mateinfo.roANDREI OCTAVIAN DOBRE20 ani20ANI

Cercul. Poligoane regulate – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Geometrie. Elementele cercului, pozițiile relative ale unui punct, ale unei drepte și ale două cercuri, unghiurile în cerc, tangenta, lungimea cercului și aria discului, arcul și sectorul de cerc, apoi poligoanele regulate înscrise (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat) cu latura, apotema și aria exprimate în funcție de raza cercului.

14.1Elementele cercului

Definiție

Cercul de centru \(O\) și rază \(r\), notat \(\mathcal{C}(O,r)\), este mulțimea punctelor din plan situate la distanța \(r\) față de punctul \(O\). Discul este reuniunea dintre cerc și interiorul său.

OABCDErazadiametrulcoardaarcul DE
  • raza – segmentul care unește centrul cu un punct al cercului (\(OA=r\));
  • coarda – segmentul care unește două puncte ale cercului (\([DE]\));
  • diametrul – coarda care trece prin centru: \(BC=d=2r\) (cea mai lungă coardă);
  • arcul – porțiunea de cerc dintre două puncte ale sale, notat \(\overset{\frown}{DE}\); două puncte diametral opuse determină două semicercuri.

Poziția unui punct \(M\) față de \(\mathcal{C}(O,r)\): \(OM\lt r\) – în interior;\(OM=r\) – pe cerc;\(OM\gt r\) – în exterior.

Proprietăți ale coardelor

  • Diametrul perpendicular pe o coardă înjumătățește coarda și arcul subîntins de ea.
  • Într-un cerc, coardele congruente subîntind arce congruente și sunt egal depărtate de centru (și reciproc).
  • Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente.

Exemplul 14.1

În cercul de centru \(O\) și rază \(5\text{ cm}\) se consideră coarda \(AB=8\text{ cm}\). Calculați distanța de la centrul cercului la coardă.
Rezolvare

Fie \(OM\perp AB\), \(M\in AB\). Atunci \(M\) este mijlocul lui \([AB]\), deci \(AM=4\text{ cm}\). În \(\triangle OMA\) dreptunghic: \(OM=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{ cm}\).

OABM354

↑ Cuprins

14.2Poziții relative. Tangenta la cerc

Poziția unei drepte față de un cerc

Fie \(d\) distanța de la centrul \(O\) la dreaptă.

Odexterioară: d > rOdtangentă: d = rOdsecantă: d < r
Poziția dreptei Puncte comune cu cercul Condiția
exterioară niciunul \(d\gt r\)
tangentă unul (punctul de tangență) \(d=r\)
secantă două \(d\lt r\)

Proprietățile tangentei

  • Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență: \(PA\perp OA\).
  • Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente: \(PA=PB\), iar \(PO\) este bisectoarea unghiului \(APB\).
OABP6810

Exemplul 14.2

Din punctul \(P\), situat la \(10\text{ cm}\) de centrul cercului \(\mathcal{C}(O,6\text{ cm})\), se duc tangentele \(PA\) și \(PB\). Calculați \(PA\) și aria patrulaterului \(OAPB\).
Rezolvare

\(OA\perp PA\), deci în \(\triangle OAP\) dreptunghic: \(PA=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}\) și \(PB=PA=8\text{ cm}\).

\(\mathcal{A}_{OAPB}=2\cdot\mathcal{A}_{OAP}=2\cdot\dfrac{6\cdot8}{2}=48\text{ cm}^2\).

Pozițiile relative a două cercuri

Fie cercurile \(\mathcal{C}(O_1,R)\) și \(\mathcal{C}(O_2,r)\), \(R\ge r\), și \(d=O_1O_2\).

exterioared > R + rtangente exteriord = R + rsecanteR − r < d < R + rtangente interiord = R − rinterioared < R − r
Poziția Puncte comune Condiția
exterioare niciunul \(d\gt R+r\)
tangente exterior unul \(d=R+r\)
secante două \(R-r\lt d\lt R+r\)
tangente interior unul \(d=R-r\)
interioare niciunul \(d\lt R-r\) (concentrice dacă \(d=0\))

Exemplul 14.3

Două cercuri au razele de \(7\text{ cm}\) și \(3\text{ cm}\), iar distanța dintre centre este de \(10\text{ cm}\). Precizați poziția lor relativă.
Rezolvare

\(R+r=7+3=10=d\), deci cercurile sunt tangente exterior.

↑ Cuprins

14.3Unghiuri în cerc

Unghiul la centru și unghiul înscris

Unghiul la centru are vârful în centrul cercului și laturile raze; măsura lui este egală cu măsura arcului cuprins între laturi.

Unghiul înscris în cerc are vârful pe cerc, iar laturile sunt coarde; măsura lui este jumătate din măsura arcului cuprins între laturi.

