Ecuații, sisteme de ecuații, inecuații – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Ecuații de gradul I și de gradul al II-lea, sisteme de ecuații rezolvate prin substituție și reducere, inecuații cu soluțiile scrise ca intervale, sisteme de inecuații și probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, cu exemple rezolvate pas cu pas.

7.1Ecuații. Noțiuni generale

Definiție

O ecuație cu o necunoscută este o propoziție cu o variabilă de forma \(S(x)=D(x)\), \(x\in M\), unde \(S(x)\) este membrul stâng, \(D(x)\) membrul drept, iar \(M\) este mulțimea în care se caută soluțiile.

Un număr \(x_0\in M\) este soluție a ecuației dacă, înlocuind \(x\) cu \(x_0\), se obține o propoziție adevărată. A rezolva ecuația înseamnă a determina mulțimea tuturor soluțiilor ei, notată \(S\).

Exemplu: ecuația \(2x-1=5\), \(x\in\{0,2,3,5\}\). Prin înlocuire, propoziția este adevărată doar pentru \(x=3\), deci \(S=\{3\}\).

Ecuații echivalente

Două ecuații sunt echivalente (notăm „\(\iff\)”) dacă au aceeași mulțime de soluții. Se obține o ecuație echivalentă dacă:

se adună (sau se scade) la ambii membri același număr real; în consecință, un termen poate fi trecut în celălalt membru cu semn schimbat: \(3x+1=2x+1\iff3x-2x=1-1\iff x=0\);
se înmulțesc (sau se împart) ambii membri cu același număr real nenul: \(4x-2=5\ \big|\cdot2\iff8x-4=10\).

Observație

O ecuație care este adevărată pentru orice \(x\in M\) se numește nedeterminată (\(S=M\)). Exemplu: \(2x-1=(6x-2)-4x+1\iff2x-1=2x-1\iff0=0\), adevărat pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
O ecuație fără soluții se numește imposibilă (\(S=\varnothing\)). Exemplu: \(2x+3=2x+1\iff0\cdot x=-2\).

↑ Cuprins

7.2Ecuația de gradul I cu o necunoscută

Definiție

Ecuația \(ax+b=0\), unde \(a,b\in\mathbb{R}\), \(a\ne0\), se numește ecuație de gradul I cu necunoscuta \(x\). Ea are în \(\mathbb{R}\) soluția unică

\[x=-\dfrac ba.\]

Discuție pentru \(ax+b=0\): \(a\ne0\Rightarrow S=\left\{-\dfrac ba\right\}\);\(a=0,\ b\ne0\Rightarrow S=\varnothing\);\(a=0,\ b=0\Rightarrow S=\mathbb{R}\)

Pași de rezolvare: se desfac parantezele; se elimină numitorii (se înmulțește cu numitorul comun); se trec termenii cu \(x\) într-un membru și numerele în celălalt; se reduc termenii asemenea; se împarte la coeficientul lui \(x\).

Ecuații cu modul (\(a\gt0\)): \(\ |E(x)|=a\iff E(x)=a\ \text{sau}\ E(x)=-a\); \(\ |E(x)|=0\iff E(x)=0\); \(\ |E(x)|=-a\) nu are soluții.

Ecuații de forma \(x^2=a\): \(\ a\gt0\Rightarrow x\in\{-\sqrt a,\sqrt a\}\);\(a=0\Rightarrow x=0\);\(a\lt0\Rightarrow S=\varnothing\)

Atenție

Verificați mulțimea în care se cere soluția: ecuația \(2x+3=8\) are soluția \(x=\dfrac52\) în \(\mathbb{R}\), dar în \(\mathbb{N}\) sau \(\mathbb{Z}\) are \(S=\varnothing\).
La eliminarea numitorilor, numărătorul cu mai mulți termeni se scrie în paranteză: \(-\dfrac{x-2}{3}\) devine \(-(x-2)\), nu \(-x-2\).
\(x^2=9\) are două soluții, \(-3\) și \(3\).

Exemplul 7.1

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuațiile: a) \(2x-2=0\); b) \(3(x-2)-2(x+1)=4\); c) \(\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-2}{3}=2\).

