Calcul algebric – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Calculul cu numere reale reprezentate prin litere: operații cu expresii algebrice, formulele de calcul prescurtat, descompunerea în factori, inegalități și rapoartele algebrice (domeniu, simplificare, amplificare, operații), cu exemple rezolvate de tip Evaluare Națională.
5.1Operații cu numere reale reprezentate prin litere
Noțiuni
O expresie algebrică conține numere și litere legate prin semne de operații. Un monom este un produs dintre un număr (coeficientul) și puteri ale unor litere (partea literală): în \(-5x^2y\) coeficientul este \(-5\), iar partea literală \(x^2y\). Monoamele cu aceeași parte literală se numesc termeni asemenea.
Reducerea termenilor asemenea: se adună coeficienții, partea literală rămâne: \(\ 3x^2-7x^2+x^2=-3x^2\)
Număr · sumă: \(\ k(a+b-c)=ka+kb-kc\)\(-k(-a+b-c)=ka-kb+kc\)
Sumă · sumă: \(\ (a+b-c)(d-e)=ad-ae+bd-be-cd+ce\)
Monoame: \(\ ax^m\cdot bx^n=ab\,x^{m+n}\)\(ax^m:\left(bx^n\right)=\dfrac ab\,x^{m-n}\)\(\left(ax^m\right)^n=a^nx^{mn}\)
Înmulțirea unui număr cu o sumă algebrică se face înmulțind numărul cu fiecare termen al sumei, respectând regula semnelor; produsul a două sume se obține înmulțind fiecare termen al primei sume cu fiecare termen al celei de-a doua și adunând rezultatele.
Atenție
Un minus în fața parantezei schimbă semnul tuturor termenilor din paranteză: \(5-(2x-3)=5-2x+3=8-2x\), nu \(2-2x\).
Exemplul 5.1
Rezolvare
a) \(6x^2-3x-6x^2+2x-8=-x-8\).
b) \(2x\cdot x+2x\cdot3-1\cdot x-1\cdot3=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3\).
c) \(\left(-2a^2b\right)^3=(-2)^3a^6b^3=-8a^6b^3\); \(12x^5y^2:\left(3x^2y\right)=4x^3y\).
Exemplul 5.2
Rezolvare
5.2Formule de calcul prescurtat
\(\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)\(\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)
\(\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}\)
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)\((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)\((a-b)^2=(b-a)^2\)
Cu semnele schimbate în formula pătratului unui trinom se obțin: \((a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\), \((a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\), \((a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc\).
Cubul sumei și al diferenței
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
Suma și diferența cuburilor
\(a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Observație
Formulele cu puterea a treia sunt utile pentru exerciții mai grele (de aprofundare); la Evaluarea Națională se folosesc cel mai des primele trei formule, în ambele sensuri: de la stânga la dreapta (desfacerea parantezelor) și de la dreapta la stânga (restrângerea, adică descompunerea în factori).
Atenție
- \((a+b)^2\ne a^2+b^2\): lipsește termenul \(2ab\). Exemplu: \((x+3)^2=x^2+6x+9\), nu \(x^2+9\).
- \((2x)^2=4x^2\), nu \(2x^2\); \(\left(\sqrt3\right)^2=3\).
- \(-(x-2)^2=-\left(x^2-4x+4\right)=-x^2+4x-4\): întâi se desface pătratul, apoi se schimbă semnele.
Exemplul 5.3
Rezolvare
a) \((2x)^2-2\cdot2x\cdot5+5^2=4x^2-20x+25\).
b) \(3-2\sqrt3+1=4-2\sqrt3\).
c) \(\left(\sqrt5\right)^2-2^2=5-4=1\).
d) \(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\).
Exemplul 5.4 – tip Evaluare Națională
Rezolvare
Exemplul 5.5
Rezolvare
5.3Descompunerea în factori
A descompune în factori o expresie înseamnă a o scrie ca produs de expresii mai simple. Descompunerea este folosită la simplificarea rapoartelor algebrice și la rezolvarea ecuațiilor.
1. Factor comun: \(\ ab+ac=a(b+c)\)\(6x^2-9x=3x(2x-3)\)
2. Diferența de pătrate: \(\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)\(x^2-16=(x-4)(x+4)\)
3. Pătrat perfect: \(\ a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\)\(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\)
4. Gruparea termenilor: \(\ ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)\)
5. Trinomul \(x^2+sx+p\): se caută două numere \(m,n\) cu \(m+n=s\) și \(m\cdot n=p\); atunci \(x^2+sx+p=(x+m)(x+n)\)
6. Completarea la pătrat: \(\ x^2+6x+8=x^2+6x+9-1=(x+3)^2-1=(x+2)(x+4)\)
Ordinea recomandată
Se scoate întâi factorul comun (dacă există), apoi se încearcă formulele de calcul prescurtat, gruparea sau metoda trinomului. Descompunerea trebuie dusă până la capăt: \(x^3-4x=x\left(x^2-4\right)=x(x-2)(x+2)\). Orice trinom \(ax^2+bx+c\) cu \(\Delta\ge0\) se poate scrie și \(a(x-x_1)(x-x_2)\) – vezi capitolul 7.
