Dreapta și unghiul – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Noțiunile de bază ale geometriei plane – punct, dreaptă, semidreaptă, segment, unghi – cu pozițiile relative ale dreptelor, calculul cu grade și minute, perechile de unghiuri (adiacente, complementare, suplementare, opuse la vârf) și unghiurile formate de două paralele cu o secantă.
10.1Punct, dreaptă, plan
Punctul, dreapta și planul sunt noțiuni geometrice fundamentale: ele nu se definesc, ci se descriu prin proprietățile lor (axiome). Punctele se notează cu litere mari \((A, B, C,\ldots)\), dreptele cu litere mici \((a, b, d,\ldots)\) sau prin două puncte ale lor \((AB)\), iar planele cu litere grecești \((\alpha, \beta,\ldots)\).
Axioma dreptei
Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. De aceea dreapta care trece prin \(A\) și \(B\) se notează simplu \(AB\).
\(A\in d\) – punctul \(A\) aparține dreptei \(d\) (este situat pe \(d\));\(C\notin d\) – punctul \(C\) nu aparține dreptei \(d\).
Puncte coliniare: trei sau mai multe puncte situate pe aceeași dreaptă.Puncte coplanare: puncte situate în același plan.
Trei puncte necoliniare determină un plan (și un triunghi).
Reține
Dacă \(n\) puncte sunt așezate astfel încât oricare trei să fie necoliniare, atunci ele determină \[\dfrac{n(n-1)}{2}\ \text{drepte}\] (fiecare punct se unește cu celelalte \(n-1\), iar fiecare dreaptă a fost numărată de două ori).
Exemplul 10.1
Rezolvare
Fiecare dreaptă este determinată de o pereche de puncte: \(\dfrac{5\cdot4}{2}=10\) drepte.
10.2Pozițiile relative a două drepte
Două drepte din același plan pot fi:
Concurente
au un singur punct comun: \(a\cap b=\{O\}\).
Paralele
nu au niciun punct comun: \(a\parallel b\), \(a\cap b=\varnothing\).
Confundate
au cel puțin două puncte comune, deci toate: \(a=b\).
Două drepte care nu sunt situate în același plan se numesc necoplanare (ele nu au puncte comune, dar nici nu sunt paralele) – se studiază la geometria în spațiu.
Axioma paralelelor (Euclid)
Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă.
Consecințe: dacă \(a\parallel b\) și \(b\parallel c\), atunci \(a\parallel c\) (sau \(a=c\)) – tranzitivitatea paralelismului.
Dacă \(a\parallel b\) și o dreaptă \(c\) intersectează dreapta \(a\), atunci \(c\) intersectează și dreapta \(b\).
Exemplul 10.2
Rezolvare
Presupunem că \(c\parallel b\). Atunci prin punctul \(P\) ar trece două paralele distincte la dreapta \(b\): dreapta \(a\) și dreapta \(c\). Aceasta contrazice axioma paralelelor. Deci \(c\) intersectează dreapta \(b\) (dreptele \(c\) și \(b\) sunt concurente).
10.3Semidreapta și segmentul. Mijlocul unui segment
Definiții
Un punct \(O\) al unei drepte împarte dreapta în două semidrepte opuse. Punctul \(O\) se numește originea semidreptelor. Notăm \([OA\) semidreapta închisă (conține originea) și \((OA\) semidreapta deschisă (fără origine).
Segmentul \([AB]\) este mulțimea formată din punctele \(A\), \(B\) (numite capete) și toate punctele dreptei \(AB\) situate între \(A\) și \(B\).
Lungimea segmentului \([AB]\) este distanța dintre capetele sale și se notează \(AB\).
Segmente congruente: \([AB]\equiv[CD]\iff AB=CD\).
Mijlocul segmentului \([AB]\) este punctul \(M\in[AB]\) cu \([AM]\equiv[MB]\): \[AM=MB=\dfrac{AB}{2}\]
Dacă punctul \(B\) se află între \(A\) și \(C\) (pe aceeași dreaptă), atunci \(AB+BC=AC\).