Rezolvare

a) \(2x=2\iff x=1\).

b) \(3x-6-2x-2=4\iff x-8=4\iff x=12\).

c) Înmulțim cu 6: \(3(x+1)-2(x-2)=12\iff3x+3-2x+4=12\iff x+7=12\iff x=5\).

Exemplul 7.2

Rezolvați în \(\mathbb{R}\): a) \(|2x-1|=5\); b) \(x^2=12\); c) \((x-1)^2=9\).

Rezolvare

a) \(2x-1=5\iff x=3\) sau \(2x-1=-5\iff x=-2\); \(S=\{-2,3\}\).

b) \(x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3\); \(S=\left\{-2\sqrt3,\ 2\sqrt3\right\}\).

c) \(x-1=3\) sau \(x-1=-3\), deci \(S=\{-2,4\}\).

↑ Cuprins

7.3Sisteme de ecuații de gradul I

Definiție

Un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute are forma \(\begin{cases}ax+by=c\\ a^{\prime}x+b^{\prime}y=c^{\prime}\end{cases}\) Soluția sistemului este o pereche \((x,y)\) care verifică simultan ambele ecuații.

Metoda substituției

Se exprimă o necunoscută dintr-o ecuație (de preferat cea cu coeficientul 1) și se înlocuiește în cealaltă ecuație. Se obține o ecuație cu o singură necunoscută; după rezolvarea ei se află și cealaltă necunoscută.

Metoda reducerii

Se înmulțesc ecuațiile cu numere alese astfel încât coeficienții uneia dintre necunoscute să devină opuși. Prin adunarea ecuațiilor, acea necunoscută se reduce și se obține o ecuație cu o singură necunoscută.

Exemplul 7.3 – metoda substituției

Rezolvați sistemul \(\begin{cases}2x+y=4\\ x+2y=6\end{cases}\)

Rezolvare

Din prima ecuație \(y=4-2x\). Înlocuim: \(x+2(4-2x)=6\iff x+8-4x=6\iff-3x=-2\iff x=\dfrac23\).

Atunci \(y=4-\dfrac43=\dfrac83\). Soluția: \((x,y)=\left(\dfrac23,\dfrac83\right)\).

Exemplul 7.4 – metoda reducerii

Rezolvați același sistem prin metoda reducerii.

Rezolvare

Înmulțim prima ecuație cu \(-1\) și a doua cu \(2\):

\[\begin{cases}-2x-y=-4\\ 2x+4y=12\end{cases}\]

Adunând: \(3y=8\Rightarrow y=\dfrac83\). Înlocuim în \(2x+y=4\): \(2x=4-\dfrac83=\dfrac43\Rightarrow x=\dfrac23\).

Exemplul 7.5

Rezolvați în \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) sistemul \(\begin{cases}3x-2y=4\\ 5x+4y=14\end{cases}\)

Rezolvare

Înmulțim prima ecuație cu 2: \(6x-4y=8\). Adunăm cu a doua: \(11x=22\Rightarrow x=2\). Din \(3\cdot2-2y=4\) rezultă \(y=1\). Soluția: \((2,1)\).

Interpretare grafică

Fiecare ecuație \(ax+by=c\) (cu \(b\ne0\)) se poate scrie \(y=-\dfrac abx+\dfrac cb\), deci reprezintă graficul unei funcții liniare. Soluția sistemului este punctul de intersecție a celor două drepte (vezi capitolul 6). Dacă dreptele sunt paralele, sistemul nu are soluții; dacă ele coincid, sistemul are o infinitate de soluții.

↑ Cuprins

7.4Ecuația de gradul al II-lea

Definiție

Ecuația \(ax^2+bx+c=0\), unde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\ne0\), se numește ecuație de gradul al II-lea. Un număr real \(\alpha\) este soluție a ecuației dacă \(a\alpha^2+b\alpha+c=0\).

\[\boxed{\Delta=b^2-4ac}\]

\(\Delta\lt0\Rightarrow\) ecuația nu are soluții reale, \(S=\varnothing\)

\(\Delta=0\Rightarrow\) ecuația are două soluții egale: \(\ x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\)

\(\Delta\gt0\Rightarrow\) ecuația are două soluții reale distincte: \(\ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

Descompunerea trinomului (\(\Delta\ge0\)): \(\ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Cazul \(b=0\): \(ax^2+c=0\)

\(x^2=-\dfrac ca\). Ex.: \(x^2-9=0\iff x^2=9\iff x\in\{-3,3\}\).

