Rapoarte, proporții, procente. Probabilități. Date statistice – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Rapoarte și proporții, mărimi direct și invers proporționale, regula de trei simplă, calculul procentual, mediile, probabilitatea unui eveniment și citirea datelor din tabele și diagrame, cu exemple rezolvate în stilul subiectelor de Evaluare Națională.

8.1Raportul a două numere

Definiție

Se numește raportul numerelor \(a\) și \(b\), cu \(b\ne0\), câtul lor scris sub forma \(\dfrac{a}{b}\) (sau \(a:b\)). Numerele \(a\) și \(b\) sunt termenii raportului, iar rezultatul împărțirii \(a:b\) este valoarea raportului.

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}=\dfrac{a:k}{b:k},\quad k\ne0\)\(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=1\ \ (a,b\ne0)\)

Raport procentual: \(\dfrac{p}{100}=p\%\)Scara unei hărți: \(\dfrac{\text{distanța pe hartă}}{\text{distanța reală}}\)

Un raport nu se schimbă dacă amplificăm sau simplificăm ambii termeni cu același număr nenul.
Raportul a două mărimi de același fel se calculează numai după ce ambele sunt exprimate în aceeași unitate de măsură; rezultatul nu are unitate de măsură.
Un raport cu numitorul \(100\) se numește raport procentual (procent), iar unul cu numitorul \(1000\) – raport promilic: \(\dfrac{p}{1000}=p‰\).

Exemplul 8.1

Calculați raportul dintre \(36\) cm și \(1{,}2\) m.

Rezolvare

Transformăm în aceeași unitate: \(1{,}2\text{ m}=120\text{ cm}\). Atunci \(\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}\) (am simplificat cu \(12\)).

Exemplul 8.2

Pe o hartă la scara \(1:200\,000\), distanța dintre două localități este de \(6\) cm. Aflați distanța reală, în kilometri.

Rezolvare

Distanța reală este de \(200\,000\) de ori mai mare: \(6\cdot200\,000=1\,200\,000\text{ cm}=12\,000\text{ m}=12\text{ km}\).

Atenție

Ordinea termenilor contează: raportul dintre \(a\) și \(b\) este \(\dfrac{a}{b}\), nu \(\dfrac{b}{a}\). Raportul dintre \(3\) și \(5\) este \(\dfrac{3}{5}\), iar raportul dintre \(5\) și \(3\) este \(\dfrac{5}{3}\).

↑ Cuprins

8.2Proporții

Definiție

O egalitate de două rapoarte, \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) (cu \(b,d\ne0\)), se numește proporție. Numerele \(a\) și \(d\) sunt extremii, iar \(b\) și \(c\) sunt mezii proporției.

Proprietatea fundamentală a proporțiilor

Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:

\[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\quad\Longleftrightarrow\quad a\cdot d=b\cdot c.\]

Aflarea unui termen necunoscut („produsul pe cruce”):

\(\dfrac{x}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow x=\dfrac{b\cdot c}{d}\)\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow x=\dfrac{a\cdot d}{c}\)

Un extrem = produsul mezilor împărțit la celălalt extrem; un mez = produsul extremilor împărțit la celălalt mez.

Exemplul 8.3

Aflați \(x\) din proporțiile: a) \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{10}{15}\); b) \(\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{12}{9}\).

Rezolvare

a) \(15x=6\cdot10\Rightarrow x=\dfrac{60}{15}=4\).

b) \(12(x-1)=4\cdot9=36\Rightarrow x-1=3\Rightarrow x=4\).

Proporții derivate

Dacă \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) (toți termenii nenuli acolo unde apar la numitor), atunci se obțin următoarele proporții, numite proporții derivate:

Operația	Proporția obținută
Schimbarea mezilor între ei	\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Schimbarea extremilor între ei	\(\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}\)
Inversarea rapoartelor	\(\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)
Amplificarea unui raport / a numărătorilor	\(\dfrac{k\cdot a}{k\cdot b}=\dfrac{c}{d}\), \(\quad\dfrac{k\cdot a}{b}=\dfrac{k\cdot c}{d}\)
Adunarea/scăderea numitorului la numărător	\(\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}\)
Adunarea/scăderea numărătorului la numitor	\(\dfrac{a}{a\pm b}=\dfrac{c}{c\pm d}\)
Suma și diferența termenilor	\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\) \((a\ne b,\ c\ne d)\)
Adunarea/scăderea rapoartelor termen cu termen	\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\pm c}{b\pm d}\) \((b\pm d\ne0)\)

Exemplul 8.4

Știind că \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}\), calculați \(\dfrac{a+b}{b}\) și \(\dfrac{2a+3b}{4a-b}\).

