Triunghiul – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Tot ce trebuie știut despre triunghi: clasificare, suma unghiurilor și unghiul exterior, cazurile de congruență (inclusiv pentru triunghiurile dreptunghice), perpendicularitate și paralelism, liniile importante cu punctele lor de concurență, linia mijlocie, proprietățile triunghiurilor isoscel, echilateral și dreptunghic și inegalitățile în triunghi.

11.1Triunghiul. Elemente. Clasificare

Definiție

Figura geometrică formată din cele trei segmente determinate de trei puncte necoliniare \(A\), \(B\), \(C\) se numește triunghi și se notează \(\triangle ABC\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) sunt vârfurile, segmentele \([AB]\), \([BC]\), \([CA]\) sunt laturile, iar \(\sphericalangle A\), \(\sphericalangle B\), \(\sphericalangle C\) sunt unghiurile triunghiului.

Notații uzuale: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) (latura se notează cu litera vârfului opus).

Perimetrul: \(\mathcal{P}_{ABC}=AB+BC+CA=a+b+c\)Semiperimetrul: \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Clasificarea triunghiurilor

După laturi

scalen – laturile au lungimi diferite;

isoscel – are două laturi congruente (laturile laterale); a treia latură este baza;

echilateral – are toate laturile congruente.

După unghiuri

ascuțitunghic – toate unghiurile sunt ascuțite;

dreptunghic – are un unghi drept;

obtuzunghic – are un unghi obtuz.

Observație

Orice triunghi echilateral este și isoscel (de oricare bază). Un triunghi poate avea cel mult un unghi drept sau obtuz, deci are cel puțin două unghiuri ascuțite.

Exemplul 11.1

Un triunghi isoscel are baza de 8 cm și o latură laterală de 5 cm. Calculați perimetrul și semiperimetrul triunghiului.

Rezolvare

Laturile sunt \(5\) cm, \(5\) cm și \(8\) cm: \(\mathcal{P}=5+5+8=18\) cm, iar \(p=\dfrac{18}{2}=9\) cm.

↑ Cuprins

11.2Suma unghiurilor. Unghiul exterior

Teoremă

Suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este \(180^\circ\): \[m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=180^\circ\]

De ce?

Ducem prin \(A\) paralela \(xy\parallel BC\). Unghiurile \(xAB\) și \(B\), respectiv \(yAC\) și \(C\) sunt alterne interne, deci congruente. Unghiurile \(xAB\), \(BAC\), \(CAy\) formează un unghi alungit: suma lor este \(180^\circ\).

Unghiul exterior

Unghiul adiacent și suplementar cu un unghi al triunghiului se numește unghi exterior. Măsura lui este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el:

\(m(\sphericalangle ACD)=m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle B)\)

Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare: dacă \(m(\sphericalangle A)=90^\circ\), atunci \(m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=90^\circ\).

Unghiul exterior este mai mare decât fiecare unghi interior neadiacent cu el.Suma măsurilor celor trei unghiuri exterioare (câte unul în fiecare vârf) este \(360^\circ\).

Exemplul 11.2

Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele \(2\), \(3\) și \(4\). Aflați măsurile unghiurilor și precizați natura triunghiului.

Rezolvare

\(\dfrac{m(\sphericalangle A)}{2}=\dfrac{m(\sphericalangle B)}{3}=\dfrac{m(\sphericalangle C)}{4}=k\Rightarrow 2k+3k+4k=180^\circ\Rightarrow k=20^\circ\).

Unghiurile au \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\); toate sunt ascuțite, deci triunghiul este ascuțitunghic.

Exemplul 11.3

În triunghiul \(ABC\), punctul \(D\) se află pe prelungirea laturii \([BC]\), dincolo de \(C\). Știind că \(m(\sphericalangle ACD)=110^\circ\) și \(m(\sphericalangle BAC)=50^\circ\), calculați \(m(\sphericalangle ABC)\) și \(m(\sphericalangle ACB)\).

