mateinfo.roANDREI OCTAVIAN DOBRE20 ani20ANI

Funcții – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Noțiunea de funcție, graficul unei funcții și funcția liniară \(f(x)=ax+b\): reprezentarea grafică, intersecția cu axele, punct pe grafic, determinarea funcției, intersecția a două grafice și problemele tipice de Evaluare Națională, cu grafice desenate.

6.1Noțiunea de funcție

Definiție

Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide. Dacă printr-un procedeu oarecare facem ca fiecărui element \(x\in A\) să-i corespundă un singur element \(y\in B\), spunem că am definit o funcție de la \(A\) la \(B\).

Notăm \(f:A\to B\) (se citește „\(f\) definită pe \(A\) cu valori în \(B\)”) și \(y=f(x)\).

  • \(A\) – domeniul de definiție;
  • \(B\) – codomeniul (mulțimea în care funcția ia valori);
  • \(x\mapsto f(x)\) – legea de corespondență; \(f(x)\) este valoarea funcției în \(x\).

Mulțimea valorilor funcției este \(\operatorname{Im}f=\{f(x)\mid x\in A\}\subseteq B\).

Observație

  • O funcție este bine determinată de trei elemente: domeniul, codomeniul și legea de corespondență.
  • Două funcții \(f,g:A\to B\) sunt egale dacă au același domeniu, același codomeniu și \(f(x)=g(x)\) pentru orice \(x\in A\).
  • O funcție se poate da prin diagramă, prin tabel de valori sau prin formulă. O corespondență în care un element din \(A\) nu are corespondent, sau are doi corespondenți, nu este funcție.

Exemplul 6.1

Fie \(f:\{-1,0,1,2\}\to\mathbb{Z}\), \(f(x)=2x-1\). Realizați diagrama și tabelul de valori ale funcției și determinați \(\operatorname{Im}f\).
Rezolvare

\(f(-1)=-3\), \(f(0)=-1\), \(f(1)=1\), \(f(2)=3\).

\(x\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(f(x)\) \(-3\) \(-1\) \(1\) \(3\)
ABf−1−30−11123

\(\operatorname{Im}f=\{-3,-1,1,3\}\).

Exemplul 6.2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\). Calculați \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f\left(\sqrt2\right)\) și \(S=f(1)+f(2)+\ldots+f(10)\).
Rezolvare

\(f(0)=-2\), \(f(-1)=-5\), \(f\left(\sqrt2\right)=3\sqrt2-2\).

\(S=3(1+2+\ldots+10)-10\cdot2=3\cdot55-20=145\).

↑ Cuprins

6.2Graficul unei funcții

Definiție

Fie \(f:A\to B\), cu \(A,B\subseteq\mathbb{R}\). Graficul funcției \(f\) este mulțimea perechilor \((x,f(x))\), cu \(x\in A\):

\[G_f=\{(x,\,f(x))\mid x\in A\}.\]

Reprezentarea geometrică a graficului este mulțimea punctelor \(M(x,f(x))\) din planul raportat la un reper cartezian \(xOy\); \(x\) este abscisa, iar \(y=f(x)\) este ordonata punctului.

\(\boxed{M(a,b)\in G_f\iff f(a)=b}\)

Distanța dintre două puncte: \(\ AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\)Mijlocul: \(\ M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)

Dacă domeniul este o mulțime finită, graficul este format dintr-un număr finit de puncte. Pentru funcția din Exemplul 6.1, graficul este format din punctele \((-1,-3)\), \((0,-1)\), \((1,1)\), \((2,3)\):

−2−1123−4−3−2−11234Oxy(−1, −3)(0, −1)(1, 1)(2, 3)

Exemplul 6.3

Fie \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\). Verificați dacă punctele \(A(2,4)\) și \(B(-1,1)\) aparțin graficului funcției și determinați numărul real \(m\) pentru care \(P(m,7)\in G_f\).
Rezolvare

\(f(2)=6-2=4\), deci \(A\in G_f\). \(f(-1)=-5\ne1\), deci \(B\notin G_f\).

\(P(m,7)\in G_f\iff f(m)=7\iff3m-2=7\iff m=3\).

