Patrulatere. Arii – teorie, formule și exemple rezolvate

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex:

\[m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)+m(\sphericalangle D)=360^\circ\]

Perimetrul: \(\mathcal{P}_{ABCD}=AB+BC+CD+DA\)

Proprietățile paralelogramului \(ABCD\) (cu \(AC\cap BD=\{O\}\)):

• laturile opuse sunt congruente: \([AB]\equiv[CD]\), \([AD]\equiv[BC]\);
• unghiurile opuse sunt congruente: \(\sphericalangle A\equiv\sphericalangle C\), \(\sphericalangle B\equiv\sphericalangle D\);
• unghiurile alăturate unei laturi sunt suplementare: \(m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle B)=180^\circ\);
• diagonalele se înjumătățesc (au același mijloc): \(AO=OC\), \(BO=OD\);
• punctul \(O\) este centru de simetrie al paralelogramului.

Perimetrul: \(\mathcal{P}=2(AB+BC)\)Aria: \(\mathcal{A}=AB\cdot DE=b\cdot h\)

Proprietăți: are toate proprietățile paralelogramului și, în plus:

• toate unghiurile sunt drepte (au \(90^\circ\));
• diagonalele sunt congruente: \(AC=BD\), deci \(OA=OB=OC=OD\);
• vârfurile se află pe cercul de centru \(O\) și rază \(\dfrac{AC}{2}\).

\(\mathcal{P}=2(L+l)\)\(\mathcal{A}=L\cdot l\)\(d=\sqrt{L^2+l^2}\)

Proprietăți: are toate proprietățile paralelogramului și, în plus:

• toate laturile sunt congruente: \(AB=BC=CD=DA=l\);
• diagonalele sunt perpendiculare: \(AC\perp BD\);
• diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului.

\(\mathcal{P}=4l\)\(\mathcal{A}=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}=l\cdot h\)\(l^2=\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2\)

Proprietăți: are toate proprietățile dreptunghiului și ale rombului: toate laturile congruente, toate unghiurile drepte, diagonalele congruente, perpendiculare, care se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor.

\(\mathcal{P}=4l\)\(\mathcal{A}=l^2=\dfrac{d^2}{2}\)\(d=l\sqrt{2}\)

În trapezul \(ABCD\) cu \(AB\parallel CD\) (\(AB=B\), \(CD=b\), înălțimea \(h\)):

• unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare: \(m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle D)=180^\circ\), \(m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=180^\circ\);
• linia mijlocie \(MN\) (unește mijloacele laturilor neparalele) este paralelă cu bazele și \(MN=\dfrac{B+b}{2}\);
• segmentul determinat de linia mijlocie pe diagonale: \(PQ=\dfrac{B-b}{2}\).

\[\mathcal{A}_{\text{trapez}}=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}=MN\cdot h\]

• laturile neparalele sunt congruente: \(AD=BC\);
• unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente: \(\sphericalangle A\equiv\sphericalangle B\), \(\sphericalangle C\equiv\sphericalangle D\);
• diagonalele sunt congruente: \(AC=BD\);
• trapezul isoscel este inscriptibil (vârfurile lui se află pe un cerc);
• dacă \(DE\perp AB\) și \(CF\perp AB\), atunci \(AE=FB=\dfrac{B-b}{2}\) și \(EF=b\).

\(m(\sphericalangle A)=m(\sphericalangle D)=90^\circ\), \(AD=h\); cu \(CE\perp AB\): \(AECD\) este dreptunghi, \(CE=AD\), \(EB=B-b\).

Formula de bază (baza înmulțită cu înălțimea corespunzătoare):

\[\mathcal{A}=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{a\cdot h_a}{2}=\dfrac{b\cdot h_b}{2}=\dfrac{c\cdot h_c}{2}\]

Triunghi dreptunghic (catetele \(c_1\), \(c_2\), ipotenuza \(i\)):\(\mathcal{A}=\dfrac{c_1\cdot c_2}{2}\),înălțimea pe ipotenuză \(h=\dfrac{c_1\cdot c_2}{i}\)

Triunghi echilateral de latură \(l\):\(\mathcal{A}=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\),\(h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\)

Cu sinusul unghiului dintre două laturi:

\[\mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}=\dfrac{b\cdot c\cdot\sin A}{2}=\dfrac{a\cdot c\cdot\sin B}{2}=\dfrac{a\cdot b\cdot\sin C}{2}\]

Formula lui Heron: \[\mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Raza cercului înscris:\(r=\dfrac{\mathcal{A}}{p}\)Raza cercului circumscris:\(R=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{4\mathcal{A}}\)

Triunghi dreptunghic:\(R=\dfrac{i}{2}\),\(r=\dfrac{c_1+c_2-i}{2}\)Triunghi echilateral:\(R=\dfrac{l\sqrt{3}}{3}\),\(r=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\)

• Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale: \(\mathcal{A}_{ABM}=\mathcal{A}_{AMC}=\dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{2}\).
• Triunghiurile cu aceeași înălțime au ariile proporționale cu bazele: \(\dfrac{\mathcal{A}_{ABD}}{\mathcal{A}_{ADC}}=\dfrac{BD}{DC}\), pentru \(D\in(BC)\).
• Medianele împart triunghiul în 6 triunghiuri cu arii egale.