OABC

\(m(\sphericalangle AOB)=m(\overset{\frown}{AB})\)\(m(\sphericalangle ACB)=\dfrac{m(\overset{\frown}{AB})}{2}=\dfrac{m(\sphericalangle AOB)}{2}\)

Măsura întregului cerc este \(360^\circ\); măsura unui semicerc este \(180^\circ\).

Consecințe

  • Unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente.
  • Unghiul înscris într-un semicerc este drept: dacă \([BC]\) este diametru și \(A\) este pe cerc, atunci \(m(\sphericalangle BAC)=90^\circ\). Reciproc, centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei.
OBCA

Alte unghiuri în cerc

  • Unghiul cu vârful în interiorul cercului (laturile sunt coarde): măsura este semisuma măsurilor arcelor cuprinse între laturi și prelungirile lor: \(m(\sphericalangle APB)=\dfrac{m(\overset{\frown}{AB})+m(\overset{\frown}{CD})}{2}\).
  • Unghiul cu vârful în exteriorul cercului (laturile sunt secante sau tangente): măsura este semidiferența măsurilor arcelor cuprinse între laturi: \(m(\sphericalangle BPD)=\dfrac{m(\overset{\frown}{BD})-m(\overset{\frown}{AC})}{2}\).
  • Unghiul dintre o tangentă și o coardă (vârful pe cerc): măsura este jumătate din măsura arcului cuprins între laturi.

Vârful în interior

ABCDP

Vârful în exterior

ABCDP

Exemplul 14.4

Punctele \(A\), \(B\), \(C\) se află pe cercul de centru \(O\), iar \(m(\overset{\frown}{AB})=100^\circ\) (arcul care nu conține punctul \(C\)). Calculați \(m(\sphericalangle AOB)\) și \(m(\sphericalangle ACB)\).
Rezolvare

\(m(\sphericalangle AOB)=100^\circ\) (unghi la centru);\(m(\sphericalangle ACB)=\dfrac{100^\circ}{2}=50^\circ\) (unghi înscris).

Exemplul 14.5

Coardele \(AC\) și \(BD\) se intersectează în punctul \(P\), interior cercului. Știind că \(m(\overset{\frown}{AB})=110^\circ\) și \(m(\overset{\frown}{CD})=70^\circ\), calculați \(m(\sphericalangle APB)\).
Rezolvare

\(m(\sphericalangle APB)=\dfrac{110^\circ+70^\circ}{2}=90^\circ\), deci coardele sunt perpendiculare.

Exemplul 14.6

Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), cu \(AB=6\text{ cm}\) și \(AC=8\text{ cm}\). Calculați raza cercului circumscris triunghiului.
Rezolvare

\(BC=\sqrt{36+64}=10\text{ cm}\). Unghiul drept este înscris într-un semicerc, deci \([BC]\) este diametru: \(R=\dfrac{BC}{2}=5\text{ cm}\).

↑ Cuprins

14.4Patrulaterul inscriptibil

Definiție

Un patrulater este inscriptibil dacă vârfurile sale se află pe un cerc (cercul circumscris patrulaterului).

ABCD

Un patrulater convex \(ABCD\) este inscriptibil dacă și numai dacă:

  • are două unghiuri opuse suplementare: \(m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle C)=180^\circ\) (atunci și \(m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle D)=180^\circ\));
  • sau unghiul format de o diagonală cu o latură este congruent cu unghiul format de cealaltă diagonală cu latura opusă: \(\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle BDC\).

Exemple

Dreptunghiul, pătratul și trapezul isoscel sunt patrulatere inscriptibile. Paralelogramul care nu este dreptunghi și rombul care nu este pătrat nu sunt inscriptibile.

Exemplul 14.7

Patrulaterul \(ABCD\) este înscris într-un cerc, iar \(m(\sphericalangle A)=110^\circ\) și \(m(\sphericalangle B)=75^\circ\). Calculați \(m(\sphericalangle C)\) și \(m(\sphericalangle D)\).
Rezolvare

\(m(\sphericalangle C)=180^\circ-110^\circ=70^\circ\);\(m(\sphericalangle D)=180^\circ-75^\circ=105^\circ\).

↑ Cuprins

14.5Lungimea cercului și aria discului

Lungimea cercului: \(L=2\pi R=\pi d\)Aria discului: \(\mathcal{A}=\pi R^2\)

(\(\pi\approx3{,}14\) – în rezultate se lasă de obicei \(\pi\) ca atare.)

OABn°R

Pentru un arc cu măsura \(n^\circ\) (unghiul la centru corespunzător are \(n^\circ\)):

Lungimea arcului: \[\ell_{\text{arc}}=\dfrac{\pi R n}{180}\]

Aria sectorului de cerc: \[\mathcal{A}_{\text{sector}}=\dfrac{\pi R^2 n}{360}\]

RrO

Aria coroanei circulare (între două cercuri concentrice de raze \(R\gt r\)):\(\mathcal{A}=\pi(R^2-r^2)\)

Atenție

Lungimea cercului se măsoară în unități de lungime (cm), aria discului în unități pătrate (cm²). Nu confunda raza cu diametrul: dacă se dă diametrul, \(R=\dfrac{d}{2}\).