Atenție
\([AB]\) este segmentul (o figură), iar \(AB\) este lungimea lui (un număr). Scriem \([AB]\equiv[CD]\), dar \(AB=CD\). Mijlocul unui segment este unic.
Exemplul 10.3
Rezolvare
\(MB=\dfrac{AB}{2}=3\) cm și \(BN=\dfrac{BC}{2}=5\) cm. Cum \(B\) este între \(M\) și \(N\): \(MN=MB+BN=3+5=8\) cm.
Observăm că \(MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{16}{2}=8\) cm.
Exemplul 10.4
Rezolvare
\(AM=MB\Rightarrow 2x+1=7-x\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2\). Atunci \(AM=5\) cm și \(AB=2\cdot AM=10\) cm.
10.4Unghiul. Măsura unui unghi. Clasificare
Definiție
Figura geometrică formată din două semidrepte care au originea comună se numește unghi. Originea comună este vârful unghiului, iar semidreptele sunt laturile lui. Notăm \(\sphericalangle AOB\) (vârful se scrie la mijloc) sau \(\sphericalangle O\), dacă nu există confuzii.
Măsura unui unghi se exprimă în grade și se notează \(m(\sphericalangle AOB)\). Instrumentul de măsură este raportorul.
\[1^\circ=60^{\prime}\ \text{(minute)},\qquad 1^{\prime}=60^{\prime\prime}\ \text{(secunde)},\qquad 1^\circ=3600^{\prime\prime}\]
Unghiuri congruente: \(\sphericalangle AOB\equiv\sphericalangle CPD\iff m(\sphericalangle AOB)=m(\sphericalangle CPD)\).
Clasificarea unghiurilor
| Unghiul este | dacă |
|---|---|
| nul | laturile coincid: \(m=0^\circ\) |
| ascuțit | \(0^\circ\lt m\lt 90^\circ\) |
| drept | \(m=90^\circ\) (laturile sunt perpendiculare) |
| obtuz | \(90^\circ\lt m\lt 180^\circ\) |
| alungit | laturile sunt semidrepte opuse: \(m=180^\circ\) |
Un unghi care nu este nici nul, nici alungit se numește unghi propriu; măsura lui este cuprinsă strict între \(0^\circ\) și \(180^\circ\).
Calcule cu măsuri de unghiuri
Metodă
Se lucrează separat cu grade, minute și secunde. La adunare, fiecare 60 de secunde se transformă într-un minut, iar fiecare 60 de minute într-un grad. La scădere, dacă nu ajung minutele (secundele), se „împrumută” un grad \(=60^{\prime}\) (un minut \(=60^{\prime\prime}\)).
Exemplul 10.5
Rezolvare
a) \(62^\circ45^{\prime}57^{\prime\prime}+18^\circ29^{\prime}36^{\prime\prime}=80^\circ74^{\prime}93^{\prime\prime}=80^\circ75^{\prime}33^{\prime\prime}=81^\circ15^{\prime}33^{\prime\prime}\) (am folosit \(93^{\prime\prime}=1^{\prime}33^{\prime\prime}\) și \(75^{\prime}=1^\circ15^{\prime}\)).
b) \(135^\circ18^{\prime}12^{\prime\prime}=134^\circ77^{\prime}72^{\prime\prime}\), deci \(134^\circ77^{\prime}72^{\prime\prime}-42^\circ36^{\prime}25^{\prime\prime}=92^\circ41^{\prime}47^{\prime\prime}\).
c) \(3\cdot14^\circ53^{\prime}=42^\circ159^{\prime}=44^\circ39^{\prime}\) (deoarece \(159^{\prime}=2^\circ39^{\prime}\)).
d) \(125^\circ:4=124^\circ60^{\prime}:4=31^\circ15^{\prime}\).
Exemplul 10.6
Rezolvare
\(0{,}25^\circ=0{,}25\cdot60^{\prime}=15^{\prime}\), deci \(37{,}25^\circ=37^\circ15^{\prime}\).\(36^{\prime}=\dfrac{36}{60}^\circ=0{,}6^\circ\), deci \(18^\circ36^{\prime}=18{,}6^\circ\).
