Unități de măsură – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Unitățile de măsură pentru lungime, arie, volum, capacitate, masă și timp, cu tabelele de transformare, legăturile dintre ele și exemple rezolvate, necesare în toate problemele de geometrie și de aplicații practice.

9.1Unități de lungime

Unitatea principală

Unitatea principală de măsură pentru lungime este metrul (\(\text{m}\)). Multiplii metrului sunt decametrul (\(\text{dam}\)), hectometrul (\(\text{hm}\)) și kilometrul (\(\text{km}\)); submultiplii sunt decimetrul (\(\text{dm}\)), centimetrul (\(\text{cm}\)) și milimetrul (\(\text{mm}\)).

	Multiplii			Unitatea principală	Submultiplii
Unitatea	\(\text{km}\)	\(\text{hm}\)	\(\text{dam}\)	\(\text{m}\)	\(\text{dm}\)	\(\text{cm}\)	\(\text{mm}\)
Valoarea în metri	\(1000\)	\(100\)	\(10\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)
Ca putere a lui \(10\) (în \(\text{m}\))	\(10^3\)	\(10^2\)	\(10\)	\(1\)	\(10^{-1}\)	\(10^{-2}\)	\(10^{-3}\)
\(1\text{ m}\) =	\(0{,}001\)	\(0{,}01\)	\(0{,}1\)	\(1\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)

Fiecare unitate de lungime este de \(10\) ori mai mare decât cea din dreapta ei.

De la o unitate mai mare la una mai mică înmulțim cu \(10\) pentru fiecare pas (virgula se mută la dreapta); de la una mai mică la una mai mare împărțim la \(10\) pentru fiecare pas (virgula se mută la stânga).

\(1\text{ km}=1000\text{ m}\)\(1\text{ m}=10\text{ dm}=100\text{ cm}=1000\text{ mm}\)

Exemplul 9.1

Transformați: a) \(321{,}15\text{ dm}\) în \(\text{m}\), \(\text{cm}\) și \(\text{mm}\); b) \(9485\text{ m}\) în \(\text{dam}\), \(\text{hm}\) și \(\text{km}\).

Rezolvare

a) \(321{,}15\text{ dm}=32{,}115\text{ m}=3211{,}5\text{ cm}=32\,115\text{ mm}\).

b) \(9485\text{ m}=948{,}5\text{ dam}=94{,}85\text{ hm}=9{,}485\text{ km}\).

Perimetre: pătrat \(P=4\ell\)dreptunghi \(P=2(L+\ell)\)triunghi \(P=a+b+c\)

Exemplul 9.2

Un dreptunghi are lungimea de \(1{,}2\text{ m}\) și lățimea de \(45\text{ cm}\). Calculați perimetrul dreptunghiului, în metri.

Rezolvare

Exprimăm ambele dimensiuni în centimetri: \(L=120\text{ cm}\), \(\ell=45\text{ cm}\). \(P=2(120+45)=330\text{ cm}=3{,}3\text{ m}\).

Atenție

Înainte de orice calcul (sumă, perimetru, arie, volum), toate lungimile trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură. Rezultatul se scrie în unitatea cerută în enunț.

↑ Cuprins

9.2Unități de arie

Unitatea principală

Unitatea principală pentru măsurarea suprafețelor este metrul pătrat (\(\text{m}^2\)), adică aria unui pătrat cu latura de \(1\text{ m}\). Multiplii sunt \(\text{dam}^2\), \(\text{hm}^2\), \(\text{km}^2\), iar submultiplii sunt \(\text{dm}^2\), \(\text{cm}^2\), \(\text{mm}^2\).

	Multiplii			Unitatea principală	Submultiplii
Unitatea	\(\text{km}^2\)	\(\text{hm}^2\)	\(\text{dam}^2\)	\(\text{m}^2\)	\(\text{dm}^2\)	\(\text{cm}^2\)	\(\text{mm}^2\)
Valoarea în \(\text{m}^2\)	\(10^6\)	\(10^4\)	\(10^2\)	\(1\)	\(10^{-2}\)	\(10^{-4}\)	\(10^{-6}\)
\(1\text{ m}^2\) =	\(10^{-6}\)	\(10^{-4}\)	\(10^{-2}\)	\(1\)	\(10^2\)	\(10^4\)	\(10^6\)

Fiecare unitate de arie este de \(100\) de ori mai mare decât cea din dreapta ei (pasul este \(10\cdot10=100\)): de exemplu, \(1\text{ dm}^2=10\text{ cm}\cdot10\text{ cm}=100\text{ cm}^2\).