Exemplul 14.8

Un cerc are diametrul de \(10\text{ cm}\). Calculați lungimea cercului și aria discului.
Rezolvare

\(R=5\text{ cm}\);\(L=2\pi\cdot5=10\pi\text{ cm}\);\(\mathcal{A}=\pi\cdot5^2=25\pi\text{ cm}^2\).

Exemplul 14.9

Într-un cerc de rază \(6\text{ cm}\), unghiul la centru \(AOB\) are \(60^\circ\). Calculați lungimea arcului mic \(AB\) și aria sectorului \(AOB\).
Rezolvare

\(\ell=\dfrac{\pi\cdot6\cdot60}{180}=2\pi\text{ cm}\);\(\mathcal{A}_{\text{sector}}=\dfrac{\pi\cdot36\cdot60}{360}=6\pi\text{ cm}^2\).

Exemplul 14.10

Lungimea unui cerc este \(12\pi\text{ cm}\). Calculați aria discului.
Rezolvare

\(2\pi R=12\pi\Rightarrow R=6\text{ cm}\), deci \(\mathcal{A}=36\pi\text{ cm}^2\).

↑ Cuprins

14.6Poligoane regulate

Definiție

Un poligon regulat este un poligon convex care are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Exemple: triunghiul echilateral, pătratul, hexagonul regulat. Orice poligon regulat este înscris într-un cerc (de rază \(R\)) și circumscris unui cerc (de rază \(r\)), cercurile având același centru.

Apotema \(a_n\) este distanța de la centru la o latură; ea este egală cu raza cercului înscris: \(a_n=r\).

Pentru un poligon regulat cu \(n\) laturi, de latură \(l_n\):

unghiul la centru: \(\dfrac{360^\circ}{n}\)unghiul poligonului: \(\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}\)suma unghiurilor: \((n-2)\cdot180^\circ\)

\(\mathcal{P}=n\cdot l_n\)\(\mathcal{A}=\dfrac{\mathcal{P}\cdot a_n}{2}\)\(R^2=a_n^2+\left(\dfrac{l_n}{2}\right)^2\)

Ratriunghi echilateralRapătratRahexagon regulat
Poligonul înscris în cercul de rază \(R\) Latura \(l_n\) Apotema \(a_n\) Aria
Triunghi echilateral \(R\sqrt{3}\) \(\dfrac{R}{2}\) \(\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{4}\)
Pătrat \(R\sqrt{2}\) \(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\) \(2R^2\)
Hexagon regulat \(R\) \(\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{2}\)
În funcție de latura \(l\) Raza \(R\) Apotema \(a\) Aria
Triunghi echilateral \(\dfrac{l\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\) \(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\)
Pătrat \(\dfrac{l\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{l}{2}\) \(l^2\)
Hexagon regulat \(l\) \(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}\)

Reține

În triunghiul echilateral, centrul cercului coincide cu centrul de greutate, deci \(R=\dfrac{2}{3}h\) și \(a=\dfrac{1}{3}h\), unde \(h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\). Hexagonul regulat se descompune în 6 triunghiuri echilaterale cu latura \(R\), de aceea \(l_6=R\) și \(\mathcal{A}_{\text{hexagon}}=6\cdot\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\).

ABCDEFO

Exemplul 14.11

Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază \(6\text{ cm}\). Calculați latura, apotema și aria triunghiului.
Rezolvare

\(l_3=6\sqrt{3}\text{ cm}\);\(a_3=\dfrac{6}{2}=3\text{ cm}\);\(\mathcal{A}=\dfrac{3\cdot36\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\text{ cm}^2\).

Verificare: \(\mathcal{A}=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{108\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\text{ cm}^2\).

ABCMO63

Exemplul 14.12

Un pătrat are latura de \(8\text{ cm}\). Calculați raza cercului circumscris și raza cercului înscris în pătrat.
Rezolvare

\(R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}\);\(r=a_4=\dfrac{8}{2}=4\text{ cm}\).

Exemplul 14.13

Hexagonul regulat \(ABCDEF\) are latura de \(4\text{ cm}\). Calculați perimetrul, aria, apotema hexagonului și lungimea diagonalei \(AD\).
Rezolvare

\(\mathcal{P}=6\cdot4=24\text{ cm}\);\(\mathcal{A}=\dfrac{3\cdot16\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\text{ cm}^2\);\(a_6=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm}\).

\(R=l=4\text{ cm}\), iar \([AD]\) este diametru: \(AD=2R=8\text{ cm}\).

Exemplul 14.14

Calculați măsura unui unghi al unui poligon regulat cu 8 laturi (octogon regulat).
Rezolvare

\(\dfrac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=\dfrac{1080^\circ}{8}=135^\circ\).

↑ Cuprins

Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).