Asemănarea triunghiurilor. Relații metrice în triunghiul dreptunghic – teorie, formule și exemple rezolvate
Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Segmente proporționale (teorema paralelelor, teorema lui Thales și reciproca ei, teorema bisectoarei), asemănarea triunghiurilor cu criteriile ei, relațiile metrice în triunghiul dreptunghic și rapoartele trigonometrice ale unui unghi ascuțit.
13.1Segmente proporționale. Teorema lui Thales
Definiție
Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor (măsurate cu aceeași unitate). Segmentele \([AB]\), \([CD]\) sunt proporționale cu \([MN]\), \([PQ]\) dacă \(\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{MN}{PQ}\).
Teorema paralelelor echidistante
Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă tot segmente congruente.
Teorema lui Thales
O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.
\[MN\parallel BC\ \Rightarrow\ \dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\]
Forme echivalente (proporții derivate):\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)\(\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{NC}{AC}\)
Reciproca teoremei lui Thales
Dacă \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\) și \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\), atunci \(MN\parallel BC\).
Teorema paralelelor neechidistante
Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale: \(\dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}=\dfrac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}\).
Linia mijlocie în triunghi
Caz particular: dacă \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \([AB]\) și \([AC]\), atunci \(MN\parallel BC\) și \(MN=\dfrac{BC}{2}\).
Exemplul 13.1
Rezolvare
Din teorema lui Thales: \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\Rightarrow\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{NC}\Rightarrow NC=\dfrac{6\cdot6}{4}=9\text{ cm}\).
Exemplul 13.2
Rezolvare
\(MB=12-4=8\text{ cm}\), \(NC=18-6=12\text{ cm}\). Cum \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\) și \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\), din reciproca teoremei lui Thales rezultă \(MN\parallel BC\).
13.2Teorema bisectoarei
Teorema bisectoarei
Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
\[[AD\ \text{bisectoarea}\ \sphericalangle BAC,\ D\in(BC)\ \Rightarrow\ \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\]
Cu \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\):\(BD=\dfrac{a\cdot c}{b+c}\)\(DC=\dfrac{a\cdot b}{b+c}\)
Reciproca
Dacă \(D\in(BC)\) și \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\), atunci \([AD\) este bisectoarea unghiului \(BAC\).
Exemplul 13.3
Rezolvare
\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\), deci \(BD=2k\), \(DC=3k\), \(5k=10\Rightarrow k=2\). Rezultă \(BD=4\text{ cm}\), \(DC=6\text{ cm}\).
13.3Asemănarea triunghiurilor
Definiție
Triunghiurile \(ABC\) și \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) sunt asemenea (\(\triangle ABC\sim\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\)) dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare proporționale:
\[\sphericalangle A\equiv\sphericalangle A^{\prime},\ \sphericalangle B\equiv\sphericalangle B^{\prime},\ \sphericalangle C\equiv\sphericalangle C^{\prime}\quad\text{și}\quad\dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}=\dfrac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=k\]
Numărul \(k\) se numește raport de asemănare.
Teorema fundamentală a asemănării
O paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.
\[MN\parallel BC,\ M\in AB,\ N\in AC\ \Rightarrow\ \triangle AMN\sim\triangle ABC\ \Rightarrow\ \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\]
Criteriile de asemănare
- Cazul U.U. Două triunghiuri care au două unghiuri respectiv congruente sunt asemenea.
- Cazul L.U.L. Două triunghiuri care au două perechi de laturi respectiv proporționale și unghiurile cuprinse între ele congruente sunt asemenea.
- Cazul L.L.L. Două triunghiuri care au laturile respectiv proporționale sunt asemenea.
Dacă \(\triangle ABC\sim\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) cu raportul \(k\), atunci:
- raportul perimetrelor, al înălțimilor, medianelor și bisectoarelor corespunzătoare este \(k\);
- raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare:
\[\dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{\mathcal{A}_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}}=k^2\]
Atenție
Scrie triunghiurile asemenea în ordinea vârfurilor corespunzătoare (vârfuri cu unghiuri congruente pe aceleași poziții), altfel rapoartele laturilor se scriu greșit. Raportul ariilor nu este \(k\), ci \(k^2\).
Exemplul 13.4
Rezolvare
Din teorema fundamentală a asemănării, \(\triangle AMN\sim\triangle ABC\) cu \(k=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).
\(MN=\dfrac{BC}{3}=4\text{ cm}\);\(\dfrac{\mathcal{A}_{AMN}}{\mathcal{A}_{ABC}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\).
Exemplul 13.5
Rezolvare
\(\sphericalangle OAB\equiv\sphericalangle OCD\) (alterne interne) și \(\sphericalangle AOB\equiv\sphericalangle COD\) (opuse la vârf), deci \(\triangle AOB\sim\triangle COD\) (cazul U.U.) cu \(k=\dfrac{AB}{CD}=3\).
\(\dfrac{OA}{OC}=3\) și \(OA+OC=20\Rightarrow OC=5\text{ cm}\), \(OA=15\text{ cm}\).
Exemplul 13.6
Rezolvare
\(\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\): laturile sunt proporționale, deci triunghiurile sunt asemenea (cazul L.L.L.). Raportul perimetrelor este \(k=\dfrac{2}{3}\) (\(18:27\)).
