Numere întregi și numere raționale – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Numerele întregi și numerele raționale: opus, modul, regula semnelor, divizibilitate în ℤ, fracții, operații cu numere raționale, ordinea efectuării operațiilor și transformarea fracțiilor zecimale și periodice, cu exemple rezolvate de tipul celor de la Evaluarea Națională.
3.1Mulțimea numerelor întregi
Definiție
Numerele naturale \(0,1,2,3,\dots\) împreună cu numerele negative \(-1,-2,-3,\dots\) formează mulțimea numerelor întregi:
\[\mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\},\qquad \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.\]
Numerele \(1,2,3,\dots\) sunt întregi pozitive, numerele \(-1,-2,-3,\dots\) sunt întregi negative, iar \(0\) nu este nici pozitiv, nici negativ. Notăm \(\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).
Numere opuse
Două numere care diferă doar prin semn se numesc opuse: opusul lui \(a\) este \(-a\). Exemple: opusul lui \(5\) este \(-5\), opusul lui \(-7\) este \(7\), opusul lui \(0\) este \(0\). Pe axă, numerele opuse sunt simetrice față de origine, iar \(a+(-a)=0\).
Compararea numerelor întregi
- Orice număr negativ este mai mic decât \(0\), iar \(0\) este mai mic decât orice număr pozitiv.
- Dintre două numere negative, este mai mare cel cu modulul mai mic (cel mai apropiat de \(0\)): \(-3\gt-8\).
- Pe axă, dintre două numere, cel mai mare este situat mai la dreapta.
Exemplul 3.1
Rezolvare
3.2Modulul unui număr întreg
Definiție
Modulul (valoarea absolută) unui număr \(a\) este distanța de la originea axei la punctul corespunzător lui \(a\). Se notează \(|a|\):
\[|a|=\begin{cases}a, & \text{dacă } a\ge0\\[1mm] -a, & \text{dacă } a\lt0\end{cases}\]
Exemple: \(|-7|=7\), \(|3|=3\), \(|0|=0\).
\(|a|\ge0\)\(|a|=0\iff a=0\)\(|-a|=|a|\)\(|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\)
Pentru \(k\gt0\): \(\boxed{|x|=k\iff x=k\ \text{sau}\ x=-k}\)\(|x|=0\iff x=0\)\(|x|=k\lt0\) nu are soluții.
Atenție
Modulul unui număr este întotdeauna pozitiv sau zero, niciodată negativ. Modulul nu înseamnă „schimbarea semnului”: \(|5|=5\), nu \(-5\). În general \(|a+b|\ne|a|+|b|\): \(|3+(-5)|=2\), dar \(|3|+\lvert-5\rvert=8\).
Exemplul 3.2
b) Determinați numerele întregi \(x\) pentru care \(|x-2|=5\).
c) Câte numere întregi \(x\) verifică \(|x|\le3\)?
Rezolvare
a) \(|-12|+|5|-\lvert-7\rvert=12+5-7=10\).
b) \(x-2=5\) sau \(x-2=-5\), deci \(x=7\) sau \(x=-3\).
c) \(x\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) – sunt \(7\) numere.
3.3Operații cu numere întregi
Adunarea
Termeni de același semn
Termeni de semne contrare
Proprietăți
Adunarea în \(\mathbb{Z}\) este comutativă, asociativă, are elementul neutru \(0\), iar fiecare număr are un opus: \(a+(-a)=0\).
Scăderea
\[\boxed{a-b=a+(-b)}\]
A scădea un număr înseamnă a aduna opusul lui: \(5-(-3)=5+3=8\); \(-2-6=-2+(-6)=-8\).
Regula parantezelor: \(+(a-b+c)=a-b+c\)\(-(a-b+c)=-a+b-c\)
Înmulțirea și împărțirea
Regula semnelor
Produsul (câtul) a două numere întregi are modulul egal cu produsul (câtul) modulelor și semnul:
- „+”, dacă numerele au același semn;
- „−”, dacă numerele au semne contrare.
| \(\cdot\) sau \(:\) | \(+\) | \(-\) |
|---|---|---|
| \(+\) | \(+\) | \(-\) |
| \(-\) | \(-\) | \(+\) |
\((-1)\cdot(-5)=5\)\((-1)\cdot5=-5\)\(1\cdot(-5)=-5\)\((-24):(-6)=4\)\(18:(-3)=-6\)
Un produs cu mai mulți factori nenuli este pozitiv dacă numărul factorilor negativi este par și negativ dacă este impar.
