțitorul: la împărțirea la \(b\), resturile posibile sunt \(0,1,2,\dots,b-1\). Restul este \(0\) exact atunci când împărțirea este exactă.
Exemplul 2.2
b) Determinați numerele naturale care, împărțite la \(6\), dau câtul \(4\).
Rezolvare
a) \(7\cdot289=2023\) și \(2026-2023=3\), deci \(2026=7\cdot289+3\): câtul este \(289\), restul este \(3\).
b) \(n=6\cdot4+r=24+r\), cu \(r\in\{0,1,2,3,4,5\}\). Numerele sunt \(24,25,26,27,28,29\).
Exemplul 2.3
Rezolvare
\(S=\dfrac{50\cdot51}{2}=1275\).
\(T=2\cdot(1+2+\dots+50)=2\cdot1275=2550\) (am scos factorul comun \(2\)).
2.3Puteri cu exponent natural
Definiție
Pentru \(a\in\mathbb{N}\) și \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge2\):
\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{factori}}\]
\(a\) se numește baza puterii, iar \(n\) exponentul. Prin convenție, \(a^1=a\) și \(a^0=1\) pentru \(a\ne0\) (\(0^0\) nu are sens). Exemplu: \(5^4=5\cdot5\cdot5\cdot5=625\).
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)\(a^m:a^n=a^{m-n}\ \ (a\ne0,\ m\ge n)\)\(\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)
\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)\(1^n=1\)\(0^n=0\ \ (n\ne0)\)\(10^n=1\underbrace{00\ldots0}_{n\ \text{zerouri}}\)
Greșeli frecvente
- \(2^3\ne2\cdot3\): \(2^3=8\), nu \(6\).
- \(a^m+a^n\ne a^{m+n}\): \(2^3+2^2=12\), pe când \(2^5=32\). La adunare se scoate factor comun: \(2^3+2^2=2^2(2+1)\).
- \(\left(a^m\right)^n\) nu se confundă cu \(a^{m^n}\): \(\left(2^3\right)^2=2^6\), dar \(2^{3^2}=2^9\).
Compararea puterilor
Reguli
- Aceeași bază \(a\ge2\): este mai mare puterea cu exponentul mai mare (\(3^{20}\gt3^{17}\)).
- Același exponent \(n\ge1\): este mai mare puterea cu baza mai mare (\(7^{15}\gt5^{15}\)).
- Altfel, aducem puterile la aceeași bază sau la același exponent: \(2^{30}=\left(2^3\right)^{10}=8^{10}\) și \(3^{20}=\left(3^2\right)^{10}=9^{10}\), deci \(2^{30}\lt3^{20}\).
Ultima cifră a unei puteri. Pătrate perfecte
| Ultima cifră a bazei | Ultimele cifre ale puterilor \(a^1,a^2,a^3,a^4,\dots\) | Perioada |
|---|---|---|
| \(0,\ 1,\ 5,\ 6\) | aceeași cifră mereu | \(1\) |
| \(2\) | \(2,4,8,6,\ 2,4,8,6,\dots\) | \(4\) |
| \(3\) | \(3,9,7,1,\ 3,9,7,1,\dots\) | \(4\) |
| \(4\) | \(4,6,\ 4,6,\dots\) | \(2\) |
| \(7\) | \(7,9,3,1,\ 7,9,3,1,\dots\) | \(4\) |
| \(8\) | \(8,4,2,6,\ 8,4,2,6,\dots\) | \(4\) |
| \(9\) | \(9,1,\ 9,1,\dots\) | \(2\) |
Notăm \(u(n)\) ultima cifră a numărului \(n\). Pentru a afla \(u\left(a^n\right)\) împărțim exponentul \(n\) la perioadă și ne uităm la rest (restul \(0\) corespunde ultimei cifre din perioadă).
Un pătrat perfect (\(n=k^2,\ k\in\mathbb{N}\)) are ultima cifră \(0,1,4,5,6\) sau \(9\); un număr care se termină în \(2,3,7\) sau \(8\) nu este pătrat perfect.
Exemplul 2.4
b) Arătați că numărul \(n=3^{2025}+4\) nu este pătrat perfect.
Rezolvare
a) Ultimele cifre ale puterilor lui \(2\) se repetă din \(4\) în \(4\): \(2,4,8,6\). Cum \(2025=4\cdot506+1\), restul este \(1\), deci \(u\left(2^{2025}\right)=u\left(2^1\right)=2\).
b) \(2025=4\cdot506+1\), deci \(u\left(3^{2025}\right)=u\left(3^1\right)=3\) și \(u(n)=u(3+4)=7\). Un pătrat perfect nu se poate termina în \(7\), deci \(n\) nu este pătrat perfect.