Rezolvare

Unghiul \(ACD\) este exterior: \(m(\sphericalangle ABC)=110^\circ-50^\circ=60^\circ\).\(m(\sphericalangle ACB)=180^\circ-110^\circ=70^\circ\) (unghiuri adiacente suplementare).

Verificare: \(50^\circ+60^\circ+70^\circ=180^\circ\).

↑ Cuprins

11.3Congruența triunghiurilor

Definiție

Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile respectiv congruente și unghiurile respectiv congruente:

\[\triangle ABC\equiv\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\iff\begin{cases}[AB]\equiv[A^{\prime}B^{\prime}],\ [BC]\equiv[B^{\prime}C^{\prime}],\ [CA]\equiv[C^{\prime}A^{\prime}]\\ \sphericalangle A\equiv\sphericalangle A^{\prime},\ \sphericalangle B\equiv\sphericalangle B^{\prime},\ \sphericalangle C\equiv\sphericalangle C^{\prime}\end{cases}\]

Atenție

Ordinea literelor contează: în \(\triangle ABC\equiv\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\), vârful \(A\) corespunde lui \(A^{\prime}\), \(B\) lui \(B^{\prime}\), \(C\) lui \(C^{\prime}\). În triunghiuri congruente, unghiurile congruente se opun laturilor congruente.

Cazurile de congruență

Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt congruente sunt suficiente trei perechi de elemente congruente, așezate ca mai jos:

L.U.L. (latură–unghi–latură)

două laturi și unghiul cuprins între ele

U.L.U. (unghi–latură–unghi)

o latură și cele două unghiuri alăturate ei

L.L.L. (latură–latură–latură)

toate cele trei laturi

L.U.U. (latură–unghi–unghi)

o latură, un unghi alăturat și unghiul opus ei (rezultă din U.L.U., deoarece al treilea unghi se obține din suma de \(180^\circ\))

Atenție

Nu există caz „U.U.U.”: două triunghiuri cu unghiurile respectiv congruente pot avea mărimi diferite (sunt doar asemenea). De asemenea, două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele nu garantează congruența.

Metoda triunghiurilor congruente

Pentru a demonstra că două segmente (sau două unghiuri) sunt congruente, le încadrăm în două triunghiuri, arătăm că triunghiurile sunt congruente (după unul dintre cazuri) și deducem congruența elementelor corespunzătoare.

Exemplul 11.4

În figura alăturată, \(\sphericalangle ABC\equiv\sphericalangle DCB\) și \(\sphericalangle ACB\equiv\sphericalangle DBC\). Demonstrați că \(\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle CDB\) și \([AC]\equiv[DB]\).

Rezolvare

Privim \(\triangle ABC\) și \(\triangle DCB\): \(\sphericalangle ABC\equiv\sphericalangle DCB\) (ipoteză), \([BC]\equiv[CB]\) (latură comună), \(\sphericalangle ACB\equiv\sphericalangle DBC\) (ipoteză).

Conform cazului U.L.U., \(\triangle ABC\equiv\triangle DCB\), de unde \(\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle CDB\) și \([AC]\equiv[DB]\).

Exemplul 11.5

În patrulaterul \(ABCD\), \([AB]\equiv[AD]\), iar \([AC\) este bisectoarea unghiului \(BAD\). Arătați că \([CB]\equiv[CD]\).

Rezolvare

În \(\triangle ABC\) și \(\triangle ADC\): \([AB]\equiv[AD]\) (ipoteză), \(\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle DAC\) (\(AC\) bisectoare), \([AC]\equiv[AC]\) (latură comună).

Conform cazului L.U.L., \(\triangle ABC\equiv\triangle ADC\), deci \([CB]\equiv[CD]\).