10.5Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi
Unghiuri adiacente
Două unghiuri proprii sunt adiacente dacă au vârful comun, o latură comună, iar celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune (interioarele lor nu au puncte comune).
\(m(\sphericalangle AOC)=m(\sphericalangle AOB)+m(\sphericalangle BOC)\)
Bisectoarea
Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul lui, care formează cu laturile două unghiuri congruente.
\(m(\sphericalangle AOM)=m(\sphericalangle MOB)=\dfrac{m(\sphericalangle AOB)}{2}\)
Reține
Bisectoarea unui unghi este unică. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare (Exemplul 10.8).
Exemplul 10.7
Rezolvare
\(m(\sphericalangle MOB)=\dfrac{40^\circ}{2}=20^\circ\), \(m(\sphericalangle BON)=\dfrac{70^\circ}{2}=35^\circ\). Unghiurile \(MOB\) și \(BON\) sunt adiacente, deci \(m(\sphericalangle MON)=20^\circ+35^\circ=55^\circ\).
În general, \(m(\sphericalangle MON)=\dfrac{m(\sphericalangle AOC)}{2}=\dfrac{110^\circ}{2}=55^\circ\).
Exemplul 10.8
Rezolvare
Notăm \(m(\sphericalangle AOB)=2x\) și \(m(\sphericalangle BOC)=2y\). Unghiul \(AOC\) este alungit, deci \(2x+2y=180^\circ\), adică \(x+y=90^\circ\).
\(m(\sphericalangle MON)=m(\sphericalangle MOB)+m(\sphericalangle BON)=x+y=90^\circ\), deci \(OM\perp ON\).
10.6Unghiuri complementare, suplementare, opuse la vârf
Definiții
Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este \(90^\circ\).Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este \(180^\circ\).
Două unghiuri cu același vârf, care au laturile unuia în prelungirea laturilor celuilalt, se numesc unghiuri opuse la vârf.
Complementul unui unghi de măsură \(x\) (cu \(x\lt 90^\circ\)): \(90^\circ-x\).Suplementul unui unghi de măsură \(x\): \(180^\circ-x\).
Teoremă: două unghiuri opuse la vârf sunt congruente.
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct, de aceeași parte a unei drepte, este \(180^\circ\); suma măsurilor tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct este \(360^\circ\).
Unghiuri opuse la vârf
\(\sphericalangle 1\equiv\sphericalangle 3\) și \(\sphericalangle 2\equiv\sphericalangle 4\), pentru că \(\sphericalangle1\) și \(\sphericalangle3\) au același suplement, \(\sphericalangle 2\).
Unghiuri în jurul unui punct
Unghiurile adiacente \(x\) și \(y\) formează un unghi alungit, deci sunt adiacente suplementare.
Atenție
Doar unghiurile ascuțite au complement. Două unghiuri complementare (suplementare) nu trebuie să fie neapărat adiacente – contează doar suma măsurilor.
Exemplul 10.9
Rezolvare
Suplementul: \(180^\circ-75^\circ29^{\prime}17^{\prime\prime}=179^\circ59^{\prime}60^{\prime\prime}-75^\circ29^{\prime}17^{\prime\prime}=104^\circ30^{\prime}43^{\prime\prime}\).
Complementul: \(90^\circ-75^\circ29^{\prime}17^{\prime\prime}=89^\circ59^{\prime}60^{\prime\prime}-75^\circ29^{\prime}17^{\prime\prime}=14^\circ30^{\prime}43^{\prime\prime}\).
Exemplul 10.10
Rezolvare
Fie \(x\) măsura unghiului. \(180^\circ-x=3(90^\circ-x)\Rightarrow 180^\circ-x=270^\circ-3x\Rightarrow 2x=90^\circ\Rightarrow x=45^\circ\).
Exemplul 10.11
Rezolvare
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: \(3x+10^\circ=5x-30^\circ\Rightarrow 2x=40^\circ\Rightarrow x=20^\circ\). Ele măsoară câte \(3\cdot20^\circ+10^\circ=70^\circ\).