Exemplul 2.5
Rezolvare
\(\left(2^5\right)^3\cdot2^4:2^{17}=2^{15}\cdot2^4:2^{17}=2^{19}:2^{17}=2^2=4\).
\(5^{10}+5^{10}+5^{10}+5^{10}+5^{10}=5\cdot5^{10}=5^{11}\).
2.4Divizibilitatea în ℕ
Definiție
Numărul natural \(a\) este divizibil cu numărul natural \(b\) dacă există un număr natural \(c\) astfel încât \(a=b\cdot c\). Spunem că „\(a\) se divide cu \(b\)”, „\(b\) divide pe \(a\)”, „\(b\) este divizor al lui \(a\)” sau „\(a\) este multiplu al lui \(b\)”.
Notații: \(a\ \vdots\ b\) („\(a\) este divizibil cu \(b\)”) și \(b\mid a\) („\(b\) divide pe \(a\)”). Dacă \(a\) nu este divizibil cu \(b\), scriem \(b\nmid a\).
\(b\mid a\iff a\ \vdots\ b\iff a=b\cdot c,\ c\in\mathbb{N}\)Exemplu: \(2\mid 6\), pentru că \(6=2\cdot3\).
\(D_n\) = mulțimea divizorilor lui \(n\); \(M_n\) = mulțimea multiplilor lui \(n\).
\(D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}\)\(M_{12}=\{0,12,24,36,\dots\}\)
Observații
- Orice număr \(n\ge2\) are cel puțin doi divizori: \(1\) și \(n\), numiți divizori improprii. Ceilalți divizori se numesc divizori proprii (ex.: divizorii proprii ai lui \(12\) sunt \(2,3,4,6\)).
- Mulțimea divizorilor unui număr nenul este finită; mulțimea multiplilor este infinită.
- Divizorii vin „în perechi”: \(12=1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4\). Este suficient să căutăm divizorii până la \(\sqrt{n}\).
Proprietățile divizibilității
| # | Proprietatea | Exemplu |
|---|---|---|
| 1 | \(1\mid a\) și \(a\mid a\), oricare ar fi \(a\in\mathbb{N}^*\) | \(1\mid 7,\ 7\mid7\) |
| 2 | \(a\mid 0\), oricare ar fi \(a\in\mathbb{N}^*\) (zero este divizibil cu orice număr nenul) | \(0=5\cdot0\) |
| 3 | Dacă \(a\mid b\) și \(b\mid a\), atunci \(a=b\), pentru orice \(a,b\in\mathbb{N}\) | |
| 4 | Dacă \(a\mid b\) și \(b\mid c\), atunci \(a\mid c\) (tranzitivitate). Altfel spus: dacă un număr se divide cu \(b\), el se divide cu toți divizorii lui \(b\). | \(2\mid6,\ 6\mid12\Rightarrow2\mid12\); \(24\) se divide cu \(1,2,3,4,6,12\) |
| 5 | Dacă \(m\mid a\) și \(m\mid b\), atunci \(m\mid(a+b)\) și \(m\mid(a-b)\ \ (a\ge b)\) | \(3\mid12,\ 3\mid15\Rightarrow3\mid27\) |
| 6 | Dacă \(m\mid a\) și \(m\nmid b\), atunci \(m\nmid(a+b)\) | \(3\mid12,\ 3\nmid7\Rightarrow3\nmid19\) |
| 7 | Dacă \(m\mid a\), atunci \(m\mid a\cdot k\), oricare ar fi \(k\in\mathbb{N}\) | \(2\mid6\Rightarrow2\mid6\cdot7=42\) |
| 8 | Dacă \(m\mid a\), \(n\mid a\) și \((m,n)=1\) (prime între ele), atunci \(m\cdot n\mid a\) | \(2\mid a,\ 3\mid a\Rightarrow6\mid a\) |
Atenție
- Proprietatea 8 cere ca numerele să fie prime între ele: \(12\) se divide cu \(4\) și cu \(6\), dar nu se divide cu \(24\).
- Dacă niciunul dintre termeni nu se divide cu \(m\), suma se poate totuși divide cu \(m\): \(3\nmid4,\ 3\nmid5\), dar \(3\mid9\).
- Produsul a două numere naturale consecutive, \(n(n+1)\), este întotdeauna par.