Unități agrare: \(1\text{ ar}=1\text{ a}=1\text{ dam}^2=100\text{ m}^2\)\(1\text{ hectar}=1\text{ ha}=1\text{ hm}^2=10\,000\text{ m}^2=100\text{ ari}\)

\(1\text{ km}^2=100\text{ ha}\)

Exemplul 9.3

Transformați: a) \(2{,}75\text{ hm}^2\) în \(\text{dam}^2\) și \(\text{km}^2\); b) \(15{,}25\text{ dm}^2\) în \(\text{cm}^2\) și \(\text{mm}^2\).

Rezolvare

a) \(2{,}75\text{ hm}^2=275\text{ dam}^2=0{,}0275\text{ km}^2\).

b) \(15{,}25\text{ dm}^2=1525\text{ cm}^2=152\,500\text{ mm}^2\).

Arii: pătrat \(\mathcal{A}=\ell^2\)dreptunghi \(\mathcal{A}=L\cdot\ell\)

Exemplul 9.4

Un teren în formă de dreptunghi are dimensiunile de \(120\text{ m}\) și \(50\text{ m}\). Exprimați aria terenului în ari și în hectare.

Rezolvare

\(\mathcal{A}=120\cdot50=6000\text{ m}^2\). Cum \(1\text{ ar}=100\text{ m}^2\), avem \(6000\text{ m}^2=60\text{ ari}\); cum \(1\text{ ha}=10\,000\text{ m}^2\), avem \(6000\text{ m}^2=0{,}6\text{ ha}\).

Atenție

Greșeala cea mai frecventă: transformarea ariilor cu pasul \(10\). Corect: \(1\text{ m}^2=100\text{ dm}^2=10\,000\text{ cm}^2\), nu \(1\text{ m}^2=100\text{ cm}^2\). La arii virgula se mută cu câte două cifre pentru fiecare pas.

↑ Cuprins

9.3Unități de volum

Unitatea principală

Unitatea principală pentru măsurarea volumului este metrul cub (\(\text{m}^3\)), adică volumul unui cub cu muchia de \(1\text{ m}\). Multiplii sunt \(\text{dam}^3\), \(\text{hm}^3\), \(\text{km}^3\), iar submultiplii sunt \(\text{dm}^3\), \(\text{cm}^3\), \(\text{mm}^3\).

	Multiplii			Unitatea principală	Submultiplii
Unitatea	\(\text{km}^3\)	\(\text{hm}^3\)	\(\text{dam}^3\)	\(\text{m}^3\)	\(\text{dm}^3\)	\(\text{cm}^3\)	\(\text{mm}^3\)
Valoarea în \(\text{m}^3\)	\(10^9\)	\(10^6\)	\(10^3\)	\(1\)	\(10^{-3}\)	\(10^{-6}\)	\(10^{-9}\)
\(1\text{ m}^3\) =	\(10^{-9}\)	\(10^{-6}\)	\(10^{-3}\)	\(1\)	\(10^3\)	\(10^6\)	\(10^9\)

Fiecare unitate de volum este de \(1000\) de ori mai mare decât cea din dreapta ei (pasul este \(10\cdot10\cdot10=1000\)): \(1\text{ m}^3=1000\text{ dm}^3\), \(1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3\).

Volume: cub \(V=\ell^3\)paralelipiped dreptunghic \(V=L\cdot\ell\cdot h\)

Exemplul 9.5

Transformați: a) \(0{,}021\text{ dm}^3\) în \(\text{cm}^3\) și \(\text{mm}^3\); b) \(49\text{ dam}^3\) în \(\text{hm}^3\) și \(\text{m}^3\).

Rezolvare

a) \(0{,}021\text{ dm}^3=21\text{ cm}^3=21\,000\text{ mm}^3\).

b) \(49\text{ dam}^3=0{,}049\text{ hm}^3=49\,000\text{ m}^3\).

Exemplul 9.6

Un cub are muchia de \(2\text{ dm}\). Calculați volumul cubului în \(\text{cm}^3\).

Rezolvare

Varianta 1: \(V=2^3=8\text{ dm}^3=8000\text{ cm}^3\). Varianta 2: \(\ell=20\text{ cm}\), \(V=20^3=8000\text{ cm}^3\). Se obține același rezultat.