Puteri cu baza număr întreg
\((-a)^{2k}=a^{2k}\)\((-a)^{2k+1}=-a^{2k+1}\)\((-1)^n=\begin{cases}1, & n\ \text{par}\\ -1, & n\ \text{impar}\end{cases}\)
Regulile de calcul cu puteri de la numerele naturale rămân valabile: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\), \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^nb^n\).
Atenție
\((-2)^4=16\), dar \(-2^4=-16\): fără paranteză, exponentul se aplică numai lui \(2\). La fel, \((-3)^2=9\), dar \(-3^2=-9\).
Exemplul 3.3
Rezolvare
a) \((-3)\cdot4=-12\), \((-12):(-2)=6\), \((-1)^{2025}=-1\) (exponent impar). Rezultatul: \(-12-6+(-1)=-19\).
b) \(-8+4-4=-8\).
3.4Divizibilitatea în ℤ
Definiție
Numărul întreg \(a\) este divizibil cu numărul întreg \(b\) (scriem \(b\mid a\)) dacă există un număr întreg \(c\) astfel încât \(a=b\cdot c\).
În \(\mathbb{Z}\), fiecărui divizor natural \(d\) al lui \(n\) i se adaugă și opusul \(-d\):
\(D_6=\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}\)\(D_{11}=\{-11,-1,1,11\}\)\(D_{-12}=D_{12}=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12\}\)
Un număr întreg are de două ori mai mulți divizori întregi decât divizori naturali.
Metodă
Condiția \(\dfrac{k}{x+m}\in\mathbb{Z}\) (cu \(k\in\mathbb{Z}^*\)) înseamnă \((x+m)\mid k\), adică \(x+m\in D_k\). Dacă numărătorul conține și el pe \(x\), îl scriem mai întâi ca „multiplu al numitorului + număr”.
Exemplul 3.4
b) Determinați numerele întregi \(x\) pentru care \(\dfrac{2x+7}{x+2}\in\mathbb{Z}\).
Rezolvare
a) \((x+2)\mid6\Rightarrow x+2\in\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}\Rightarrow x\in\{-8,-5,-4,-3,-1,0,1,4\}\).
b) \(\dfrac{2x+7}{x+2}=\dfrac{2(x+2)+3}{x+2}=2+\dfrac{3}{x+2}\). Trebuie \((x+2)\mid3\), deci \(x+2\in\{-3,-1,1,3\}\) și \(x\in\{-5,-3,-1,1\}\).
3.5Fracții
Definiție
O fracție \(\dfrac{a}{b}\) (cu \(b\ne0\)) reprezintă \(a\) părți dintre cele \(b\) părți egale în care a fost împărțit un întreg. \(a\) se numește numărător, \(b\) numitor, iar linia de fracție înseamnă împărțire: \(\dfrac{a}{b}=a:b\).
| Fracția \(\dfrac{a}{b}\) (\(a\in\mathbb{N},\ b\in\mathbb{N}^*\)) este | dacă | Exemplu |
|---|---|---|
| subunitară (mai mică decât \(1\)) | \(a\lt b\) | \(\dfrac{2}{5}\) |
| echiunitară (egală cu \(1\)) | \(a=b\) | \(\dfrac{3}{3}\) |
| supraunitară (mai mare decât \(1\)) | \(a\gt b\) | \(\dfrac{7}{2}=3\dfrac{1}{2}\) |
Fracții echivalente
Fracțiile \(\dfrac{a}{b}\) și \(\dfrac{c}{d}\) (\(b,d\ne0\)) sunt echivalente (reprezintă același număr) dacă și numai dacă
\[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c.\]
Exemplu: \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}\), pentru că \(2\cdot10=5\cdot4\).