Exemplul 2.6
b) Arătați că numărul \(A=2^{n+2}+2^{n+1}+2^n\) este divizibil cu \(7\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Rezolvare
a) \(36=1\cdot36=2\cdot18=3\cdot12=4\cdot9=6\cdot6\), deci \(D_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\). Are \(9\) divizori, dintre care \(9-2=7\) proprii.
b) Scoatem factor comun \(2^n\): \(A=2^n\left(2^2+2+1\right)=2^n\cdot7\), care este multiplu de \(7\), deci \(7\mid A\).
2.5Criterii de divizibilitate
| Divizibil cu | Criteriul (dacă și numai dacă) | Exemple |
|---|---|---|
| \(10\) | ultima cifră este \(0\) | \(130\) |
| \(10^n\) | ultimele \(n\) cifre sunt \(0\) | \(47\,000\ \vdots\ 1000\) |
| \(2\) | ultima cifră este pară: \(0,2,4,6,8\) | \(220,\ 222,\ 224,\ 226,\ 228\) |
| \(5\) | ultima cifră este \(0\) sau \(5\) | \(435,\ 190\) |
| \(4\) | numărul format din ultimele două cifre se divide cu \(4\) | \(1324\), pentru că \(4\mid24\) |
| \(25\) | numărul format din ultimele două cifre se divide cu \(25\) (se termină în \(00,25,50,75\)) | \(225,\ 1350\) |
| \(3\) | suma cifrelor se divide cu \(3\) | \(47\,193\): \(4+7+1+9+3=24\), \(3\mid24\) |
| \(9\) | suma cifrelor se divide cu \(9\) | \(47\,160\): \(4+7+1+6+0=18\), \(9\mid18\) |
Criterii compuse (se folosesc numere prime între ele):
\(6=2\cdot3\)\(12=3\cdot4\)\(15=3\cdot5\)\(18=2\cdot9\)\(36=4\cdot9\)\(45=5\cdot9\)
Exemplu: un număr se divide cu \(6\) dacă și numai dacă se divide și cu \(2\), și cu \(3\).
Atenție
Criteriile pentru \(2,5,10,4,25\) privesc ultimele cifre; criteriile pentru \(3\) și \(9\) privesc suma tuturor cifrelor. Orice număr divizibil cu \(9\) este divizibil și cu \(3\), dar nu și invers (\(12\) se divide cu \(3\), nu și cu \(9\)). La fel, orice număr divizibil cu \(10\) se divide cu \(2\) și cu \(5\).
Exemplul 2.7
Rezolvare
Exemplul 2.8
Rezolvare
\(45=5\cdot9\), cu \((5,9)=1\), deci numărul trebuie să se dividă cu \(5\) și cu \(9\).
Divizibilitatea cu \(5\): \(b\in\{0,5\}\).
Pentru \(b=0\): \(3+a+5+0=8+a\ \vdots\ 9\Rightarrow a=1\), numărul \(3150\).
Pentru \(b=5\): \(3+a+5+5=13+a\ \vdots\ 9\Rightarrow a=5\), numărul \(3555\).
Numerele căutate sunt \(3150\) și \(3555\).
2.6Numere prime și numere compuse
Definiție
Un număr natural \(p\ge2\) care are exact doi divizori, pe \(1\) și pe el însuși, se numește număr prim.
Un număr natural \(n\ge2\) care are cel puțin trei divizori se numește număr compus.
Observații
- Numerele \(0\) și \(1\) nu sunt nici prime, nici compuse (\(1\) are un singur divizor, iar \(0\) are o infinitate).
- \(2\) este singurul număr prim par; toate celelalte numere prime sunt impare.
- Există o infinitate de numere prime.
| Numerele prime mai mici decât \(100\) (sunt \(25\)) | ||||
|---|---|---|---|---|
| \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(11\) |
| \(13\) | \(17\) | \(19\) | \(23\) | \(29\) |
| \(31\) | \(37\) | \(41\) | \(43\) | \(47\) |
| \(53\) | \(59\) | \(61\) | \(67\) | \(71\) |
| \(73\) | \(79\) | \(83\) | \(89\) | \(97\) |
Cum verificăm dacă un număr \(n\) este prim: îl împărțim pe rând la numerele prime \(2,3,5,7,11,13,\dots\), cât timp pătratul împărțitorului nu depășește \(n\) (adică până când câtul devine mai mic sau egal cu împărțitorul).
Dacă una dintre împărțiri este exactă, \(n\) este compus; dacă niciuna nu este exactă, \(n\) este prim.
Exemplul 2.9
Rezolvare
Cum \(14^2=196\le211\lt225=15^2\), încercăm împărțitorii primi \(2,3,5,7,11,13\).