↑ Cuprins

11.4Congruența triunghiurilor dreptunghice

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Deoarece unghiurile drepte sunt congruente, la triunghiurile dreptunghice sunt suficiente două perechi de elemente congruente:

C.C. (catetă–catetă)

catetele respectiv congruente

C.U. (catetă–unghi)

o catetă și un unghi ascuțit (alăturat sau opus ei, corespunzător)

I.U. (ipotenuză–unghi)

ipotenuza și un unghi ascuțit

I.C. (ipotenuză–catetă)

ipotenuza și o catetă

Exemplul 11.6

În triunghiul isoscel \(ABC\), cu \([AB]\equiv[AC]\), se duc înălțimile \(BD\), \(D\in AC\), și \(CE\), \(E\in AB\). Demonstrați că \([BD]\equiv[CE]\).

Rezolvare

Triunghiurile \(BDC\) și \(CEB\) sunt dreptunghice (în \(D\), respectiv \(E\)), au ipotenuza comună \([BC]\) și \(\sphericalangle DCB\equiv\sphericalangle EBC\) (unghiurile de la baza triunghiului isoscel).

Conform cazului I.U., \(\triangle BDC\equiv\triangle CEB\), deci \([BD]\equiv[CE]\): înălțimile corespunzătoare laturilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente.

↑ Cuprins

11.5Perpendicularitate. Mediatoarea. Proprietatea bisectoarei

Definiții

Două drepte concurente sunt perpendiculare dacă unul dintre unghiurile formate în jurul punctului lor comun este drept (atunci toate patru sunt drepte). Notăm \(d\perp g\).

Dacă \(A\notin d\), punctul \(B\in d\) cu \(AB\perp d\) se numește piciorul perpendicularei din \(A\) pe \(d\). Distanța de la punctul \(A\) la dreapta \(d\) este lungimea perpendicularei: \(d(A,d)=AB\).

Dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă.

Perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică dusă din același punct: \(AB\lt AC\).

Mediatoarea unui segment

este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui.

Proprietate: un punct aparține mediatoarei segmentului \([AB]\) dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele segmentului: \(P\in m\iff PA=PB\).

Proprietatea bisectoarei

Un punct din interiorul unui unghi propriu aparține bisectoarei unghiului dacă și numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului: \(PE=PF\).

Exemplul 11.7

În triunghiul \(ABC\), \(AC=8\) cm și \(BC=12\) cm. Mediatoarea laturii \([AB]\) intersectează latura \([BC]\) în punctul \(D\). Calculați perimetrul triunghiului \(ACD\).

Rezolvare

\(D\) aparține mediatoarei lui \([AB]\), deci \(DA=DB\). Atunci

\(\mathcal{P}_{ACD}=AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=8+12=20\) cm.

Exemplul 11.8

Punctul \(P\) se află pe bisectoarea unghiului \(xOy\), iar distanța de la \(P\) la latura \([Ox\) este de 4 cm. Aflați distanța de la \(P\) la latura \([Oy\).

Rezolvare

Orice punct al bisectoarei este egal depărtat de laturile unghiului, deci \(d(P,Oy)=d(P,Ox)=4\) cm. (Justificare: triunghiurile dreptunghice \(OEP\) și \(OFP\) sunt congruente după cazul I.U.)

↑ Cuprins

11.6Paralelism

Definiție

Două drepte sunt paralele dacă sunt coplanare și nu au niciun punct comun. Prin un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea (axioma lui Euclid).

Metode de a demonstra că \(a\parallel b\):

o secantă formează cu ele unghiuri alterne interne (sau corespondente) congruente, ori unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare (vezi capitolul 10);
\(a\perp c\) și \(b\perp c\Rightarrow a\parallel b\) (două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele);
\(a\parallel c\) și \(b\parallel c\Rightarrow a\parallel b\) (tranzitivitate);
una dintre ele este linie mijlocie într-un triunghi, iar cealaltă conține a treia latură (secțiunea 11.8).

Exemplul 11.9

Segmentele \([AB]\) și \([CD]\) se intersectează în punctul \(O\), care este mijlocul fiecăruia dintre ele. Demonstrați că \(AC\parallel BD\) și \([AC]\equiv[BD]\).