Amplificarea cu \(k\ne0\): \({}^{k)}\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}\)Simplificarea cu \(k\), divizor comun: \(\dfrac{a}{b}^{(k}=\dfrac{a:k}{b:k}\)
O fracție \(\dfrac{a}{b}\) este ireductibilă dacă \((a,b)=1\) – nu se mai poate simplifica. Exemple: \(\dfrac{15}{7}\), \(\dfrac{21}{25}\). O fracție se aduce la forma ireductibilă simplificând-o cu c.m.m.d.c. al numărătorului și numitorului: \(\dfrac{12}{18}^{(6}=\dfrac{2}{3}\).
Introducerea întregilor în fracție: \(2\dfrac{3}{5}=\dfrac{2\cdot5+3}{5}=\dfrac{13}{5}\)Fracție dintr-un număr: \(\dfrac{3}{4}\) din \(60\) este \(\dfrac{3}{4}\cdot60=45\).
Compararea fracțiilor
- Același numitor: este mai mare fracția cu numărătorul mai mare: \(\dfrac{5}{9}\gt\dfrac{4}{9}\).
- Același numărător (pozitiv): este mai mare fracția cu numitorul mai mic: \(\dfrac{3}{4}\gt\dfrac{3}{7}\).
- Altfel, aducem fracțiile la același numitor (de preferat c.m.m.m.c. al numitorilor) sau comparăm produsele „în cruce”: pentru \(b,d\gt0\), \(\dfrac{a}{b}\lt\dfrac{c}{d}\iff a\cdot d\lt b\cdot c\).
Exemplul 3.5
b) Comparați fracțiile \(\dfrac{5}{6}\) și \(\dfrac{7}{9}\).
c) Determinați \(x\in\mathbb{N}\) pentru care fracțiile \(\dfrac{x}{12}\) și \(\dfrac{5}{4}\) sunt echivalente.
Rezolvare
a) \(84=2^2\cdot3\cdot7\), \(126=2\cdot3^2\cdot7\), deci \((84,126)=2\cdot3\cdot7=42\) și \(\dfrac{84}{126}=\dfrac{2}{3}\).
b) \([6,9]=18\): \(\dfrac{5}{6}=\dfrac{15}{18}\), \(\dfrac{7}{9}=\dfrac{14}{18}\), deci \(\dfrac{5}{6}\gt\dfrac{7}{9}\).
c) \(4x=12\cdot5=60\Rightarrow x=15\).
3.6Mulțimea numerelor raționale
Definiție
Numerele care se pot scrie sub forma unei fracții \(\dfrac{a}{b}\), cu \(a\in\mathbb{Z}\) și \(b\in\mathbb{Z}^*\), se numesc numere raționale:
\[\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\ \middle|\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^*\right\},\qquad \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.\]
Un număr rațional este reprezentat de o infinitate de fracții echivalente: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{-3}{-6}=0{,}5=\dots\) Orice număr întreg este rațional: \(-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{-6}{2}\).
Egalitatea: \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{a}{b}\iff m\cdot b=n\cdot a\).
Relația de egalitate este reflexivă (\(a=a\)), simetrică (\(a=b\Rightarrow b=a\)) și tranzitivă (\(a=b\) și \(b=c\Rightarrow a=c\)), deci este o relație de echivalență.
Semnul: \(\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\)\(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\)
Reprezentarea pe axă
Fiecărui număr rațional îi corespunde un punct pe axa numerelor. Pentru \(\dfrac{a}{b}\) cu \(b\gt0\), împărțim unitatea de măsură în \(b\) părți egale și numărăm \(|a|\) astfel de părți spre dreapta (dacă \(a\gt0\)) sau spre stânga (dacă \(a\lt0\)) față de origine.
De reținut
- Între oricare două numere raționale diferite există o infinitate de numere raționale; de exemplu media lor aritmetică \(\dfrac{a+b}{2}\) este între ele.
- Opusul lui \(\dfrac{a}{b}\) este \(-\dfrac{a}{b}\); modulul are aceleași proprietăți ca la numere întregi: \(\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}\).
Exemplul 3.6
Rezolvare
\(-\dfrac{8}{4}=-2\) și \(\dfrac{12}{3}=4\).