Celelalte două unghiuri sunt suplementele lor: \(180^\circ-70^\circ=110^\circ\). Unghiurile sunt: \(70^\circ,\ 110^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ\).
10.7Unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă
Două drepte \(a\) și \(b\), tăiate de o a treia dreaptă \(s\) (numită secantă), formează 8 unghiuri. Unghiurile situate între \(a\) și \(b\) sunt interne (\(3, 4, 5, 6\)), iar celelalte sunt externe (\(1, 2, 7, 8\)).
| Perechea de unghiuri | Exemple (din figură) | Dacă \(a\parallel b\), atunci sunt |
|---|---|---|
| alterne interne | \(\sphericalangle3\) și \(\sphericalangle5\); \(\sphericalangle4\) și \(\sphericalangle6\) | congruente |
| alterne externe | \(\sphericalangle1\) și \(\sphericalangle7\); \(\sphericalangle2\) și \(\sphericalangle8\) | congruente |
| corespondente | \(\sphericalangle1\) și \(\sphericalangle5\); \(\sphericalangle2\) și \(\sphericalangle6\); \(\sphericalangle3\) și \(\sphericalangle7\); \(\sphericalangle4\) și \(\sphericalangle8\) | congruente |
| interne de aceeași parte a secantei | \(\sphericalangle3\) și \(\sphericalangle6\); \(\sphericalangle4\) și \(\sphericalangle5\) | suplementare |
| externe de aceeași parte a secantei | \(\sphericalangle1\) și \(\sphericalangle8\); \(\sphericalangle2\) și \(\sphericalangle7\) | suplementare |
Teoremă (și reciproca ei)
Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă și numai dacă formează o pereche de unghiuri alterne interne congruente:
\[a\parallel b\iff\sphericalangle3\equiv\sphericalangle5.\]
Echivalent: o pereche de unghiuri corespondente (sau alterne externe) congruente, sau o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare.
Reține
Când \(a\parallel b\), toate cele 8 unghiuri au doar două măsuri: unghiurile ascuțite sunt congruente între ele (în figură \(2, 4, 6, 8\)), unghiurile obtuze sunt congruente între ele (\(1, 3, 5, 7\)), iar un unghi ascuțit și unul obtuz sunt suplementare. Teorema reciprocă este metoda de bază pentru a demonstra că două drepte sunt paralele.
Exemplul 10.12
Rezolvare
\(\sphericalangle4\) este opus la vârf cu \(\sphericalangle2\): \(m(\sphericalangle4)=55^\circ\). Apoi \(\sphericalangle6\equiv\sphericalangle2\) (corespondente) și \(\sphericalangle8\equiv\sphericalangle4\) (corespondente): \(55^\circ\).
\(\sphericalangle1\) și \(\sphericalangle2\) sunt adiacente suplementare: \(m(\sphericalangle1)=180^\circ-55^\circ=125^\circ\). La fel, \(m(\sphericalangle3)=m(\sphericalangle5)=m(\sphericalangle7)=125^\circ\).
Exemplul 10.13
Rezolvare
Unghiurile \(3\) și \(6\) sunt interne de aceeași parte a secantei, deci \(a\parallel b\iff m(\sphericalangle3)+m(\sphericalangle6)=180^\circ\):
\(3x-5^\circ+2x+10^\circ=180^\circ\Rightarrow 5x=175^\circ\Rightarrow x=35^\circ\). Atunci \(m(\sphericalangle3)=100^\circ\) și \(m(\sphericalangle6)=80^\circ\).
Exemplul 10.14
Rezolvare
Ducem prin \(M\) dreapta \(c\parallel a\); atunci și \(c\parallel b\) (tranzitivitate). Unghiul format de \(MA\) cu \(c\) și unghiul de \(40^\circ\) sunt alterne interne (secanta \(AM\)), deci congruente; analog, unghiul format de \(MB\) cu \(c\) are \(30^\circ\).
\(m(\sphericalangle AMB)=40^\circ+30^\circ=70^\circ\).
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).