↑ Cuprins

6.3Funcția liniară \(f(x)=ax+b\)

Definiție

O funcție \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+b\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale, se numește funcție liniară (funcție de gradul I, dacă \(a\ne0\)). Graficul unei funcții liniare definite pe \(\mathbb{R}\) este o dreaptă.

Reprezentarea grafică (pentru \(a\ne0\), \(b\ne0\)):

1. \(G_f\cap Oy\): \(\ x=0\Rightarrow f(0)=b\); punctul \(B(0,\,b)\).

2. \(G_f\cap Ox\): \(\ f(x)=0\iff ax+b=0\iff x=-\dfrac ba\); punctul \(A\left(-\dfrac ba,\,0\right)\).

3. Se trasează dreapta \(AB\).

Exemplul 6.4

Reprezentați grafic funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-4\).
Rezolvare

\(G_f\cap Oy\): \(f(0)=-4\Rightarrow B(0,-4)\). \(G_f\cap Ox\): \(2x-4=0\Rightarrow x=2\Rightarrow A(2,0)\). Graficul este dreapta \(AB\).

−2−11234−4−3−2−1123OxyA(2, 0)B(0, −4)Gf

Cazuri particulare

  • \(a=0\), \(b\ne0\): \(f(x)=b\) este funcția constantă; graficul este o dreaptă paralelă cu \(Ox\), prin punctul \((0,b)\).
  • \(a\ne0\), \(b=0\): \(f(x)=ax\); graficul este o dreaptă care trece prin originea \(O(0,0)\). Pentru al doilea punct se calculează, de exemplu, \(f(1)=a\).
  • \(a=b=0\): \(f(x)=0\); graficul este chiar axa \(Ox\).
  • Dacă domeniul este un interval, graficul este un segment sau o semidreaptă; dacă domeniul este o mulțime finită, graficul este format din puncte izolate.
−2−1123−2−113Oxyf(x) = 2g(x) = x(1, 1)

Monotonia funcției liniare

O funcție \(f\) este strict crescătoare dacă pentru orice \(x_1\lt x_2\) avem \(f(x_1)\lt f(x_2)\) și strict descrescătoare dacă pentru orice \(x_1\lt x_2\) avem \(f(x_1)\gt f(x_2)\). Funcția \(f(x)=ax+b\) este:

  • strict crescătoare dacă \(a\gt0\);
  • constantă dacă \(a=0\);
  • strict descrescătoare dacă \(a\lt0\).

Graficele a două funcții liniare cu același coeficient \(a\) și \(b\) diferit sunt drepte paralele.

Exemplul 6.5

Reprezentați grafic funcția \(g:[-1;3]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=-x+2\) și precizați monotonia ei.
Rezolvare

Domeniul este un interval închis, deci graficul este un segment. Calculăm valorile în capete: \(g(-1)=3\), \(g(3)=-1\). Graficul este segmentul cu capetele \(M(-1,3)\) și \(N(3,-1)\); el intersectează axele în \((0,2)\) și \((2,0)\).

−2−11234−1123OxyM(−1, 3)N(3, −1)

Cum \(a=-1\lt0\), funcția este strict descrescătoare.

↑ Cuprins

6.4Punct pe grafic. Determinarea funcției liniare

Pentru a determina o funcție liniară \(f(x)=ax+b\) este suficient să cunoaștem două condiții (două puncte ale graficului, două valori ale funcției). Fiecare condiție de forma \(M(x_0,y_0)\in G_f\) se scrie \(f(x_0)=y_0\), adică \(a x_0+b=y_0\); se obține un sistem în necunoscutele \(a\) și \(b\).

Exemplul 6.6

Determinați funcția liniară \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+b\), știind că \(f(1)=3\) și \(f(-1)=-1\).
Rezolvare
\(\begin{cases}a+b=3\\-a+b=-1\end{cases}\) Adunând ecuațiile: \(2b=2\Rightarrow b=1\), apoi \(a=2\). Deci \(f(x)=2x+1\).