\(A\cap\mathbb{N}=\{0;4\}\); \(A\cap\mathbb{Z}=\{-7;-2;0;4\}\); \(A\setminus\mathbb{Z}=\left\{\dfrac{3}{5};\ {-1{,}5}\right\}\).
3.7Operații cu numere raționale
Adunarea și scăderea: \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}\) – în practică aducem fracțiile la numitorul comun (c.m.m.m.c. al numitorilor).
Înmulțirea: \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\)Împărțirea (\(c\ne0\)): \(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\)
Inversul lui \(\dfrac{a}{b}\ne0\) este \(\dfrac{b}{a}\): \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=1\).Puterea: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
| Proprietatea | Adunarea | Înmulțirea |
|---|---|---|
| Comutativitatea | \(a+b=b+a\) | \(a\cdot b=b\cdot a\) |
| Asociativitatea | \((a+b)+c=a+(b+c)\) | \((ab)c=a(bc)\) |
| Element neutru | \(a+0=0+a=a\) | \(a\cdot1=1\cdot a=a\) |
| Simetricul | opusul: \(a+(-a)=0\) | inversul: \(a\cdot\dfrac{1}{a}=1\ \ (a\ne0)\) |
| Distributivitatea | \(a\cdot(b+c)=ab+ac\)\(a\cdot(b-c)=ab-ac\) | |
Observații
- \(a\cdot(-1)=(-1)\cdot a=-a\); \(a-0=a\); \(0-a=-a\); \(a:1=a\); \(1:a=\dfrac{1}{a}\ (a\ne0)\).
- Dacă \(a=b\), atunci \(a+c=b+c\), \(a-c=b-c\) și \(a\cdot c=b\cdot c\); dacă \(a=b\) și \(c=d\), atunci \(a+c=b+d\) și \(a\cdot c=b\cdot d\).
- Numărul \(0\) nu are invers; împărțirea la \(0\) nu are sens.
Greșeli frecvente
- \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\ne\dfrac{a+c}{b+d}\): \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\), nu \(\dfrac{2}{5}\).
- Se simplifică doar factori, nu termeni: \(\dfrac{2+5}{2}\ne5\).
- La împărțire se inversează împărțitorul (a doua fracție), nu deîmpărțitul.
Exemplul 3.7
Rezolvare
a) \(\dfrac{-5}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{(-5)\cdot3+2\cdot2}{6}=\dfrac{-15+4}{6}=-\dfrac{11}{6}\).
b) \(\dfrac{-7}{4}+\dfrac{4}{-3}=-\dfrac{7}{4}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{-21-16}{12}=-\dfrac{37}{12}\).
c) \(\dfrac{(-2)\cdot5}{3\cdot7}=-\dfrac{10}{21}\).d) \(\dfrac{2\cdot(-1)}{(-5)\cdot11}=\dfrac{-2}{-55}=\dfrac{2}{55}\).e) \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{7}{5}=\dfrac{14}{15}\).
3.8Ordinea efectuării operațiilor
Reguli
- Se efectuează mai întâi calculele din paranteze, din interior spre exterior: întâi parantezele rotunde \((\ )\), apoi cele drepte \([\ ]\), apoi acoladele \(\{\ \}\).
- În fiecare paranteză (sau într-un calcul fără paranteze) ordinea este:
• ridicarea la putere;
• înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta;
• adunările și scăderile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.
Atenție
- Înmulțirea nu are prioritate față de împărțire: \(24:4\cdot2=6\cdot2=12\), nu \(24:8=3\).
- Scăderea nu are prioritate față de adunare: \(10-4+3=9\), nu \(3\).
- Linia de fracție ține loc de paranteză: \(\dfrac{6+4}{2}=(6+4):2=5\).
Exemplul 3.8
Rezolvare
Exemplul 3.9
Rezolvare
Paranteza: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}\). Puterea: \(2^2=4\).
Împărțirea și înmulțirea: \(\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{6}=1\), \(4\cdot\dfrac{1}{4}=1\). Scăderea: \(1-1=0\).