Cazul \(c=0\): \(ax^2+bx=0\)

Se dă factor comun: \(x(ax+b)=0\iff x=0\) sau \(x=-\dfrac ba\). Ex.: \(2x^2-6x=0\iff2x(x-3)=0\iff x\in\{0,3\}\).

Observație

Un produs este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero: \(A\cdot B=0\iff A=0\ \text{sau}\ B=0\). De aceea, multe ecuații se rezolvă mai repede prin descompunere în factori decât cu \(\Delta\): \(x^2-5x+6=0\iff(x-2)(x-3)=0\iff x\in\{2,3\}\).

Atenție

Nu împărțiți ecuația prin \(x\): din \(x^2=3x\) s-ar pierde soluția \(x=0\). Corect: \(x^2-3x=0\iff x(x-3)=0\iff x\in\{0,3\}\). La calculul lui \(\Delta\), dacă \(b\) este negativ, \(b^2\) este pozitiv: pentru \(b=-5\), \(b^2=25\).

Exemplul 7.6

Rezolvați în \(\mathbb{R}\): a) \(x^2+x+1=0\); b) \(4x^2+4x+1=0\); c) \(x^2-5x+6=0\).

Rezolvare

a) \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot1=-3\lt0\), deci ecuația nu are soluții reale.

b) \(\Delta=4^2-4\cdot4\cdot1=0\), deci \(x_1=x_2=-\dfrac{4}{2\cdot4}=-\dfrac12\).

c) \(\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\), \(x_{1,2}=\dfrac{5\pm1}{2}\), deci \(x_1=3\), \(x_2=2\).

Exemplul 7.7

Rezolvați ecuația \(x^2-2x-1=0\) și descompuneți în factori trinomul \(2x^2-5x+2\).

Rezolvare

\(\Delta=4+4=8\), \(\sqrt\Delta=2\sqrt2\), \(x_{1,2}=\dfrac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2\).

Pentru \(2x^2-5x+2\): \(\Delta=25-16=9\), \(x_{1,2}=\dfrac{5\pm3}{4}\), adică \(x_1=2\), \(x_2=\dfrac12\). Atunci \(2x^2-5x+2=2(x-2)\left(x-\dfrac12\right)=(x-2)(2x-1)\).

↑ Cuprins

7.5Inecuații de gradul I

Definiție

O inecuație este o relație de forma \(E(x)\lt F(x)\) (sau cu \(\le\), \(\gt\), \(\ge\)), unde \(E\) și \(F\) sunt expresii cu necunoscuta \(x\). A rezolva inecuația înseamnă a găsi toate valorile lui \(x\) (din mulțimea dată) pentru care inegalitatea este adevărată. În \(\mathbb{R}\), mulțimea soluțiilor se scrie de obicei ca interval.

1. Dacă \(a\lt b\), atunci \(a+c\lt b+c\) și \(a-c\lt b-c\) (un termen trece în celălalt membru cu semn schimbat).

2. Dacă \(a\lt b\) și \(c\gt0\), atunci \(a\cdot c\lt b\cdot c\) și \(a:c\lt b:c\).

3. Dacă \(a\lt b\) și \(c\lt0\), atunci \(a\cdot c\gt b\cdot c\) și \(a:c\gt b:c\) – sensul se schimbă.

4. \(a\lt b\iff b\gt a\). Proprietățile rămân valabile pentru \(\le\) și \(\ge\).

Cu modul (\(a\gt0\)): \(\ |x|\lt a\iff-a\lt x\lt a\);\(|x|\gt a\iff x\lt-a\ \text{sau}\ x\gt a\)

Exemplul 7.8

Rezolvați inecuația \(3x-2\le7\) în \(\mathbb{R}\) și în \(\mathbb{N}\).

Rezolvare

\(3x\le9\iff x\le3\). În \(\mathbb{R}\): \(S=(-\infty;3]\); în \(\mathbb{N}\): \(S=\{0,1,2,3\}\).

Exemplul 7.9

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(-2x+1\gt5\).