Rezolvare

Din proporția derivată: \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{3+5}{5}=\dfrac{8}{5}\).

Pentru al doilea raport notăm \(a=3k\), \(b=5k\), \(k\ne0\): \(\dfrac{2a+3b}{4a-b}=\dfrac{6k+15k}{12k-5k}=\dfrac{21k}{7k}=3\).

Medie proporțională

Numărul \(x\gt0\) este medie proporțională (medie geometrică) a numerelor pozitive \(a\) și \(b\) dacă \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b}\), adică \(x^2=a\cdot b\), deci \(x=\sqrt{a\cdot b}\).

Atenție

Nu „simplificați” termeni ai unei sume: \(\dfrac{a+2}{b+2}\) nu este egal cu \(\dfrac{a}{b}\) în general. De asemenea, \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) nu implică \(\dfrac{a+1}{b+1}=\dfrac{c+1}{d+1}\).

↑ Cuprins

8.3Șir de rapoarte egale

Proprietate

Dacă \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dots=\dfrac{a_n}{b_n}=k\), atunci raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor are aceeași valoare:

\[\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dots=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=k.\]

Mai general, pentru orice numere \(m_1,m_2,\dots,m_n\) (cu numitorul rezultat nenul): \(\dfrac{m_1a_1+m_2a_2+\dots+m_na_n}{m_1b_1+m_2b_2+\dots+m_nb_n}=k\).

Metoda coeficientului de proporționalitate:

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k\ \Rightarrow\ x=a\cdot k,\ \ y=b\cdot k,\ \ z=c\cdot k\)

Se înlocuiesc \(x,y,z\) în relația dată în problemă și se află \(k\).

Exemplul 8.5

Aflați numerele \(x,y,z\) știind că \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\) și \(x+y+z=40\).

Rezolvare

Folosind proprietatea șirului de rapoarte egale: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x+y+z}{2+3+5}=\dfrac{40}{10}=4\). Deci \(x=8\), \(y=12\), \(z=20\).

Exemplul 8.6

Numerele \(a\) și \(b\) verifică \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}\) și \(2a+b=30\). Calculați \(a\) și \(b\).

Rezolvare

Notăm \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=k\), deci \(a=3k\), \(b=4k\). Atunci \(6k+4k=30\Rightarrow k=3\), așadar \(a=9\) și \(b=12\).

Observație

Scrierea „\(x,y,z\) sunt proporționale cu \(2,3,5\)” înseamnă exact \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\). Uneori se notează \(x:y:z=2:3:5\).

↑ Cuprins

8.4Mărimi direct și invers proporționale

Direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește (scade) de un număr de ori, cealaltă crește (scade) de același număr de ori; raportul valorilor corespunzătoare este constant.

\(\{x,y,z\}\) d.p. cu \(\{a,b,c\}\):

\[\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k\]

Invers proporționale

Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori; produsul valorilor corespunzătoare este constant.

\(\{x,y,z\}\) i.p. cu \(\{a,b,c\}\):

\[x\cdot a=y\cdot b=z\cdot c=k\]

\(\{x,y,z\}\) i.p. cu \(\{a,b,c\}\ \Longleftrightarrow\ \{x,y,z\}\) d.p. cu \(\left\{\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\right\}\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{x}{\frac{1}{a}}=\dfrac{y}{\frac{1}{b}}=\dfrac{z}{\frac{1}{c}}\)

Exemple de mărimi direct proporționale: cantitatea cumpărată și prețul plătit; distanța parcursă cu viteză constantă și timpul; latura pătratului și perimetrul său.
Exemple de mărimi invers proporționale: numărul de muncitori și timpul în care termină aceeași lucrare; viteza și timpul pentru aceeași distanță.

Exemplul 8.7

Împărțiți numărul \(120\) în părți direct proporționale cu numerele \(2\), \(3\) și \(5\).

Rezolvare

Fie \(x,y,z\) părțile: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=k\Rightarrow x=2k,\ y=3k,\ z=5k\). Din \(2k+3k+5k=120\) rezultă \(k=12\), deci \(x=24\), \(y=36\), \(z=60\).

Exemplul 8.8

Împărțiți numărul \(120\) în părți invers proporționale cu numerele \(2\), \(3\) și \(6\).

Rezolvare

Fie \(x,y,z\) părțile: \(2x=3y=6z=k\Rightarrow x=\dfrac{k}{2},\ y=\dfrac{k}{3},\ z=\dfrac{k}{6}\).

\(\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{6}=120\Rightarrow\dfrac{3k+2k+k}{6}=120\Rightarrow k=120\). Deci \(x=60\), \(y=40\), \(z=20\).