Rezolvare

În \(\triangle AOC\) și \(\triangle BOD\): \([OA]\equiv[OB]\), \([OC]\equiv[OD]\) (\(O\) mijloc) și \(\sphericalangle AOC\equiv\sphericalangle BOD\) (opuse la vârf). Conform L.U.L., \(\triangle AOC\equiv\triangle BOD\), deci \([AC]\equiv[BD]\) și \(\sphericalangle OAC\equiv\sphericalangle OBD\).

Unghiurile \(OAC\) și \(OBD\) sunt alterne interne pentru dreptele \(AC\), \(BD\) și secanta \(AB\); fiind congruente, \(AC\parallel BD\).

↑ Cuprins

11.7Linii importante în triunghi și punctele de concurență

Linia	Definiție	Punctul de concurență
bisectoarea	segmentul determinat de un vârf și punctul în care bisectoarea unghiului din acel vârf intersectează latura opusă	\(I\) – centrul cercului înscris (egal depărtat de laturi)
mediatoarea	perpendiculara pe o latură în mijlocul ei	\(O\) – centrul cercului circumscris (egal depărtat de vârfuri)
înălțimea	segmentul determinat de un vârf și piciorul perpendicularei din acel vârf pe latura opusă (sau pe prelungirea ei)	\(H\) – ortocentrul
mediana	segmentul determinat de un vârf și mijlocul laturii opuse	\(G\) – centrul de greutate

Bisectoarele → \(I\)

Mediatoarele → \(O\)

Înălțimile → \(H\)

Medianele → \(G\)

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de latură (bază): dacă \(BM\) este mediană,

\[BG=\dfrac{2}{3}BM,\qquad GM=\dfrac{1}{3}BM,\qquad BG=2\cdot GM\]

Poziția punctelor \(O\) și \(H\)

În triunghiul ascuțitunghic, \(O\) și \(H\) sunt în interiorul triunghiului; în triunghiul dreptunghic, \(O\) este mijlocul ipotenuzei, iar \(H\) este vârful unghiului drept; în triunghiul obtuzunghic, \(O\) și \(H\) sunt în exteriorul triunghiului. Punctele \(I\) și \(G\) sunt întotdeauna în interior.

Exemplul 11.10

a) În triunghiul \(ABC\), mediana \(BM\) are 12 cm. Calculați \(BG\) și \(GM\), unde \(G\) este centrul de greutate.
b) Dacă \(AD\) este mediană și \(AG=6\) cm, aflați lungimea medianei \(AD\).

Rezolvare

a) \(BG=\dfrac{2}{3}\cdot12=8\) cm, \(GM=\dfrac{1}{3}\cdot12=4\) cm.

b) \(AG=\dfrac{2}{3}AD\Rightarrow AD=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) cm.

Exemplul 11.11

În triunghiul \(ABC\), \(m(\sphericalangle A)=80^\circ\), iar bisectoarele unghiurilor \(B\) și \(C\) se intersectează în punctul \(I\). Calculați \(m(\sphericalangle BIC)\).

Rezolvare

\(m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=180^\circ-80^\circ=100^\circ\). În \(\triangle BIC\): \(m(\sphericalangle IBC)+m(\sphericalangle ICB)=\dfrac{100^\circ}{2}=50^\circ\).

\(m(\sphericalangle BIC)=180^\circ-50^\circ=130^\circ\). (În general, \(m(\sphericalangle BIC)=90^\circ+\dfrac{m(\sphericalangle A)}{2}\).)

↑ Cuprins

11.8Linia mijlocie în triunghi

Definiție și teoremă

Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie. Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

\[M,N\ \text{mijloacele laturilor}\ [AB],[AC]\ \Rightarrow\ MN\parallel BC\ \text{și}\ MN=\dfrac{BC}{2}\]

Reciproca: paralela dusă prin mijlocul unei laturi la a doua latură trece prin mijlocul celei de-a treia laturi.

Reține

Cele trei linii mijlocii împart triunghiul în patru triunghiuri congruente; perimetrul triunghiului format de liniile mijlocii este jumătate din perimetrul triunghiului inițial.