Rezolvare

\(-2x\gt4\). Împărțim la \(-2\lt0\), deci schimbăm sensul: \(x\lt-2\). \(S=(-\infty;-2)\).

Exemplul 7.10 – tip Evaluare Națională

Determinați mulțimea \(A=\left\{x\in\mathbb{Z}\ \Big|\ -1\le\dfrac{2x+1}{3}\lt3\right\}\).

Rezolvare

Înmulțim cu 3: \(-3\le2x+1\lt9\); scădem 1: \(-4\le2x\lt8\); împărțim la 2: \(-2\le x\lt4\), adică \(x\in[-2;4)\).

\(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) (6 elemente).

Exemplul 7.11

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(|x-1|\lt2\).

Rezolvare

\(-2\lt x-1\lt2\iff-1\lt x\lt3\), deci \(S=(-1;3)\).

↑ Cuprins

7.6Sisteme de inecuații

Două sau mai multe inecuații cu aceeași necunoscută, care trebuie îndeplinite simultan, formează un sistem de inecuații. Se rezolvă fiecare inecuație, apoi se face intersecția mulțimilor de soluții (cel mai sigur, pe axă).

Exemplul 7.12

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) sistemul \(\begin{cases}2x-1\lt5\\ x+3\ge1\end{cases}\)

Rezolvare

\(2x\lt6\iff x\lt3\), adică \(x\in(-\infty;3)\); \(x\ge-2\), adică \(x\in[-2;+\infty)\).

\(S=(-\infty;3)\cap[-2;+\infty)=[-2;3)\).

↑ Cuprins

7.7Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor

1. Se citește atent problema și se alege necunoscuta (sau necunoscutele).

2. Se scriu, cu ajutorul necunoscutei, mărimile din enunț și se formează ecuația (sau sistemul).

3. Se rezolvă ecuația (sistemul).

4. Se verifică dacă soluția convine problemei (numere naturale, lungimi pozitive etc.) și se formulează răspunsul.

Exemplul 7.13

Suma a trei numere naturale consecutive este 72. Determinați numerele.

Rezolvare

Fie numerele \(n,\ n+1,\ n+2\). Atunci \(3n+3=72\iff3n=69\iff n=23\). Numerele sunt \(23,\ 24,\ 25\).

Exemplul 7.14

Un tată are 40 de ani, iar fiul său 10 ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi dublul vârstei fiului?

Rezolvare

Peste \(x\) ani: \(40+x=2(10+x)\iff40+x=20+2x\iff x=20\). Verificare: \(60=2\cdot30\). Răspuns: peste 20 de ani.

Exemplul 7.15 – cu sistem

5 caiete și 3 pixuri costă 31 de lei, iar 2 caiete și un pix costă 11 lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Rezolvare

Fie \(c\) prețul unui caiet și \(p\) prețul unui pix: \(\begin{cases}5c+3p=31\\ 2c+p=11\end{cases}\)

Din a doua ecuație \(p=11-2c\); înlocuim: \(5c+33-6c=31\iff c=2\), apoi \(p=7\). Un caiet costă 2 lei, iar un pix 7 lei.

Exemplul 7.16 – cu procente

După o reducere cu 20%, un produs costă 240 de lei. Care a fost prețul inițial?

Rezolvare

Fie \(x\) prețul inițial. \(x-\dfrac{20}{100}x=240\iff\dfrac{80}{100}x=240\iff x=240\cdot\dfrac{100}{80}=300\) lei.

Exemplul 7.17 – cu ecuație de gradul al II-lea

Un dreptunghi are lungimea cu 3 cm mai mare decât lățimea și aria de \(40\ \text{cm}^2\). Determinați dimensiunile dreptunghiului.

Rezolvare

Fie lățimea \(x\) cm (\(x\gt0\)) și lungimea \(x+3\) cm: \(x(x+3)=40\iff x^2+3x-40=0\).

\(\Delta=9+160=169\), \(x_{1,2}=\dfrac{-3\pm13}{2}\), adică \(x_1=5\), \(x_2=-8\). Soluția negativă nu convine (lungimile sunt pozitive). Dimensiunile sunt \(5\) cm și \(8\) cm.

↑ Cuprins

Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).