Verificare: \(2\cdot60=3\cdot40=6\cdot20=120\) și \(60+40+20=120\).

Atenție

La mărimi invers proporționale, partea cea mai mare corespunde numărului cel mai mic (în Exemplul 8.8, lui \(2\) îi corespunde \(60\)). Dacă obțineți invers, ați împărțit direct proporțional.

↑ Cuprins

8.5Regula de trei simplă

Metoda

Regula de trei simplă se aplică în problemele cu două mărimi proporționale, în care se cunosc trei valori și se cere a patra. Se așază datele pe două rânduri (aceeași mărime pe aceeași coloană), se stabilește tipul proporționalității și se scrie proporția potrivită.

Mărimi direct proporționale

\[\begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b\\ c & \longrightarrow & x\end{array}\qquad x=\dfrac{b\cdot c}{a}\]

Mărimi invers proporționale

\[\begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b\\ c & \longrightarrow & x\end{array}\qquad x=\dfrac{a\cdot b}{c}\]

Exemplul 8.9

\(5\) caiete costă \(20\) de lei. Cât costă \(8\) caiete de același fel?

Rezolvare

\(5\) caiete ………… \(20\) lei
\(8\) caiete ………… \(x\) lei

Mărimile sunt direct proporționale (mai multe caiete – preț mai mare): \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{20}{x}\Rightarrow x=\dfrac{8\cdot20}{5}=32\) de lei.

Exemplul 8.10

\(6\) muncitori termină o lucrare în \(10\) zile. În câte zile ar termina aceeași lucrare \(4\) muncitori, lucrând în același ritm?

Rezolvare

\(6\) muncitori ………… \(10\) zile
\(4\) muncitori ………… \(x\) zile

Mărimile sunt invers proporționale (mai puțini muncitori – mai multe zile): \(6\cdot10=4\cdot x\Rightarrow x=15\) zile.

Sfat

Înainte de calcul, întrebați-vă: „dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade?”. Dacă crește – proporționalitate directă (rapoarte egale); dacă scade – proporționalitate inversă (produse egale).

↑ Cuprins

8.6Procente

Definiție

Raportul \(\dfrac{p}{100}\) se notează \(p\%\) și se citește „\(p\) la sută” (\(p\) procente). Astfel: \(50\%=\dfrac{1}{2}\), \(25\%=\dfrac{1}{4}\), \(20\%=\dfrac{1}{5}\), \(10\%=\dfrac{1}{10}\), \(100\%\) reprezintă întregul.

1. Aflarea a \(p\%\) dintr-un număr \(a\):\(\boxed{\ p\%\text{ din }a=\dfrac{p}{100}\cdot a\ }\)

2. Aflarea unui număr \(x\) când știm că \(p\%\) din el este \(b\):\(\dfrac{p}{100}\cdot x=b\Rightarrow\boxed{\ x=\dfrac{100\cdot b}{p}\ }\)

3. Aflarea procentului \(p\) pe care îl reprezintă \(b\) din \(a\):\(\dfrac{p}{100}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow\boxed{\ p=\dfrac{b}{a}\cdot100\ }\)

Exemplul 8.11

a) Calculați \(25\%\) din \(80\). b) \(30\%\) dintr-un număr este \(45\). Aflați numărul. c) Ce procent reprezintă \(18\) din \(72\)?

Rezolvare

a) \(\dfrac{25}{100}\cdot80=20\).

b) \(\dfrac{30}{100}\cdot x=45\Rightarrow x=\dfrac{45\cdot100}{30}=150\).

c) \(p=\dfrac{18}{72}\cdot100=\dfrac{1}{4}\cdot100=25\), deci \(25\%\).

Scumpiri și ieftiniri

Scumpire cu \(p\%\): \(P_{\text{nou}}=P+\dfrac{p}{100}\cdot P=P\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\)

Ieftinire (reducere) cu \(p\%\): \(P_{\text{nou}}=P-\dfrac{p}{100}\cdot P=P\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\)

Modificări succesive: \(P_{\text{final}}=P\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\cdot\left(1-\dfrac{q}{100}\right)\) (fiecare procent se aplică prețului din acel moment).

Exemplul 8.12

Un produs costă \(500\) de lei. Prețul se mărește cu \(20\%\), apoi noul preț se micșorează cu \(20\%\). Care este prețul final? Cu ce procent s-a modificat față de prețul inițial?

Rezolvare

După scumpire: \(500+\dfrac{20}{100}\cdot500=500+100=600\) de lei.

După ieftinire: \(600-\dfrac{20}{100}\cdot600=600-120=480\) de lei.