Exemplul 11.12

Triunghiul \(ABC\) are laturile \(AB=6\) cm, \(BC=10\) cm și \(AC=8\) cm. Punctele \(M\), \(N\), \(P\) sunt mijloacele laturilor \([AB]\), \([AC]\), respectiv \([BC]\). Calculați \(MN\) și perimetrul triunghiului \(MNP\).

Rezolvare

\(MN=\dfrac{BC}{2}=5\) cm, \(NP=\dfrac{AB}{2}=3\) cm, \(MP=\dfrac{AC}{2}=4\) cm.

\(\mathcal{P}_{MNP}=5+3+4=12\) cm \(=\dfrac{\mathcal{P}_{ABC}}{2}=\dfrac{24}{2}\) cm.

↑ Cuprins

11.9Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Triunghiul isoscel \((AB=AC)\)

unghiurile alăturate bazei sunt congruente: \(\sphericalangle B\equiv\sphericalangle C\);
bisectoarea unghiului din vârf, mediana și înălțimea corespunzătoare bazei coincid și sunt incluse în mediatoarea bazei;
medianele (înălțimile, bisectoarele) corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.

Triunghiul echilateral

toate unghiurile au \(60^\circ\);
din fiecare vârf, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea laturii opuse coincid;
punctele \(I\), \(O\), \(H\), \(G\) coincid (centrul triunghiului).

Cum arătăm că un triunghi este isoscel: are două laturi congruente; sau două unghiuri congruente; sau una dintre liniile importante dintr-un vârf este și o altă linie importantă (de exemplu, o bisectoare este și înălțime, o mediană este și înălțime).

Triunghiul echilateral: are trei laturi congruente; sau trei unghiuri congruente; sau este isoscel și are un unghi de \(60^\circ\).

Formule în triunghiul echilateral de latură \(\ell\) (se obțin cu teorema lui Pitagora, capitolul 13):

\[h=\dfrac{\ell\sqrt3}{2}\qquad \mathcal{A}=\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4}\qquad AO=R=\dfrac{2h}{3}=\dfrac{\ell\sqrt3}{3}\qquad OD=r=\dfrac{h}{3}=\dfrac{\ell\sqrt3}{6}\]

Exemplul 11.13

Un triunghi isoscel are unghiul din vârf de \(40^\circ\). Aflați măsurile unghiurilor de la bază.

Rezolvare

Unghiurile de la bază sunt congruente: \(m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle C)=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\).

Exemplul 11.14

În triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB=AC\), \(m(\sphericalangle ABC)=50^\circ\), iar \(D\) este mijlocul bazei \([BC]\). Calculați \(m(\sphericalangle BAD)\) și \(m(\sphericalangle ADB)\).

Rezolvare

\(m(\sphericalangle BAC)=180^\circ-2\cdot50^\circ=80^\circ\). Mediana \(AD\) corespunzătoare bazei este și bisectoare, și înălțime: \(m(\sphericalangle BAD)=40^\circ\) și \(m(\sphericalangle ADB)=90^\circ\).

Exemplul 11.15

Un triunghi echilateral are perimetrul de 18 cm. Calculați înălțimea lui și distanța de la centrul triunghiului la un vârf.

Rezolvare

\(\ell=\dfrac{18}{3}=6\) cm; \(h=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) cm; \(AO=\dfrac{2}{3}h=2\sqrt3\) cm.

↑ Cuprins

11.10Triunghiul dreptunghic

Fie \(\triangle ABC\) dreptunghic în \(A\): \([AB]\), \([AC]\) sunt catete, \([BC]\) este ipotenuza (cea mai lungă latură).

Unghiurile ascuțite sunt complementare: \(m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=90^\circ\).

Triunghiul dreptunghic isoscel \((AB=AC)\) are unghiurile ascuțite de câte \(45^\circ\).

Centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei; ortocentrul este vârful unghiului drept.