Exemplul 5.6
Rezolvare
a) \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\Rightarrow x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
b) \(-4+3=-1\), \((-4)\cdot3=-12\Rightarrow x^2-x-12=(x-4)(x+3)\).
c) \(2\left(x^2-9\right)=2(x-3)(x+3)\).
d) \((x-1)^2-y^2=(x-1-y)(x-1+y)\).
Exemplul 5.7
Rezolvare
5.4Inegalități
O inegalitate este o relație de forma \(A\lt B\), \(A\le B\), \(A\gt B\) sau \(A\ge B\) între două expresii; ea poate fi adevărată sau falsă.
A. Dacă \(a\lt b\), atunci \(a+c\lt b+c\) și \(a-c\lt b-c\), pentru orice \(c\in\mathbb{R}\).
B. Dacă \(a\lt b\) și \(c\gt0\), atunci \(ac\lt bc\) și \(\dfrac ac\lt\dfrac bc\).
C. Dacă \(a\lt b\) și \(c\lt0\), atunci \(ac\gt bc\) și \(\dfrac ac\gt\dfrac bc\) – sensul inegalității se schimbă.
D. \(x^2\ge0\) și \(|x|\ge0\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\);\((a-b)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Regulile rămân valabile dacă înlocuim „\(\lt\)” cu „\(\le\)”, respectiv „\(\gt\)” cu „\(\ge\)”. Exemplu: din \(-6\lt7\) obținem, adunând 5, \(-1\lt12\); înmulțind cu 2, \(-12\lt14\); înmulțind cu \(-2\), \(12\gt-14\).
Exemplul 5.8
Rezolvare
Exemplul 5.9 – tip Evaluare Națională
Rezolvare
5.5Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere
Definiție
O expresie de forma \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), unde \(P(x)\) și \(Q(x)\) sunt expresii algebrice, se numește raport algebric. Raportul are sens doar pentru valorile lui \(x\) pentru care numitorul este nenul. Mulțimea acestor valori se numește domeniul de definiție (mulțimea valorilor admisibile):
\[D=\{x\in\mathbb{R}\mid Q(x)\ne0\}.\]
Domeniul: se rezolvă ecuația \(Q(x)=0\) și se elimină soluțiile ei din \(\mathbb{R}\).
Simplificarea: \(\ \dfrac{P(x)\cdot R(x)}{Q(x)\cdot R(x)}=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), \(R(x)\ne0\) – se descompun numărătorul și numitorul în factori și se împart la factorii comuni.
Amplificarea: \(\ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P(x)\cdot R(x)}{Q(x)\cdot R(x)}\), \(R(x)\ne0\).
Atenție
- Se simplifică doar factori, nu termeni: \(\dfrac{x+2}{x+5}\ne\dfrac25\), iar \(\dfrac{x^2+1}{x}\ne x+1\).
- Domeniul se stabilește înainte de simplificare: \(\dfrac{x^2-4}{x+2}=x-2\) doar pentru \(x\ne-2\).
Exemplul 5.10
Rezolvare
a) \(x^2-9=0\iff x\in\{-3,3\}\), deci \(D=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\).
b) \(x^2+2x=x(x+2)=0\iff x\in\{-2,0\}\), deci \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}\).
c) \(x^2+4\ge4\gt0\) pentru orice \(x\), deci \(D=\mathbb{R}\).
Exemplul 5.11
Rezolvare
a) \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac{x-2}{x+2}\), \(x\ne-2\).
b) \(\dfrac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x}{x+3}\), \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\).
c) \(\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{2(x+1)}{x-1}\), \(x\ne1\).
5.6Operații cu rapoarte algebrice
Adunare/scădere (același numitor): \(\ \dfrac AQ\pm\dfrac BQ=\dfrac{A\pm B}{Q}\); altfel se aduc la numitorul comun (produsul factorilor comuni și necomuni, la puterea cea mai mare).
Înmulțire: \(\ \dfrac AB\cdot\dfrac CD=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot D}\)Împărțire: \(\ \dfrac AB:\dfrac CD=\dfrac AB\cdot\dfrac DC\), \(C\ne0\)
Ridicare la putere: \(\ \left(\dfrac AB\right)^n=\dfrac{A^n}{B^n}\)
Metodă
Înainte de orice operație, descompuneți numitorii (și numărătorii) în factori: numitorul comun se vede imediat, iar la înmulțire și împărțire se pot face simplificări înainte de a înmulți.
Exemplul 5.12
Rezolvare
a) Numitorul comun este \((x-1)(x+1)=x^2-1\): \(\dfrac{x+1-(x-1)}{x^2-1}=\dfrac{2}{x^2-1}\), \(x\ne\pm1\).
b) \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x+1}=x(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}\).
Exemplul 5.13 – tip Evaluare Națională
Rezolvare
Atunci \(E(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2-4}\cdot\dfrac{x^2-4}{x^2+4}=1\) (am folosit \(x^2+4\ne0\) pentru orice \(x\)).
Exemplul 5.14
Rezolvare
\(E(x)=\dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+1)^2}=\dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac{(x+1)+2}{x+1}=1+\dfrac{2}{x+1}\).
\(E(n)\in\mathbb{Z}\iff(n+1)\) divide 2 \(\iff n+1\in\{-2,-1,1,2\}\iff n\in\{-3,-2,0,1\}\).
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).