FaceBook  Twitter  

Varianta 31

Prof: Gaga Loghin.

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați produsul numerelor complexe ii2i3i20

(5p) 2. Verificați dacă funcția f:RR,f(x)=x3+x2012 este injectivă 

(5p) 3. Să se rezolve, în mulțimea numerelor reale, ecuația 16x+54x+121=0 

(5p) 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre,

acesta să aibă exact două cifre egale. 

(5p) 5. În sistemul de axe de coordonate xOy, se consideră punctele: A(2,5),B(3,4),C(7,2). Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii BC 

(5p) 6. Fie a(π2,π) și cosa=45. Calculați tga2

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea M=(111m1011m),mR și sistemul de ecuații {x+y+z=3mx+y=1x+y+mz=3,x,y,zR

(5p) a) Să se calculeze determinantul matricei M 

(5p) b) Să se rezolve sistemul, știind că m=1 

(5p) c) Să se studieze în ce condiții sistemul este incompatibil

2. Fie mulțimea M=(a,) o mulțime de numere reale și legea de compoziție, definită pe R, xy=2xy4x4y+5a

(5p) a) Să se arate că, pentru orice a2, mulțimea G este parte stabilă a lui R în raport cu operația

(5p) b) Să se determine a, știind că (G,) este grup abelian 

(5p) c) Să se arate că grupurile (G,) și (R+,) sunt izomorfe prin funcția f:GR+,f(x)=2x4

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția f:RR,f(x)=x21x2+1.

(5p) a) Să se calculeze f(x) și f(x) 

(5p) b) Să se determine intervalele de monotonie și cele de convexitate ale funcției f. 

(5p) c) Fie g:RR,g(x)=f(x)+f(1x). Să se calculeze limx2g(x)+g(x2)++g(x2011)+x2013x2012 

2.  Se consideră șirul (In)n0,In=10xnx2+1dx

(5p) a) Să se calculeze I0 și I1 

(5p) b) Să se arate că 12(n+1)In12(n1),n2 

(5p) c) Să se calculeze limn(nIn13)

 BAREM DE EVALUARE