↑ Cuprins

9.4Unități de capacitate

Unitatea principală

Capacitatea unui vas este volumul de lichid pe care îl poate conține. Unitatea principală de măsură a capacității este litrul (notat \(\ell\), l sau L). Multiplii sunt decalitrul (\(\text{dal}\)), hectolitrul (\(\text{hl}\)), kilolitrul (\(\text{kl}\)); submultiplii sunt decilitrul (\(\text{dl}\)), centilitrul (\(\text{cl}\)), mililitrul (\(\text{ml}\)).

	Multiplii			Unitatea principală	Submultiplii
Unitatea	\(\text{kl}\)	\(\text{hl}\)	\(\text{dal}\)	\(\ell\)	\(\text{dl}\)	\(\text{cl}\)	\(\text{ml}\)
Valoarea în litri	\(1000\)	\(100\)	\(10\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)
\(1\ \ell\) =	\(0{,}001\)	\(0{,}01\)	\(0{,}1\)	\(1\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)

Pasul între unitățile de capacitate este \(10\) (ca la lungime).

Legătura cu unitățile de volum:

\(\boxed{1\ \ell=1\text{ dm}^3}\)\(1\text{ ml}=1\text{ cm}^3\)\(1\text{ m}^3=1000\ \ell=10\text{ hl}=1\text{ kl}\)

Exemplul 9.7

Transformați: a) \(145\ \ell\) în \(\text{hl}\) și \(\text{cl}\); b) \(4{,}18\text{ hl}\) în \(\text{kl}\), \(\ell\) și \(\text{cl}\).

Rezolvare

a) \(145\ \ell=1{,}45\text{ hl}=14\,500\text{ cl}\).

b) \(4{,}18\text{ hl}=0{,}418\text{ kl}=418\ \ell=41\,800\text{ cl}\).

Exemplul 9.8

Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile interioare de \(50\text{ cm}\), \(30\text{ cm}\) și \(40\text{ cm}\). Câți litri de apă încap în acvariu?

Rezolvare

\(V=50\cdot30\cdot40=60\,000\text{ cm}^3=60\text{ dm}^3\). Cum \(1\text{ dm}^3=1\ \ell\), în acvariu încap \(60\) de litri. (Sau direct în decimetri: \(5\cdot3\cdot4=60\text{ dm}^3\).)

Atenție

Nu amestecați pașii: între unitățile de capacitate pasul este \(10\), dar între unitățile de volum este \(1000\). De aceea \(1\text{ m}^3=1000\ \ell\), deși \(\text{m}^3\) și \(\text{dm}^3\) sunt la „un singur pas” în tabelul volumelor. Cea mai sigură cale: transformați volumul în \(\text{dm}^3\) și apoi scrieți direct litrii.

↑ Cuprins

9.5Unități de masă

Unitatea principală

În Sistemul Internațional, unitatea de măsură pentru masă este kilogramul (\(\text{kg}\)). Multiplii și submultiplii se formează pornind de la gram (\(\text{g}\)): multiplii \(\text{dag}\), \(\text{hg}\), \(\text{kg}\) și submultiplii \(\text{dg}\), \(\text{cg}\), \(\text{mg}\). Pentru mase mari se folosesc și chintalul (\(\text{q}\)) și tona (\(\text{t}\)).

Unitatea	\(\text{kg}\)	\(\text{hg}\)	\(\text{dag}\)	\(\text{g}\)	\(\text{dg}\)	\(\text{cg}\)	\(\text{mg}\)
Valoarea în grame	\(1000\)	\(100\)	\(10\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)
\(1\text{ g}\) =	\(0{,}001\)	\(0{,}01\)	\(0{,}1\)	\(1\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)

Pasul între unitățile din tabel este \(10\).

\(1\text{ kg}=1000\text{ g}\)\(1\text{ q}=100\text{ kg}\)\(1\text{ t}=10\text{ q}=1000\text{ kg}\)

Exemplul 9.9

Transformați \(25{,}3\text{ hg}\) în \(\text{dag}\), \(\text{kg}\) și \(\text{g}\).

Rezolvare

\(25{,}3\text{ hg}=253\text{ dag}=2{,}53\text{ kg}=2530\text{ g}\).

Exemplul 9.10

Calculați, în kilograme: \(2{,}5\text{ t}+3\text{ q}+450\text{ kg}\).

Rezolvare

\(2{,}5\text{ t}=2500\text{ kg}\), \(3\text{ q}=300\text{ kg}\). Suma: \(2500+300+450=3250\text{ kg}\) \((=3{,}25\text{ t})\).