13.4Relații metrice în triunghiul dreptunghic
Fie \(\triangle ABC\) dreptunghic în \(A\), \(AD\perp BC\), \(D\in(BC)\). Segmentele \(BD\) și \(DC\) sunt proiecțiile catetelor \(AB\) și \(AC\) pe ipotenuză.
Teorema înălțimii
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: \(AD^2=BD\cdot DC\).
Teorema catetei
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză: \(AB^2=BD\cdot BC\), \(AC^2=DC\cdot BC\).
Teorema lui Pitagora
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor: \(BC^2=AB^2+AC^2\).
Reciproca: dacă într-un triunghi \(BC^2=AB^2+AC^2\), atunci triunghiul este dreptunghic în \(A\).
\(AD^2=BD\cdot DC\)\(AB^2=BD\cdot BC\)\(AC^2=DC\cdot BC\)
\(BC^2=AB^2+AC^2\)\(AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)\(AM=\dfrac{BC}{2}\) (\(AM\) – mediana)
Numere pitagoreice utile
\((3,4,5)\), \((6,8,10)\), \((5,12,13)\), \((8,15,17)\), \((7,24,25)\), \((9,12,15)\), \((12,16,20)\) – și orice multiplu al lor.
Consecințe
- Diagonala pătratului de latură \(l\): \(d=l\sqrt{2}\); înălțimea triunghiului echilateral de latură \(l\): \(h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\).
- Cateta care se opune unghiului de \(30^\circ\) are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză (teorema unghiului de \(30^\circ\)).
- Diagonala dreptunghiului: \(d=\sqrt{L^2+l^2}\).
Atenție
Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă latură. Scrie teorema lui Pitagora cu ipotenuza singură în membrul stâng; dacă se cere o catetă: \(AB^2=BC^2-AC^2\).
Exemplul 13.7
Rezolvare
Teorema înălțimii: \(AD^2=4\cdot9=36\Rightarrow AD=6\text{ cm}\).
\(BC=13\text{ cm}\). Teorema catetei: \(AB^2=4\cdot13=52\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}\);\(AC^2=9\cdot13=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\text{ cm}\).
Exemplul 13.8
Rezolvare
\(BC=\sqrt{36+64}=10\text{ cm}\);\(AD=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm}\);\(BD=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=3{,}6\text{ cm}\).
Exemplul 13.9
Rezolvare
\(5^2+12^2=25+144=169=13^2\); conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic (unghiul drept se opune laturii de \(13\text{ cm}\)).
13.5Rapoarte trigonometrice în triunghiul dreptunghic
Fie \(\triangle ABC\) dreptunghic în \(A\) și unghiul ascuțit \(B\).
\[\sin B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}=\dfrac{AC}{BC}\qquad\cos B=\dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}=\dfrac{AB}{BC}\]
\[\operatorname{tg}B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}=\dfrac{AC}{AB}\qquad\operatorname{ctg}B=\dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}=\dfrac{AB}{AC}\]
Relații între rapoartele trigonometrice (\(0^\circ\lt x\lt 90^\circ\)):
\(\sin^2x+\cos^2x=1\)\(\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)\(\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}\)
\(\sin x=\cos(90^\circ-x)\)\(\cos x=\sin(90^\circ-x)\)\(\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}(90^\circ-x)\)
În \(\triangle ABC\) dreptunghic în \(A\): \(\sin B=\cos C\), \(\operatorname{tg}B=\operatorname{ctg}C\).
| \(x\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos x\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(\operatorname{tg}x\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(\operatorname{ctg}x\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) |
Cum reții tabelul
Valorile se citesc din cele două triunghiuri de mai sus: în triunghiul cu unghiurile de \(30^\circ\) și \(60^\circ\), laturile sunt \(a\), \(a\sqrt{3}\), \(2a\); în triunghiul dreptunghic isoscel, \(a\), \(a\), \(a\sqrt{2}\). De exemplu, \(\sin30^\circ=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\), \(\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\).
Atenție
Rapoartele trigonometrice se definesc doar pentru unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic; \(\sin\) și \(\cos\) sunt mereu subunitare, pentru că ipotenuza este cea mai lungă latură.
Exemplul 13.10
Rezolvare
\(AC=\sqrt{100-36}=8\text{ cm}\). Pentru unghiul \(C\): cateta opusă este \(AB=6\), cateta alăturată \(AC=8\).
\(\sin C=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\);\(\cos C=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\);\(\operatorname{tg}C=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\);\(\operatorname{ctg}C=\dfrac{4}{3}\).
Exemplul 13.11
Rezolvare
\(AC=BC\cdot\sin30^\circ=12\cdot\dfrac{1}{2}=6\text{ cm}\);\(AB=BC\cdot\cos30^\circ=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}\).
\(\mathcal{A}=\dfrac{6\cdot6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}\text{ cm}^2\).
Exemplul 13.12
Rezolvare
\(\cos^2x=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\Rightarrow\cos x=\dfrac{12}{13}\) (unghi ascuțit, deci \(\cos x\gt0\));\(\operatorname{tg}x=\dfrac{5}{12}\).
Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).