3.9Fracții zecimale și fracții periodice
Definiție
Prin împărțirea numărătorului la numitor, orice număr rațional se scrie ca fracție zecimală:
- finită: \(\dfrac{3}{8}=0{,}375\);
- periodică simplă (perioada începe imediat după virgulă): \(\dfrac{2}{3}=0{,}666\ldots=0{,}(6)\);
- periodică mixtă (între virgulă și perioadă există cifre care nu se repetă): \(\dfrac{5}{6}=0{,}8333\ldots=0{,}8(3)\).
Ce fel de fracție zecimală obținem?
Pentru o fracție ireductibilă \(\dfrac{a}{b}\), descompunem numitorul în factori primi:
- dacă \(b\) are doar factorii primi \(2\) și/sau \(5\) → fracție zecimală finită (\(\dfrac{7}{20}=0{,}35\));
- dacă \(b\) nu are niciunul dintre factorii \(2\) și \(5\) → fracție periodică simplă (\(\dfrac{4}{11}=0{,}(36)\));
- dacă \(b\) are și factori \(2\) sau \(5\), și alți factori primi → fracție periodică mixtă (\(\dfrac{1}{6}=0{,}1(6)\)).
Transformarea în fracție ordinară
Finită: \(\overline{a{,}bc}=\dfrac{\overline{abc}}{100}\)ex.: \(2{,}35=\dfrac{235}{100}=\dfrac{47}{20}\)
Periodică simplă: \(\overline{a{,}(bc)}=\dfrac{\overline{abc}-a}{99}\)ex.: \(0{,}(3)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\), \(\ 0{,}(12)=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}\)
Periodică mixtă: \(\overline{a{,}b(c)}=\dfrac{\overline{abc}-\overline{ab}}{90}\)ex.: \(1{,}2(3)=\dfrac{123-12}{90}=\dfrac{111}{90}=\dfrac{37}{30}\)
Regula generală: la numărător scriem numărul format din toate cifrele (fără virgulă) minus numărul format din cifrele dinaintea perioadei; la numitor scriem atâția de \(9\) câte cifre are perioada, urmați de atâția de \(0\) câte cifre are partea zecimală neperiodică.
Atenție
- \(0{,}(9)=\dfrac{9}{9}=1\), deci o perioadă formată doar din \(9\) nu se folosește.
- Fracțiile zecimale infinite neperiodice (ex. \(\sqrt2=1{,}4142\ldots\), \(\pi=3{,}1415\ldots\)) nu sunt numere raționale – sunt numere iraționale.
- Înainte de a calcula cu fracții periodice, le transformăm în fracții ordinare: \(0{,}(3)+0{,}5=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}\).
Operații cu fracții zecimale. Aproximări
Reguli
- La adunare și scădere se scriu numerele cu virgula sub virgulă: \(3{,}25+1{,}7=4{,}95\).
- La înmulțire se înmulțesc numerele fără virgulă, iar rezultatul are atâtea zecimale câte au factorii împreună: \(1{,}2\cdot0{,}3=0{,}36\).
- Înmulțirea cu \(10,100,1000,\dots\) mută virgula spre dreapta cu \(1,2,3,\dots\) poziții; împărțirea mută virgula spre stânga: \(3{,}75\cdot100=375\), \(\ 42{,}5:10=4{,}25\).
- Rotunjirea la un ordin: dacă prima cifră eliminată este \(0,1,2,3\) sau \(4\), cifra păstrată rămâne; dacă este \(5,6,7,8\) sau \(9\), cifra păstrată crește cu \(1\). Exemplu: \(3{,}1415\approx3{,}14\) (la sutimi), \(2{,}678\approx2{,}7\) (la zecimi).
Exemplul 3.10
Rezolvare
\(0{,}(45)=\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}\); \(0{,}1(6)=\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}\).
\(\dfrac{5}{11}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{30+11}{66}=\dfrac{41}{66}\).
Exemplul 3.11
Rezolvare
Prin împărțire obținem \(\dfrac{1}{7}=0{,}(142857)\): perioada are \(6\) cifre.
\(2026=6\cdot337+4\), deci a \(2026\)-a zecimală este a \(4\)-a cifră a perioadei, adică \(8\).
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).