Mediana corespunzătoare ipotenuzei

are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză: \[AM=\dfrac{BC}{2}=BM=MC\]

Reciproc: dacă într-un triunghi o mediană este jumătate din latura pe care cade, triunghiul este dreptunghic (unghiul drept fiind în vârful din care pleacă mediana).

Teorema unghiului de 30°

Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză: \[m(\sphericalangle B)=30^\circ\Rightarrow AC=\dfrac{BC}{2}\]

Reciproc: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are \(30^\circ\).

De ce?

Pentru teorema unghiului de \(30^\circ\), luăm \(D\) simetricul lui \(C\) față de \(A\). În \(\triangle BCD\), \(BA\) este mediană și înălțime, deci \(BC=BD\), iar \(m(\sphericalangle CBD)=2\cdot30^\circ=60^\circ\). Triunghiul \(BCD\) este echilateral, deci \(AC=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{BC}{2}\).

Exemplul 11.16

Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), cu \(m(\sphericalangle B)=30^\circ\) și \(BC=12\) cm. Fie \(M\) mijlocul ipotenuzei. Calculați \(AC\), \(AM\) și arătați că triunghiul \(AMC\) este echilateral.

Rezolvare

Cateta \(AC\) se opune unghiului de \(30^\circ\): \(AC=\dfrac{12}{2}=6\) cm. Mediana pe ipotenuză: \(AM=\dfrac{12}{2}=6\) cm, iar \(MC=6\) cm.

\(AM=MC=AC=6\) cm, deci \(\triangle AMC\) este echilateral (în acord cu \(m(\sphericalangle C)=60^\circ\)).

Exemplul 11.17

Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic isoscel, cu \(m(\sphericalangle A)=90^\circ\), și \(BC=10\) cm. Fie \(AM\) mediana corespunzătoare ipotenuzei. Aflați \(m(\sphericalangle B)\), \(AM\) și \(m(\sphericalangle AMB)\).

Rezolvare

\(m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle C)=45^\circ\); \(AM=\dfrac{BC}{2}=5\) cm.

Triunghiul fiind isoscel cu baza \([BC]\), mediana \(AM\) este și înălțime: \(m(\sphericalangle AMB)=90^\circ\).

↑ Cuprins

11.11Inegalități în triunghi

Inegalitatea triunghiului

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor:

\[|b-c|\lt a\lt b+c\]

Trei numere pozitive pot fi lungimile laturilor unui triunghi dacă și numai dacă cel mai mare dintre ele este mai mic decât suma celorlalte două.

În orice triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare și reciproc: \(a\gt b\iff m(\sphericalangle A)\gt m(\sphericalangle B)\).

În triunghiul dreptunghic (și în cel obtuzunghic), latura opusă unghiului drept (obtuz) este cea mai mare.

Unghiul exterior este mai mare decât oricare unghi interior neadiacent cu el.

Exemplul 11.18

a) Pot fi numerele \(3\), \(4\) și \(8\) lungimile laturilor unui triunghi?
b) Un triunghi isoscel are două laturi de 4 cm și 9 cm. Aflați perimetrul lui.

Rezolvare

a) \(8\gt3+4=7\), deci nu există un astfel de triunghi.

b) Dacă laturile laterale ar avea 4 cm, laturile ar fi \(4, 4, 9\), dar \(9\gt4+4\) – imposibil. Deci laturile sunt \(9, 9, 4\) (\(9\lt9+4\)) și \(\mathcal{P}=22\) cm.

Exemplul 11.19

În triunghiul \(ABC\), \(AB=5\) cm, \(BC=7\) cm și \(AC=6\) cm. Ordonați crescător măsurile unghiurilor triunghiului.

Rezolvare

Latura \(AB\) se opune unghiului \(C\), \(AC\) unghiului \(B\), iar \(BC\) unghiului \(A\). Din \(AB\lt AC\lt BC\) rezultă \(m(\sphericalangle C)\lt m(\sphericalangle B)\lt m(\sphericalangle A)\).

↑ Cuprins

Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).