\(211\): nu e par, suma cifrelor \(4\) nu se divide cu \(3\), nu se termină în \(0\) sau \(5\); \(211=7\cdot30+1=11\cdot19+2=13\cdot16+3\). Nicio împărțire nu este exactă, deci \(211\) este prim.
\(221\): \(221=13\cdot17\), deci \(221\) este compus.
Exemplul 2.10
Rezolvare
Suma \(31\) este impară, deci exact unul dintre termenii \(3p\) și \(5q\) este par, adică unul dintre numerele \(p,q\) este \(2\) (singurul prim par).
Dacă \(p=2\): \(5q=25\Rightarrow q=5\) (prim). Dacă \(q=2\): \(3p=21\Rightarrow p=7\) (prim).
Soluții: \(p=2,\ q=5\) sau \(p=7,\ q=2\).
2.7Descompunerea în factori primi. C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Descompunerea în factori primi
A descompune un număr natural \(n\ge2\) în factori primi înseamnă a-l scrie ca produs de puteri ale unor numere prime distincte. Factorii se scriu de obicei în ordinea crescătoare a bazelor; această scriere este unică.
\[60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 360=2^3\cdot3^2\cdot5,\qquad 2100=2^2\cdot3\cdot5^2\cdot7.\]
Numărul divizorilor: dacă \(n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k}\), atunci \(n\) are
\[\boxed{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)}\ \text{divizori naturali.}\]
Exemplu: \(360=2^3\cdot3^2\cdot5^1\) are \((3+1)(2+1)(1+1)=24\) de divizori.
Cel mai mare divizor comun
Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \(a\) și \(b\) (nu ambele nule) este cel mai mare număr natural care divide și pe \(a\), și pe \(b\). Se notează \((a,b)\) sau c.m.m.d.c.\((a,b)\). Orice divizor comun al lui \(a\) și \(b\) este divizor al lui \((a,b)\).
Dacă \((a,b)=1\), numerele \(a\) și \(b\) se numesc prime între ele.
Cel mai mic multiplu comun
Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale nenule \(a\) și \(b\) este cel mai mic număr natural nenul care este multiplu și al lui \(a\), și al lui \(b\). Se notează \([a,b]\) sau c.m.m.m.c.\([a,b]\). Orice multiplu comun al lui \(a\) și \(b\) este multiplu al lui \([a,b]\).
Calculul c.m.m.d.c.
Calculul c.m.m.m.c.
\[\boxed{(a,b)\cdot[a,b]=a\cdot b}\]
Dacă \(b\mid a\): \((a,b)=b\) și \([a,b]=a\).Dacă \((a,b)=1\): \([a,b]=a\cdot b\).
Două numere naturale consecutive sunt întotdeauna prime între ele: \((n,n+1)=1\).
Atenție
- Relația \((a,b)\cdot[a,b]=a\cdot b\) este adevărată pentru două numere, nu și pentru trei sau mai multe.
- Numerele pot fi prime între ele fără să fie prime: \((8,15)=1\). Trei numere pot avea c.m.m.d.c. egal cu \(1\) fără să fie prime între ele două câte două: \((6,10,15)=1\), dar \((6,10)=2\), \((6,15)=3\), \((10,15)=5\).
Exemplul 2.11
Rezolvare
\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\), \(2100=2^2\cdot3\cdot5^2\cdot7\), \(1980=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot11\).
Factorii comuni la puterea cea mai mică: \((360,\ 2100,\ 1980)=2^2\cdot3\cdot5=60\).
\(24=2^3\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\), deci \([24,36]=2^3\cdot3^2=72\). Verificare: \((24,36)=2^2\cdot3=12\) și \(12\cdot72=864=24\cdot36\).
Exemplul 2.12
Rezolvare
Fie \(n\) numărul. Atunci \(n-5\) se divide cu \(6\), \(8\) și \(12\), deci \(n-5\) este multiplu al lui \([6,8,12]\).
\(6=2\cdot3\), \(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\Rightarrow[6,8,12]=2^3\cdot3=24\). Deci \(n-5\in\{0,24,48,72,96,120,\dots\}\), adică \(n\in\{5,29,53,77,101,\dots\}\).
Cel mai mic număr de trei cifre este \(n=101\). Verificare: \(101=6\cdot16+5=8\cdot12+5=12\cdot8+5\).
Exemplul 2.13
Rezolvare
Numărul de pachete trebuie să dividă și pe \(48\), și pe \(36\); fiind maxim, este \((48,36)\).
\(48=2^4\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\Rightarrow(48,36)=2^2\cdot3=12\). Se pot face \(12\) pachete, fiecare cu \(48:12=4\) caiete și \(36:12=3\) pixuri.
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).