Scăderea totală este \(20\) de lei, adică \(\dfrac{20}{500}\cdot100=4\%\) din prețul inițial. Prețul final este cu \(4\%\) mai mic decât cel inițial.

Exemplul 8.13

După o reducere de \(15\%\), o bicicletă costă \(680\) de lei. Cât costa înainte de reducere?

Rezolvare

Prețul redus reprezintă \(100\%-15\%=85\%\) din prețul inițial \(x\): \(\dfrac{85}{100}\cdot x=680\Rightarrow x=\dfrac{680\cdot100}{85}=800\) de lei.

Atenție

O scumpire cu \(p\%\) urmată de o ieftinire cu \(p\%\) nu readuce prețul la valoarea inițială (vezi Exemplul 8.12).
Două scumpiri succesive de \(10\%\) nu înseamnă o scumpire de \(20\%\): \(P\cdot1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21\cdot P\), adică o scumpire de \(21\%\).
Dacă se cunoaște prețul după reducere, prețul inițial nu se află adunând procentul la prețul redus (Exemplul 8.13: \(680+15\%\) din \(680=782\ne800\)).

Aplicație: concentrația unei soluții

Concentrația procentuală a unei soluții: \(c=\dfrac{m_{\text{substanță}}}{m_{\text{soluție}}}\cdot100\), unde \(m_{\text{soluție}}=m_{\text{substanță}}+m_{\text{apă}}\). De exemplu, \(30\) g de sare dizolvate în \(270\) g de apă dau o soluție de concentrație \(\dfrac{30}{300}\cdot100=10\%\).

↑ Cuprins

8.7Media aritmetică, ponderată și geometrică

Media aritmetică a numerelor \(a_1,a_2,\dots,a_n\):\(\boxed{\ m_a=\dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\ }\)

Media aritmetică ponderată a numerelor \(a_1,\dots,a_n\) cu ponderile \(p_1,\dots,p_n\):\(\boxed{\ m_p=\dfrac{a_1p_1+a_2p_2+\dots+a_np_n}{p_1+p_2+\dots+p_n}\ }\)

Media geometrică a numerelor \(a,b\ge0\):\(\boxed{\ m_g=\sqrt{a\cdot b}\ }\)

Observații

Media aritmetică a două numere este \(m_a=\dfrac{a+b}{2}\) și se află întotdeauna între cele două numere.
Ponderea arată „de câte ori se ia” fiecare valoare (de exemplu, numărul de elevi care au obținut o anumită notă).
Pentru \(a,b\ge0\) are loc inegalitatea mediilor: \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\), cu egalitate doar când \(a=b\).

Exemplul 8.14

Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor \(a=2\) și \(b=8\).

Rezolvare

\(m_a=\dfrac{2+8}{2}=5\), \(m_g=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4\). Se observă că \(4\le5\).

Exemplul 8.15

Media aritmetică a trei numere este \(12\). Primele două numere sunt \(10\) și \(15\). Aflați al treilea număr.

Rezolvare

Suma celor trei numere este \(3\cdot12=36\), deci al treilea număr este \(36-10-15=11\).

Exemplul 8.16

Un elev cumpără \(3\) kg de mere cu \(4\) lei/kg și \(2\) kg de pere cu \(9\) lei/kg. Care este prețul mediu al unui kilogram de fructe?

Rezolvare

Media ponderată, cu ponderile \(3\) și \(2\): \(m_p=\dfrac{4\cdot3+9\cdot2}{3+2}=\dfrac{12+18}{5}=6\) lei/kg.

Atenție

În Exemplul 8.16 media simplă a prețurilor, \(\dfrac{4+9}{2}=6{,}5\), este greșită, deoarece cantitățile cumpărate sunt diferite. Când valorile apar de un număr diferit de ori, se folosește media ponderată.

↑ Cuprins

8.8Probabilitatea unui eveniment

Definiție

Un experiment aleator are mai multe rezultate posibile, egal probabile (de exemplu: aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-o urnă). Un eveniment \(A\) este realizat de unele dintre aceste rezultate, numite cazuri favorabile. Probabilitatea evenimentului \(A\) este:

\[P(A)=\dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}.\]

\(0\le P(A)\le1\)eveniment sigur: \(P=1\)eveniment imposibil: \(P=0\)

Evenimentul contrar „nu \(A\)”: \(P(\text{nu }A)=1-P(A)\)

Exemplul 8.17

Se aruncă un zar. Care este probabilitatea ca numărul apărut să fie: a) par; b) multiplu de \(3\); c) mai mare decât \(6\)?