Observație

Un litru de apă are masa de aproximativ \(1\text{ kg}\) (\(1\text{ cm}^3\) de apă – aproximativ \(1\text{ g}\)). Pentru alte substanțe se folosește densitatea: \(m=\rho\cdot V\).

↑ Cuprins

9.6Unități de timp. Viteza

Unitatea principală

Unitatea principală de măsură pentru timp este secunda (\(\text{s}\)). Unitățile de timp nu respectă pasul \(10\):

\(1\text{ min}=60\text{ s}\)\(1\text{ h}=60\text{ min}=3600\text{ s}\)\(1\text{ zi}=24\text{ h}\)\(1\text{ săptămână}=7\text{ zile}\)

\(1\text{ an}=12\text{ luni}=365\text{ zile}\) (an bisect: \(366\) zile)deceniu \(=10\) anisecol \(=100\) de animileniu \(=1000\) de ani

Exemplul 9.11

a) Exprimați \(372\text{ s}\) în minute și secunde. b) Transformați \(0{,}4\text{ h}\) în minute și în secunde. c) Scrieți \(2\text{ h}\ 15\text{ min}\) în ore.

Rezolvare

a) \(372=6\cdot60+12\), deci \(372\text{ s}=6\text{ min}\ 12\text{ s}\).

b) \(0{,}4\text{ h}=0{,}4\cdot60\text{ min}=24\text{ min}=24\cdot60\text{ s}=1440\text{ s}\).

c) \(15\text{ min}=\dfrac{15}{60}\text{ h}=0{,}25\text{ h}\), deci \(2\text{ h}\ 15\text{ min}=2{,}25\text{ h}\).

Exemplul 9.12

Calculați \(48\text{ min}\ 27\text{ s}+5\text{ h}\ 56\text{ s}\).

Rezolvare

Adunăm separat orele, minutele și secundele: \(5\text{ h}\ 48\text{ min}\ 83\text{ s}\). Cum \(83\text{ s}=1\text{ min}\ 23\text{ s}\), rezultatul este \(5\text{ h}\ 49\text{ min}\ 23\text{ s}\).

Viteza medie: \(v=\dfrac{d}{t}\)\(d=v\cdot t\)\(t=\dfrac{d}{v}\)

\(1\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\)(din \(\text{km/h}\) în \(\text{m/s}\) se împarte la \(3{,}6\))

Exemplul 9.13

Un autoturism merge cu viteza constantă de \(72\text{ km/h}\). Exprimați viteza în \(\text{m/s}\) și aflați ce distanță parcurge în \(15\) minute.

Rezolvare

\(72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}=\dfrac{72\,000\text{ m}}{3600\text{ s}}=20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\).

\(15\text{ min}=0{,}25\text{ h}\), deci \(d=72\cdot0{,}25=18\text{ km}\).

Atenție

\(1{,}5\text{ h}\) înseamnă \(1\text{ h}\ 30\text{ min}\), nu \(1\text{ h}\ 50\text{ min}\): partea zecimală a orei se înmulțește cu \(60\).
La adunarea/scăderea duratelor, \(60\) de secunde formează un minut, iar \(60\) de minute formează o oră (la scădere „împrumutăm” \(60\), nu \(100\)).

↑ Cuprins

9.7Unități monetare

Moneda națională

Moneda națională a României este leul (simbol RON), care se împarte în bani: \(1\text{ leu}=100\text{ bani}\). Sumele se scriu de obicei cu două zecimale: \(12{,}05\) lei înseamnă \(12\) lei și \(5\) bani.

Schimbul valutar: \(\text{suma în lei}=\text{suma în valută}\cdot\text{cursul de schimb}\)

Exemplul 9.14

Cursul de schimb este \(1\) euro \(=5\) lei. Câți lei costă un produs de \(24{,}50\) euro? Câți euro reprezintă \(120\) de lei?

Rezolvare

\(24{,}5\cdot5=122{,}5\), deci produsul costă \(122{,}50\) lei, adică \(122\) lei și \(50\) de bani. Iar \(120:5=24\) de euro.

Reține

În problemele cu prețuri, toate sumele se exprimă în aceeași unitate (lei sau bani) înainte de calcul; de exemplu, \(3\) lei și \(40\) de bani \(=3{,}40\) lei \(=340\) de bani.

↑ Cuprins

Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).