Exemplul 6.7

Graficul funcției \(f(x)=ax+b\) trece prin punctele \(A(2,1)\) și \(B(0,-3)\). Determinați \(a\) și \(b\), apoi verificați dacă punctul \(C(-1,-5)\) aparține graficului.
Rezolvare

\(B(0,-3)\in G_f\Rightarrow f(0)=b=-3\). \(A(2,1)\in G_f\Rightarrow2a-3=1\Rightarrow a=2\). Deci \(f(x)=2x-3\).

\(f(-1)=-2-3=-5\), deci \(C\in G_f\): punctele \(A\), \(B\), \(C\) sunt coliniare.

Exemplul 6.8

Determinați numărul real \(m\) pentru care punctul \(P(m,\,m+1)\) aparține graficului funcției \(f(x)=3x-5\).
Rezolvare
\(f(m)=m+1\iff3m-5=m+1\iff2m=6\iff m=3\). Punctul este \(P(3,4)\).

↑ Cuprins

6.5Intersecția a două grafice

\(M(x_0,y_0)\in G_f\cap G_g\iff f(x_0)=g(x_0)=y_0\)

Se rezolvă ecuația \(f(x)=g(x)\); soluția este abscisa punctului de intersecție, iar ordonata este \(y_0=f(x_0)\).

Observație

Dacă \(f(x)=ax+b\) și \(g(x)=cx+d\): pentru \(a\ne c\) graficele se intersectează într-un singur punct; pentru \(a=c\), \(b\ne d\) graficele sunt paralele (nu au puncte comune); pentru \(a=c\), \(b=d\) graficele coincid.

Exemplul 6.9

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-1\) și \(g(x)=-x+5\).
Rezolvare

\(f(x)=g(x)\iff2x-1=-x+5\iff3x=6\iff x=2\); \(f(2)=3\). Punctul de intersecție este \(P(2,3)\).

−112345−1123456OxyP(2, 3)GfGg

↑ Cuprins

6.6Probleme cu graficul funcției liniare

Graficul funcției \(f(x)=ax+b\) (\(a\ne0\), \(b\ne0\)) formează cu axele un triunghi dreptunghic \(AOB\), cu \(A\left(-\dfrac ba,0\right)\) și \(B(0,b)\). Lungimile catetelor sunt \(OA=\left|-\dfrac ba\right|\) și \(OB=|b|\) (lungimile sunt pozitive!).

\(\mathcal{A}_{AOB}=\dfrac{OA\cdot OB}{2}\)\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}\)\(d(O,AB)=\dfrac{OA\cdot OB}{AB}\)

\(\operatorname{tg}\sphericalangle OAB=\dfrac{OB}{OA}\)\(P_{AOB}=OA+OB+AB\)

Exemplul 6.10 – tip Evaluare Națională

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=-2x+4\). a) Reprezentați grafic funcția. b) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției și axele de coordonate. c) Calculați distanța de la originea \(O\) la graficul funcției.
Rezolvare

a) \(f(0)=4\Rightarrow B(0,4)\); \(-2x+4=0\Rightarrow x=2\Rightarrow A(2,0)\).

OxyA(2, 0)B(0, 4)H24

b) \(OA=2\), \(OB=4\), \(\mathcal{A}_{AOB}=\dfrac{2\cdot4}{2}=4\).

c) \(AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\). Distanța de la \(O\) la dreapta \(AB\) este înălțimea triunghiului dreptunghic din vârful \(O\): \(d=\dfrac{OA\cdot OB}{AB}=\dfrac{8}{2\sqrt5}=\dfrac{4}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{5}\).

Exemplul 6.11

Determinați punctul de pe graficul funcției \(f(x)=-2x+4\) care are abscisa egală cu ordonata.
Rezolvare
Căutăm \(M(t,t)\in G_f\): \(f(t)=t\iff-2t+4=t\iff t=\dfrac43\). Deci \(M\left(\dfrac43,\dfrac43\right)\) (punctul de intersecție a graficului cu dreapta \(y=x\)).

Atenție

Dacă punctul de intersecție cu o axă are coordonată negativă (de exemplu \(B(0,-4)\)), lungimea segmentului este \(OB=|-4|=4\), nu \(-4\).

↑ Cuprins

Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).