Rezolvare

Cazuri posibile: \(1,2,3,4,5,6\) – în total \(6\).

a) Cazuri favorabile: \(2,4,6\); \(P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).

b) Cazuri favorabile: \(3,6\); \(P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).

c) Niciun caz favorabil (eveniment imposibil): \(P=\dfrac{0}{6}=0\).

Exemplul 8.18

Se alege la întâmplare un număr de două cifre. Care este probabilitatea ca acesta să fie pătrat perfect?

Rezolvare

Numerele de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\), în total \(99-10+1=90\) de cazuri posibile.

Pătratele perfecte de două cifre: \(16,25,36,49,64,81\) – \(6\) cazuri favorabile. \(P=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}\).

Exemplul 8.19

Într-o urnă sunt \(5\) bile albe, \(7\) bile roșii și \(8\) bile negre. Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca ea să nu fie neagră? Exprimați rezultatul și în procente.

Rezolvare

Cazuri posibile: \(5+7+8=20\). Cazuri favorabile (bile albe sau roșii): \(5+7=12\). \(P=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{60}{100}=60\%\). (Sau: \(P=1-\dfrac{8}{20}=\dfrac{3}{5}\).)

Atenție

Numărați corect elementele unei mulțimi de forma \(\{a,a+1,\dots,b\}\): sunt \(b-a+1\) numere, nu \(b-a\).
O probabilitate nu poate fi mai mare decât \(1\) sau negativă; dacă obțineți așa ceva, ați inversat cazurile favorabile cu cele posibile.
Simplificați fracția obținută – la Evaluarea Națională se cere de obicei rezultatul ca fracție ireductibilă.

↑ Cuprins

8.9Date statistice: tabele și diagrame

Noțiuni

Frecvența absolută a unei valori = de câte ori apare valoarea în șirul de date.
Frecvența relativă = frecvența absolută împărțită la numărul total de date; înmulțită cu \(100\) dă frecvența procentuală.
Media datelor = media aritmetică ponderată a valorilor, cu ponderile egale cu frecvențele.
Modul (valoarea modală) = valoarea cu frecvența cea mai mare.
Mediana = valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător (pentru un număr par de date – media celor două valori din mijloc).

\(f_{\text{relativă}}=\dfrac{\text{frecvența absolută}}{\text{numărul total de date}}\)\(f\%=f_{\text{relativă}}\cdot100\)

Diagrama circulară: unghiul sectorului \(=f_{\text{relativă}}\cdot360^\circ\)

Datele se pot organiza într-un tabel de frecvențe sau se pot reprezenta printr-o diagramă cu bare (înălțimea fiecărei bare este proporțională cu frecvența), o diagramă circulară sau un grafic liniar (pentru evoluția în timp).

Exemplul 8.20

Diagrama de mai jos prezintă notele obținute de elevii unei clase la o lucrare de matematică.

a) Câți elevi are clasa? b) Ce procent dintre elevi au obținut cel puțin nota \(9\)? c) Calculați media clasei la lucrare. d) Care este nota cea mai frecventă?

Rezolvare

Organizăm datele într-un tabel de frecvențe:

Nota	5	6	7	8	9	10
Numărul de elevi	2	3	5	7	5	3

a) \(2+3+5+7+5+3=25\) de elevi.

b) Nota \(9\) sau \(10\): \(5+3=8\) elevi; \(\dfrac{8}{25}\cdot100=32\%\).

c) \(m=\dfrac{5\cdot2+6\cdot3+7\cdot5+8\cdot7+9\cdot5+10\cdot3}{25}=\dfrac{10+18+35+56+45+30}{25}=\dfrac{194}{25}=7{,}76\).

d) Nota \(8\) (are cea mai înaltă bară, frecvența \(7\)) – aceasta este valoarea modală.

Exemplul 8.21

Într-o școală, \(40\%\) dintre cei \(150\) de elevi de gimnaziu practică fotbalul. Câți elevi practică fotbalul și ce unghi ar avea sectorul corespunzător într-o diagramă circulară?

Rezolvare

\(\dfrac{40}{100}\cdot150=60\) de elevi. Unghiul sectorului: \(\dfrac{40}{100}\cdot360^\circ=144^\circ\).

Atenție

Citiți cu atenție axele diagramei: ce mărime este pe fiecare axă și care este unitatea (pasul) gradațiilor.
Media unui set de date din tabel nu este media valorilor scrise în primul rând (\(\dfrac{5+6+\dots+10}{6}\)), ci media ponderată cu frecvențele.
Suma frecvențelor relative este \(1\), iar suma frecvențelor procentuale este \(100\%\) – o verificare utilă.

↑ Cuprins